^{PDFprof.com Search Engine}

Feuille d'exercices n 2 Convexité

Comment calculer la convexité ?
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I.
La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I.
Comment montrer q Une fonction est convexe ?
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
Quand une courbe est concave ?
Une fonction est dite concave sur un intervalle si, pour toute paire de points sur le graphe de , le segment de droite qui relie ces deux points passe en dessous de la courbe de .
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut.
Par exemple, la fonction t �→ f(t) = t4 est strictement convexe, mais f ��(0) = 0.
Proposition.
Soit U un ouvert convexe dans Rn, et soit f : U → R une fonction dans C2(U) telle que ∇2f(x) > 0 ∀ x ∈ U.
Alors f est strictement convexe sur U.

Comment calculer la convexité ?