^{PDFprof.com Search Engine}

Analyse 1: convexité et fonction convexe

Comment calculer la convexité d'une fonction ?
Déterminer lim x → + ∞f(x) et lim x → − ∞f(x). En déduire les intervalles sur lesquels f est convexe/concave. Justifier que f est dérivable sur R et calculer f ′ (x) pour tout réel x. On admet que f est deux fois dérivable sur R. Donner une expression de f′′(x) pour tout réel x. En déduire les intervalles où la fonction f est convexe.
Qu'est-ce que la convexité ?
On peut aussi introduire une notion de convexité pour les fonctions à valeurs vectorielles, pourvu que l'on se donne un cône dans l'espace d'arrivée de la fonction. De façon plus précise, on suppose donnés deux espaces vectoriels et , un convexe de , un cône pointé convexe de et une fonction de dans .
Qu'est-ce que la fonction convexe ?
Définition 1 — Soient un espace vectoriel (ou affine) réel et un convexe de . On dit qu'une fonction pour tous et de et tout dans [0 ; 1], on a : . Autrement dit : est convexe si sa « restriction » à tout segment est une fonction convexe de la variable réelle ( voir supra) 15 . Définition 2 — Soit un espace vectoriel (ou affine) réel.
C'est quoi une fonction concave ?
Une fonction concave est une fonction dont la fonction opposée est convexe. On vérifie aussitôt ce qui suit, reliant les notions d'ensemble convexe et de fonction convexe : Remarque — La fonction est convexe sur si et seulement si son épigraphe est un sous-ensemble convexe de .

Comment calculer la convexité d'une fonction ?