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Chapitre 3 Espaces topologiques cas des espaces métrisables

Comment calculer les espaces topologiques ?
Soit (X;T) et (X0;T0) deux espaces topologiques. On dit qu’une fonction f : X!X0est continue sur X si elle est continue en tout point de X. On note C0(X;X0) (ou C0(X;T;X0;T0) s’il est besoin de preciser les topologies) l’ensemble de toutes les fonctions continues de Xdans X0. Theoreme 1.5.10.
Comment savoir si un espace topologique est compact ?
Soit U une famille de parties d’un espace topologique (X, T ). On dit que U est un recou-vrement ouvert [ de X si U ⊂ T , c.-à.-d. les membres de U sont ouverts, et X = U. Définition 2. Un espace topologique X est compact si tout recouvrement ouvert de X admet un sous-recouvrement fini. Exemple 1. Soit X avec topologie discrète, T = P(X).
Comment savoir si une topologie est métrisable ?
✪ Définition 1.9 On dit que (E, τ) est métrisable ssi il existe une distance d sur E tel que τ = τd. Tout point doit avoir une base dénombrable de τ-voisinages. Il doit être séparé. La topologie grossière est non métrisable car non séparée. Théorème 1.2 Soit E un espace métrique muni de deux distances d1 et d2.
Est-ce que la topologie de depart est metrique ?
o est necessairement fermee. De la m^eme fa˘con, il ne sut pas que la topologie de depart soit metrique pour que la topologie quotient soit metrisable (cf. Exercice 41). 40 Espaces metriques, espaces topologiques.

Comment calculer les espaces topologiques ?