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FONCTIONS CONVEXES

Quelles sont les fonctions convexes ?
une fonction convexe est une fonction dont l'épigraphe est convexe ; dans un espace vectoriel topologique, une fonction qui vérifie l'inégalité de convexité pour les seuls milieux et qui est continue est convexe ; une fonction convexe vérifie l'inégalité de Jensen.
Comment déterminer qu'une fonction est convexe ?
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
Quelle est la différence entre concave et convexe ?
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f ' est croissante sur I. f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f ' est décroissante sur I.
Remarque : une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive.
Propriété 1 : si f est convexe sur I, alors f est continue sur I.
Propriété 2 : si f est convexe sur I, alors f est dérivable `a droite et `a gauche sur I et ∀x0 ∈ I, fg (x0) ⩽ fd (x0).

La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

FONCTIONS CONVEXES

Quelles sont les fonctions convexes ?

Comment déterminer qu'une fonction est convexe ?

Quelle est la différence entre concave et convexe ?