Algebre lineaire 1Christophe ReutenauerLaboratoire de combinatoire et d'informatique mathematique,Universite du Quebec a Montreal28 decembre 2020Table des matieres1 Introduction3I Ensembles, fonctions, recurrence32 Ensembles43 Relations et fonctions64 Raisonnement par recurrence10II Cours d'algebre lineaire 1115 Espaces vectoriels et applications lineaires115.
1) Les huit axiomes d'un espace vectoriel115. 2) Combinaisons lineaires135. 3) Applications lineaires145. 4) Matrice d'une application lineaireRp!Rn. . . . . . . . . .156 Sous-espaces vectoriels166. 1) Denition et caracterisation166. 2) Sous-espace engendre par un nombre ni de vecteurs186. 3) Intersection de sous-espaces et systemes d'equations lineaires1917 Bases et dimension207. 1) Dependance et independance lineaire207. 2) Bases : existence et unicite de la dimension237. 3) Bases des sous-espaces267. 4) Calcul d'une base d'un sous-espace engendre278 Applications lineaires298. 1) Exemples298. 2) Proprietes308. 3) Applications lineaires et sous-espaces328.
4) Calcul d'une base du noyau d'une application lineaire deRpversRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .338.
5) Injections, surjections, isomorphismes358. 6) Applications lineaires et bases378. 7) Matrice d'une application lineaire388. 8) Changement de base : matrice de passage408.
9) Matrice d'un endomorphisme408.10 Calcul d'une base du noyau d'une application lineaire429 Diagonalisation429.
1) Valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme429. 2) Polyn^ome caracteristique449. 3) Endomorphismes diagonalisables469. 4) Diagonalisation des matrices479. 5) Calcul d'une base d'un sous-espace propre et diagonalisationeective489. 6) Applications de la diagonalisation489.6. 1) Puissance d'une matrice489.6. 2) Une equation dierentielle matricielle4810 Espaces euclidiens4910. 1) Produits scalaires et bases othonormales4910. 2) Orthonormalisation de Gram-Schmidt4910. 3) Diagonalisation des matrices symetriques5110. 4) Les nombres complexes et les espaces vectoriels associes5310.
5) Preuve du theoreme10.454III Appendice : rappels du cours de CEGEP55211 Systeme d'equations lineaires : resolution par la methoded'elimination des variables, ou de substitution5612 Matrices5712.
1) Denitions (rappels)5712. 2) Matrices : somme et produit externe5812. 3) Produit de matrices5912. 4) Matrices inversibles6112. 5) Systeme d'equations lineaires de Cramer6312. 6) Operations de lignes6312. 7) Systeme d'equations lineaires : methode de Gauss6713 Determinants6913. 1) Developpement selon la premiere colonne6913. 2) Formule du produit7113. 3) Inversion des matrices et determinants7213. 4) Developpement du determinant selon une ligne ou colonnequelconque7313.
5) Systeme de Cramer (suite)7314 Solutionnaire (esquisses)73Remerciements : Benjamin Blanchette, Christophe Hohlweg, Anissa Am-roun, pour discussions et corrections; Frederic Rochon, pour l'exemple del'equation dierentielle du ressort.
1) IntroductionLes sections1112et13, sauf13.2, sont deja vues au CEGEP (voir leslivres [12], ou le cours MAT0600 de l'UQAM).
On peut les omettre, entout cas les parcourir rapidement.Les sections 2, 3 et 4 sont tirees des notes de cours \Algebre 1", deJacques Labelle et de l'auteur [33Premiere partieEnsembles, fonctions, recurrence2 EnsemblesSans developper completement la theorie des ensembles, nous donnonsles principaux elements de ce langage et les notations utilisees.La notion d'ensembleest fondamentale en mathematiques.
Les termesgroupement,familleoucollectiondonnent une intuition decette notion.Comme exemples d'ensembles, citons l'ensemble des nombres premiers,l'ensemble des points d'une droite, l'ensemble des droites dans un plan,l'ensemble des etudiants de l'UQaM.Les objets qui composent un ensemble sont appeleselementsde cet en-semble.
On represente souvent les ensembles par des majuscules et leurselements par des minuscules. Siaest un element de l'ensembleA, on ecrita2Aet on litaappartient aAouaest un element deA.
Sian'est pas element deA, on ecrita =2Aet on litan'appartient pas aAouan'est pas un element deA.L'ecritureA=fa1;a2;:::;amgsignie queAest compose des elementsa1;a2;:::;am; il peut y avoir des repetitions d'elements : par exemple,fa;b;agrepresente le m^eme ensemble quefa;bgoufb;ag.Un ensemble peut ^etre constitue d'un nombre ni ou inni d'elements.SiApossede un nombre ni d'elements,jAjdenote son nombre d'elements,qu'on appelle aussicardinalitedeA.L'ensemble qui ne contient aucun element est appele l'ensemble videeton le represente par le symbole;.
Sa cardinalite est 0.Un ensemble qui ne contient qu'un seul element s'appelle un singleton.On utilisera les notations suivantes :N=f0;1;2;3;:::gest l'ensembledes entiers naturels;Z=f:::;2;1;0;1;2;3;:::gest l'ensemble desentiers relatifs;Qest l'ensemble des nombres rationnels (les fractions);N=f1;2;3;:::gest l'ensemble des entiers naturels non nuls;Rest l'en-semble des nombres reels.On utilise souvent, pour denir un ensemble, une notation commeB=fx2AjP(x)g(on ecrit aussiB=fx2A;P(x)g); cette notation signiequeBest l'ensemble des elements de A qui possedent la propriete.
Ainsi, onaura pour tout elementxdeA:x2Bsi et seulement siP(x).
Autrementdit, si l'on veut montrer qu'un elementxdeAest en fait dansB, il sut4de montrer quex2Aa la proprieteP.
Et vice-versa, sixa la proprieteP,il est dansB.Des exemples :fn2Njn22Ngdesigne l'ensemble des nombres naturelspairs;fn2Nj 9m2N;n=m2gdesigne l'ensemble des carres dansN.SoientAetBdeux ensembles.
SiAetBsont constitues des m^emeselements, on dit qu'ils sontegauxet on ecritA=B.
Si tous les elementsdeAappartiennent aB, on dit queAestcontenuouinclusdansB, ouencore queAest unsous-ensembleou unepartiedeB, et on ecritABouBA(on dit aussi queBcontientA).
Remarquez que;etAsont dessous-ensembles particuliers deA; un sous-ensemble autre que ceux-ci est unsous-ensemblepropredeA.On noteP(X) l'ensemble des parties deX; donc les elements deP(X) sont les parties deX.
Par exemple, siX=f1;2;3g,P(X) =f;;f1g;f2g;f3g;f1;2g;f1;3g;f2;3g;Xg.
C'est un ensemble de cardinalite8.Dans la pratique, quand on veut montrer qu'un ensembleAest inclusdans un ensemble B, on doit montrer qu'un element quelconque de A estforcement dans B.
Autrement dit que :x2A)x2B.
De plus, pourmontrer queA=B, on doit montrer queABetBA.On appellereunionouunionde deux ensembles A et B le nouvel en-semble forme de tous les elements qui appartiennent a A ou a B ou auxdeux; on le noteA[Bet on lit \A union B".
DoncA[B=fx2Aoux2Bg:On appelleintersectionde deux ensembles A et B le nouvel ensemble formedes elements communs a A et B; on la noteA\Bet on lit \A inter B " :A\B=fxjx2Aetx2Bg:SiA\B=;, on dit queAetBsontdisjoints, sinon on dit queAetBsecoupent.
La reunion de plusieurs ensemblesA1;:::;Anest noteeA1[[An,ouSi=ni=1Ai, ou encoreS1inAi.Le couple ordonne ayantacomme premiere composante etbcommeseconde composante se note (a;b).
SiAetBsont des ensembles, leproduitcartesiendeAetBestAB=f(a;b)ja2Aetb2Bg:Des notations analogues sont utilisees pour l'intersection de plusieursensembles.
5) Exercice 2.1.SoitA=f1;2;3getB=f4;5g.Ecrire les ensembles sui-vants :a)AB; b)P(A); c)P(P(B)).Exercice 2.2.a) Vrai ou faux.
SoitA=f1;2;4;f2;3gg.f1;2g 2A?;f1;2g A?.b) SoitB=f1;2;4;f2;3g;f1;2gg.f1;2g 2B?;f1;2g B?.Exercice 2.3.Vrai ou faux. a); 2 f;;f;gg; b); f;;f;gg; c)f;g 2f;;f;gg; d)f;g f;;f;gg; e)ff;gg 2 f;;f;gg; f)ff;gg f;;f;gg.Exercice 2.4.Decrire l'ensemblefx2Nj 9a;b2N;a;b2;x=abg.
Onpeut commencer par enoncer lesquels des nombres de 1 a 10 sont dans cetensemble.Exercice 2.5.SoitAun ensemble de cardinaliten; montrer queP(A)estde cardinalite2n.Exercice 2.6.SoientA;Bdes ensembles.
OnAnBl'ensemblefx2Ajx =2Bg, et on l'appelle ladierencedeAetB.a) Montrer que(A[B)n(A\B) = (AnB)[(BnA)(cet ensemble,s'appelle ladierence symetriquedeAetB.b) Montrer queA\B=An(AnB).
3) Relations et fonctionsUnerelation deAversBest un sous-ensembleRdeAB.
Une relationRABest ditefonctionnellesi pour touta2A, il existe un et un seulb2Btel que (a;b)2R.SiRest une relation fonctionnelle, incluse dansAB, elle denit unefonctionfdeAversB; on ecrit cecif:A!B; on dit queAest l'ensemblede departdefetBsonensemble d'arrivee.
L'ensemble de depart defestaussi appeledomaine de denitiondef.On dit aussiapplicationau lieu de fonction.Soitf:A!B.
Pour un elementadonne, l'uniquebtel que (a;b)2Rs'appelle l'imagedeapar la fonctionfet il est notef(a).
Intuitivementune fonction deAversBest donc une regle qui permet d'associer a toutelementa2Aun et un seul elementb2B; cet elementbest notef(a) :f(a) =b.
On dit aussi queaest envoye surbparf, ou quefassociebaa.On ecritaf7!b, ou biena7!bsi la fonctionfest sous-entendue.
Appelonsaussiantecedent deb2Bparftout elementa2Atel queb=f(a). 6) SiXA, alorsf(X) =ff(x)jx2Xgest appele l'image (directe)deXparf.
L'ensemblef(A)Bs'appelle l'imagede f; on le noteI(f).SiYB, alorsf1(Y) =fx2Xjf(x)2Ygest appele l'imagereciproque(ouinverse) deYparf1.
Autrement dit,f1(Y) est l'ensembledes antecedents de tous les elements deY.
On a aussi :8a2A:a2f1(Y),f(a)2Y:SiY=fygest un singleton, on ecrit aussi simplementf1(y) au lieu def1(fyg) .Proposition 3.1.Soitf:A!B.
SiX1AetX2A, alorsa)X1X2)f(X1)f(X2);b)f(X1[X2) =f(X1)[f(X2);c)f(X1\X2)f(X1)\f(X2).SiY1BetY2B, alorsd)Y1Y2)f1(Y1)f1(Y2);e)f1(Y1[Y2) =f1(Y1)[f1(Y2);f)f1(Y1\Y2) =f1(Y1)\f1(Y2).De plus, siXAetYB, alorsf(f1(Y))YetXf1(f(X)).La demonstration est laissee en exercice.L'ensemble des fonctions deAaBest noteBA(cette notation s'expliquepar le fait que si A et B sont nis etjAj=n,jBj=m, alorsjBAj=mn=jBjjAj).Sif:A!Betg:B!Csont des fonctions, alorsgf, appeleecomposee(oucomposition) defetg, est la fonction deAversCdenie pargf(a) =g(f(a));8a2ALa composition des fonctions est une operation associative (exercice!).De plus, la fonction identite est un element neutre : sif:E!F, on aidFf=f=fidE, ouidEest la fonctionE!Equi envoie toute2Esur lui-m^eme.Exemple 3.1.La composee def(x) =x2+ 1,R!R+, par la fonctiong(x) =px,R+!R, est la fonctiongf(x) =px2+ 1.Soitf:A!Bune fonction.
On dit que :1.
Attention, la notationf1(Y) ne signie pas que la fonction reciproquef1defexiste.71.festinjectivesi pour tousa1;a22A;a16=a2)f(a1)6=f(a2).
Cequi equivaut a : pour tousa1;a22A,f(a1) =f(a2))a1=a2, ouencore a : pour toutb2B,f1(b) a au plus un element.
On dit alorsaussi quefest uneinjection.2.f est surjectivesif(A) =B.
Ce qui equivaut a : pour toutb2B, ilexistea2Atel quef(a) =b, ou encore : pour toutb2B;f1(b) aau moins un element.
On dit alors aussi quefest unesurjection.3.f est bijectivesi f est injective et surjective.
Ce qui equivaut a : pourtoutb2B, il existe un et un seula2Atel quef(a) =b, ou encorea : pour toutb2B;jf1(b)j= 1.
Dans ce cas, on dit aussi que c'estunebijection.On a aussi :fest injective (resp. surjective, resp. bijective) si et seule-ment si toutb2Ba au plus (resp. a au moins, resp. a exactement) unantecedent parf.Exemple 3.2.La fonction deRdansRqui axassociex2n'est pas injec-tive; en eet, on a16=1maisf(1) =f(1).Exemple 3.3.La fonction deRdansRqui axassociex3est injective; eneet, tout reel a une unique racine cubique.
Donc,8v2R, il existe au plusunx2Rtel quef(x) =v.Exemple 3.4.La fonction deNdansNqui anassocie2nest injective;en eet, pour tout entier naturelnil existe au plus un entier naturelptelque2p=n.Exemple 3.5.La fonction deRdansRqui axassociex2n'est pas surjec-tive; en eet, il n'existe pas dex2Rtel que1 =x2.Exemple 3.6.La fonction deRdansRqui axassociex3est surjective;en eet, tout reel a une unique racine cubique.
Donc,8v2R, il existe aumoins unx2Rtel quef(x) =v.Exemple 3.7.La fonction deNdansNqui a2net2n+ 1associenestsurjective; en eet, tout entier naturelnest l'image par cette fonction de2n(et aussi de2n+ 1).Exemple 3.8.La fonction exponentielle est une bijection deRversR+; labijection reciproque est la fonction logarithme.Si f est bijective alors lafonction reciproquef1:B!Aest denie parf1(b) =asi et seulement sif(a) =b.
Doncf1f=idAetff1=idB8ou pour touta2A;idA(a) =aet pour toutb2B;idB(b) =b. La fonctionidAest appelee lafonction identitedeA.
On a8x2E;8y2F:y=f(x),x=f1(y):(1)S'il existe une bijection (c'est-a-dire une fonction bijective) deAversB, on dit queAetBsontequipotents(ou ont m^eme nombre d'elements oum^eme cardinalite).Exercice 3.1.SoitRla relationf(1;2);(1;3);(3;1)g.
Est-ce une relationfonctionnelle? M^eme question avecf(1;2);(2;3);(3;1)g.Exercice 3.2.On appellegraphed'une fonctionf:A!Bla relation fonc-tionnelleRqui la denit.
Montrer queR=f(a;b)jb=f(a)g=f(a;f(a))ja2Ag.Exercice 3.3.Repondre par vrai ou faux (et justier). Sif:A!BetX;YA, alorsf(XnY) =f(X)nf(Y).Exercice 3.4.Soient les fonctionsf:A!Betg:B!C.
Montrer quepour toutXAet pour toutYC,(gf)(X) =g(f(X))et(gf)1(Y) =f1(g1(Y)).Exercice 3.5.Soient les fonctionsf:A!Betg:B!C.
Repondre parvrai ou faux et justier.a) Sifetgsont injectives, alorsgfest injective.b) Sigfest injective, alorsfest injective.c) Sigfest surjective, alorsgest surjective.Exercice 3.6.Soitf:A!Bune fonction.
Prouvez que :a)fest surjective, 9h:B!Atelle quefh=idB;b)fest injective, 9g:B!Atelle quegf=idA. Ici on supposeA6=;.Exercice 3.7.Soitf:X!Yune fonction.
Prouver que8AXet8BYon a :Af1(f(A))etf(f1(B))B.Exercice 3.8.Montrer, avec les notations de la proposition3.1 , que, pourtous sous-ensemblesX1;X2de A, on a egalite dans le c) de ce lemme, si etseulement sifest injective.94 Raisonnement par recurrenceOn veut demontrer une propriete qu'ont tous les entiers naturelsn, parexemple :la somme de tous les entiers de 0 anest egale an(n+ 1)=2.Comme on considere une propriete quelconque, on va la noterP(n), a lire :na la proprieteP.
On veut donc montrer queP(0) est vraie, ainsi queP(1),P(2), et ainsi de suite. On utilise pour cela, le raisonnement parrecurrence,ou parinduction.
Commencons par l'exemple ci-dessous.Exemple 4.1.P(n)est la proprietela somme des entiers de0anestegale an(n+ 1)=2.
La proprieteP(0)est vraie, puisque0 = 0(0 + 1)=2.Nous faisons maintenant ce qu'on appelle l'hypothese de recurrence, c'est-a-dire nous supposons queP(n)est vraie et essayons d'en deduireP(n+1).L'hypothese de recurrence implique que la somme des entiers de0anvautn(n+ 1)=2; nous en deduisons que la somme des entiers de0an+ 1vautn(n+ 1)=2 +n+ 1 = (n+ 1)(n=2 + 1) = (n+ 1)(n+ 2)=2, ce qui demontrequeP(n+ 1)est vraie.
Ainsi nous avons montre que : (i)P(0)est vraie,et (ii) siP(n)est vraie, alorsP(n+ 1)est vraie.
Le principe de recurrencenous assure alors queP(n)est vraie quel que soit l'entier natureln.Principe de recurrence :On veut demontrer une proprieteP(n) quepossedent tous les entiers naturelsn.
On fait comme suit :(i) On demontre que P(0) est vraie.(ii) On fait l'hypothese queP(n) est vraie (hypothese de recurrence),et on demontre queP(n+ 1) est vraie.
Autrement dit, on demontre queP(n) vraieimpliqueP(n+ 1) vraie.
Ceci etant fait, on est s^ur quela propriete est vraie pour tous les entiers : intuitivement en eet,P(0) estvraie par (i), doncP(1) est vraie par (ii), doncP(2) est vraie par (ii) etainsi de suite.Attention : pour (ii), il faut prendre un entiernquelconque, non specie,et pas 17, ou 1789, ou autre.Principe de recurrence (variante) :On laisse tel quel (i) et on rem-place (ii) par :(ii') on fait l'hypothese queP(0);P(1);:::;P(n) sont toutes vraies (hy-pothese de recurrence), et on demontre qu'alorsP(n+ 1) est vraie.Une autre variante consiste, au lieu de commencer par 0, a commencerpar un nombre plus grand, comme dans la preuve de l'enonce suivant.
Rap-pelons d'abord qu'un entier naturel est ditpremiers'il est2 et s'il n'estdivisible que par 1 et par lui-m^eme.Theoreme 4.1.Tout entier naturel2est divisible par un entier naturelpremier.10Demonstration.Pourn= 2, le theoreme est evident car 2 est premier et 2est divisible par 2.Soitnun entier2 et supposons que pour tout entier compris entre 2 etn,kest divisible par un nombre premier.
Consideronsn+1 : s'il est premieralors il est divisible par un nombre premier; s'il n'est pas premier, alors onan+1 =km, oukest un entier naturel non nul, dierent de 1 et den+1.Alorskest compris entre 2 etn.
Donc, par l'hypothese de recurrence,kestdivisible par un nombre premierp.
Commepdiviseket quekdiviesn+ 1,pdivisen+ 1, ce qui nit la preuve.Exercice 4.1.Demontrer par recurrence les assertions suivantes, ounestun entier naturel quelconque.
Indications : dans tous ces exercices, la di-culte est comment passer de l'expression avecna l'expression avecn+ 1.a)n2nest divisible par 2.b)n3nest divisible par 3.c)4n1est divisible par 3.d)22n+1+ 1est divisible par 3.e)9n8n1est divisible par 64.f)7n3nest divisible par 4.g)2n> n.h) sin1, alors2n1n!.i)02+ 12+ 22++n2=n(n+ 1)(2n+ 1)=6.j)1 + 2 + 22++ 2n= 2n+11.k)00! + 11! + 22! ++nn! = (n+ 1)!1.l)13+ 23+ 33++n3= (1 + 2 ++n)2.Deuxieme partieCours d'algebre lineaire 15 Espaces vectoriels et applications lineaires5.
1) Les huit axiomes d'un espace vectorielDenition 5.1.Unespace vectorielest un ensembleEqui a deuxoperations.
La premiere, appele eaddition, ousomme, et la seconde est ap-peleeproduit externe. L'addition associe a deux elements quelconquesx;ydeEun element notex+y. Le produit externe associe a un nombre reelaet a un elementxdeEun element deEnoteax.
Ces deux operations11jouissent des proprietes suivantes (appeleesaxiomes des espaces vectoriels) :quels que soient les elementsx;y;zdeEet les reelsa;b, on a :1.x+y=y+x(commutativite);2.(x+y) +z= (x+y) +z(associativite;3.Il existe un element0EdeEtel quex+0E=x(existence de l'elementneutre);4.Il existe un elementx0deEtel quex+x0= 0(existence de l'oppose);5.1x=x(le produit externe de12Ravecxest egal ax);6.(ab)x=a(bx)(associativite).7.(a+b)x=ax+bx(distributivite);8.a(x+y) =ax+ay(distributivite);Notez qu'on ecrit parfois 0 pour le 0Edans l'axiome 3.
Ceci constituece qu'on appelle unabus de notation, qui peut ^etre ambigu; le contexte engeneral leve l'ambigute.
Si par exemple,e2Eet si on ecrite+0, c'est clairque c'este+0E, et non pase+0R, car il n'y a pas de sens a additionner unelement deEet un element deR(sauf dans le cas particulier ouE=R).De m^eme, dans 0e, c'est clair que le 0 est le zero des reels (il n'y a pas deproduit de deux vecteurs).Pour un exemple concret de ces proprietes, regardez l'exemple5.2ci-dessous :x;y;zsont des matrices de m^eme taille etaxdesigne le produit dureelapar la matricex(axs'obtient dexen y multipliant tous les coecientspara)On appelle souventscalaireun element deR; ceci, par opposition auxelements des elements des espaces vectoriels, qui sont souvent appelesvec-teurs.On a 0e= 0 (ici le premier 0 est le zero deR, et le second celui deE) :en eet 0e+ 0e= (0 + 0)e= 0e, donc en ajoutant de chaque c^ote l'opposede 0e, on trouve 0e= 0.De plus l'oppose deeest (1)e(qu'on notee) : en eet,e+ (1)e=1e+ (1)e= (1 + (1))e= 0e= 0.Lasoustractiondans un espace vectoriel est denie paruv=u+(1)v;c'est-a-dire soustrairevdeu, c'est additionneruest l'oppose dev.
On al'identite (aest un scalaire)a(uv) =auavet en particulier(u+v) =uv:12Exemple 5.1.L'espace vectoriel nulest l'ensemble a un elementf0g.
C'estun espace vectoriel surR. On a evidemment0 + 0 = 0eta0 = 0pour toutscalairea.Exemple 5.2.Fixons des entiers naturelsnetp.
Alors l'ensembleMnp(R)est un espace vectoriel; car on peut additionner deux matrices, et on peutmultiplier toute matrice par un scalaire, et tous les huit axiomes sont satis-faits, comme on le voit dans la section12.
2) Exemple 5.3.Fixons un intervalleIdeRet soitFl'ensemble des fonctionsdeIdansR. AlorsFest un espace vectoriel.
Car on peut additionner deuxfonctions dansFet multiplier une fonction dansFpar un scalaire; de plusles huit axiomes sont satisfaits.Exercice 5.1.On note E l'ensemble des matrices innies a coecientsreels, dont les lignes et les colonnes sont indexees p
