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´Eléments d'analyse convexe

Comment savoir si c est convexe ?
C := {α1x1 + · · · + αmxm | m ∈ N∗, (α1, . . . , αm) ∈ Σm, x1, . . . , xm ∈ E} . Il est clair que E ⊂ C. Montrons que C est convexe. Soient x, y ∈ C et α, β deux r ́eels positifs tels que α + β = 1. Alors, Il est facile de voir que (αα1, . . . , ααm, ββ1, . . . , ββp) ∈ Σm+p.
Comment savoir si une fonction est convexe ?
Soient f : Rd → ̄R une fonction convexe et x ∈ Rd tel que f(x) ∈ R. Alors f0(x; ·) est convexe et positivement homog`ene. De plus, D ́emonstration. La convexit ́e de f0(x; ·) est une cons ́equence imm ́ediate du lemme 6 puisque, pour tout λ > 0, hxλ−1(y) est une fonction convexe de y. Montrons maintenant la positive homog ́en ́eit ́e de f0(x; ·).
Comment calculer la convexité ?
La convexit ́e de f0(x; ·) implique, via le th ́eor`eme 18, que = f0(x; 0) = 0 ⇒ μ1 ≥ −μ2. = − inf{μ2 | μ2 > f0(x; y)} = −f0(x; y). Soient f : Rd → R ̄ et x ∈ Rd un point tel que f(x) ∈ R. Une minorante affine m de f est dite exacte en x si m(x) = f(x).
Comment savoir si une variable est convexe ?
Ceci s’exprime de mani`ere concise en disant que f + δ(·|C) est convexe. La proposition suivante donne une caract ́erisation des fonctions d’une variable qui sont convexes sur un intervalle ouvert. Sa d ́emonstration est laiss ́ee en exercice. Proposition 6.

Comment savoir si c est convexe ?