Next PDF List

Integrales de fonctions de plusieursvariables1Vous connaissez les integrales de fonctions d'une variable (parfois appeleeintregrales simples).Sifest une fonction d'une variable, l'integrale defsur un intervalle [a;b] | que l'on noteRbaf(x)dx| mesure l'aire de la region du plan situee entre l'axe des abscisses et le graphe def,au-dessus de l'intervalle [a;b].

Pour calculer cette integrale, il sut de trouver uneprimitivedef, c'est-a-dire une fonctionFdont la derivee est egale af; on a alorsRbaf(x)dx=F(b)F(a).Le but des chapitres qui suivent est de denir une notion d'integrale pour les fonctions deplusieurs variables.

L'une des nouveautes est la richesse des domaines sur lesquelles on peutintegrer.

En eet, le domaine d'integration d'une integrale simple est toujours un intervalle(ou une union d'intervalles).

Par contre, on peut integrer une fonction de deux variables sur unrectangle, un disque, un domaine entoure par une courbe compliquee (on parle d'integralesdoubles).

On peut integrer une fonction de trois variables sur une sphere, un cylindre, unc^one, un ellipsode,etc.(on parle d'integrales triples).

Vous verrez que l'on peut aussi integrerdes fonctions de deux variables le long de courbes : on parle d'integrales curvilignes.

Vousapprendrez egalement a relier ces dierents types d'integrales : certaines integrales curvilignesle long d'une courbe fermeeCpeuvent s'exprimer comme des integrales doubles sur la regiondu plan entouree parC(c'est la formule de Green-Riemann).Des integrales de fonctions de plusieurs variables interviennent dans toutes sortes de problemes.Voici quelques exemples (choisis a peu pres au hasard, volontairement tres simplies, et de cefait peu realistes).Vous souhaitez calculer le volume d'une cheminee centrale nucleaire.

Celle-ci est comme tou-jours en forme d'hyperbolode (pour des raisons de solidite et de simplicite de construction).Le volume de la cheminee s'exprime a l'aide d'une integrale triple facile a calculer.Vous etudiez le champ magnetique cree par une bobine dans laquelle circule un courantelectrique.

La valeur du champ en un point s'exprime a l'aide d'une integrale triple que vousdevrez evaluer.

Notons que l'on ne sait pas calculer explicitement cette integrale; on doit doncl'estimer numeriquement a l'aide d'un ordinateur; on peut aussi calculer une valeur approcheedu champ pres de l'axe de la bobine a l'aide de developpements limites).

2) Vous etudiez une sonde spatiale, soumise a l'attraction du Soleil et des planetes a proximitedesquelles elle passe, et munie de moteurs lui permettant de suivre une trajectoire calculeea l'avance.

Vous voulez calculer le travail de la force d'attraction qu'exerce le Soleil et lesplanetes sur la sonde au cours de son trajet (ce calcul est | entre autre | necessaire pourevaluer l'energie que consomeront les moteurs de la sonde au cours du trajet).

Ce travails'exprime a l'aide une integrale curviligne le long de la trajectoire de la sonde.

En general, onne saura pas calculer cette integrale explictement (a moins que la trajectoire de la sonde nesoit tres simple), et on devra avoir recours a un calcul numerique.J'ai evoque ci-dessus, a deux reprises, la necessite de recourrir a des instruments numeriquespour calculer certaines integrales.

De fait, calculer des integrales n'est pas une t^ache aisee.Calculer la derivee d'une fonction est toujours possible, et relativement facile : il sut d'appli-quer un certain nombre de regles de calcul bien connues; il s'agit d'une procedure purementalgorithmique.

Par contre, si on se donne une fonctionfd'une variable \au hasard", il nesera pas possible, en general, de calculer explicitement une primitive def.

M^eme lorsquecela est possible, il n'existe pas de procedure algorithmique qui fournit la primitive def: ilfaut \deviner" quelle est la bonne methode a appliquer (integration par partie, changementde variable) pour obtenir la primitive def.

C'est pourquoi calculer des integrales de fonc-tions d'une variable, eta fortiorides integrales de fonctions de plusieurs variables ne peuts'apprendre que par la pratique.

3) Chapitre 8Rappels sur les integrales defonctions d'une variable8.

1) Primitives et integralesDenition(Primitive d'une fonction).Uneprimitived'une fonction d'une varaiblefest unefonctionFdont la derivee est egale af.Proposition 8.1.1(Existence et quasi-unicite d'une primitive).Toute fonction continued'une variablefadmet des primitives.

De plus, (sur tout intervalle contenu dans l'ensemblede denition def) la dierence entre deux primitives defest une constante.L'existence de primitive n'est pas facile a demontrer.

Par contre, il est tres facile de voir quela dierence entre deux primitives d'une m^eme fonction est une constante : en eet, siF1etF2sont deux primitives d'une fonctionf, alors la derivee deF2F1est nulle (puisqueF2etF1ont la m^eme deriveef); par consequent,F2F1est une constante (sur tout intervallecontenu dans son ensemble de denition).Considerons maintenant une fonction continue d'une variablef, et un intervalleI= [a;b]contenu dans l'ensemble de denition def.

Puisquefest continue, elle admet une primitiveF.De plus, la dierenceF(b)F(a) ne depend pas du choix de la primitiveF.

En eet, siGestune autre primitive def, alors il existe une constantectel queGF=c; par consequent,G(b)G(a) =F(b) +c(F(a) +c) =F(b)F(a).

Ceci nous permet de denir l'integraledefsur l'intervalleI= [a;b] :Denition(Integrale d'une fonction d'une variable).Soitfune fonction .

On appelleintegraledefsur l'intervalleIla quantite :Zbaf(x)dx=F(b)F(a):Remarque.La notationdxrefere a une \variation innitesimale" de la variablex.

La nota-tionRbaf(x)dxindique que l'on integre la quantitef(x) lorsque la variablexvarie entre les4bornesaetb.

Dans cette notation,xest une variable muette; on peut remplacerxpar uneautre variable sans que cela ne change le resultat :Zbaf(x)dx=Zbaf(y)dy=Zbaf(t)dt=Zbaf(u)du=:::8.

2) Integrale et aire sous le grapheLes integrales ont ete inventees pour calculer des aires.

Considerons par exemple une fonctioncontinue d'une variable, et un intervalleI= [a;b] inclus dans le domaine de denition def.Pour simplier on supposefpositive.

L'integraleRbaf(x)dxa ete denie pour calculer l'airede la regionSdu plan delimitee par la droite verticalex=a, la droite verticalex=b,l'axe des abscisses, et le graphe def(gure ci-dessous).

Pour que cela ait un sens, il faut auprealable denir ce qu'on entend par \l'aire d'une region".8.2.

1) Comment denir l'aire d'une region du plan?Commencons par formuler un certain nombre d'exigences :1.T outd'ab ord,si D1etD2sont deux regions telles queD1est contenue dansD2, onveut que l'aire deD1inferieure a l'aire deD2.2.Ensuite, si D1etD2sont deux regions disjointes, on veut que l'aire deD1[D2soitegale a la somme de l'aire deD1et de l'aire deD2.3.Enn, on v eutque l'aire d 'uncarr ede c^ oteasoit egal aa2.Ces trois exigences nous susent a denir l'aire de n'importe quelle region \par trop biscor-nue" du plan.

Considerons une regionDbornee du plan.

Si on peut faire tenirncarresde c^otesdeux-a-deux disjoints a l'interieur de la regionD, alors les conditions 1, 2 et 3impliquent immediatement que l'aire deD(si tant est que l'on puisse la denir) doit ^etresuperieure an:2(gure ci-dessous a gauche).

De m^eme, si on peut recouvrir la regionDparn+carres de c^otes, alors les conditions 1, 2 et 3 impliquent immediatement que l'airedeDdoit ^etre inferieure an+:2(gure ci-dessous a droite).

Par ailleurs, si on a l'impressionque, si on choisittres petit, la regionDsera tres bien approchee par une union de carres dec^ote.

Resumons cela dans une denition formelle :5Denition(Aire d'une region du plan).SoitDune region bornee du plan.

Pour tout >0,on notenle nombre maximum de carres de c^otedeux-a-deux disjoints que l'on peut fairetenir dans la regionD, et on noten+le nombre minimum de carres de c^otenecessairespour recouvrir entierement la regionD.

On dit que la regionDestquarrablesi les quantitesn:2etn+:2ont la m^eme limite quandtend vers0. Cette limite commune est alors pardenition l'airede la regionD.

Autrement dit :Aire(D) = lim!0n:2= lim!0n:2:Il existe des regions du plan (\tres biscornues") telles que les quantitesn:2etn:2n'ontpas de limites quandtend vers 0, ainsi que des regions telles que les quantitesn:2etn:2ont des limites dierentes quandtend vers 0.

L'aire de telles regions ne sont pasququarrablearrables; leur aire n'est pas bien denie.

Neanmoins, toute les regions dont lebord est deni a l'aide de fonctions continues sont quarrables.8.2.

2) Interpretation des integrales simples en termes d'aire.Nous sommes maintenant en mesure d'enoncer des resultats qui interpretent l'integrale d'unefonction d'une variable comme l'aire d'une region du plan.

Pour simplier, commencons parle cas de l'integrale d'une fonction positive :Proposition 8.2.1(Lien entre aire et integrale I).Soitfune fonction d'une variable, et[a;b]un intervalle contenu d'ans l'ensemble de denition def.

On supposefcontinue et positivesur[a;b].

On noteDla region situee entre les droites verticalesx=aetx=b, au-dessus del'axe des abscisses et en dessous du graphe def.

Alors la regionDest quarrable, et on aZbaf(x)dx= Aire(D)(voir la gure de la page precedente).La proposition ci-dessus fait le lien entre aire et integrale d'une fonction continuepositive.Pour une fonction continue de signe quelconque, il faut distinguer la partie du graphe defsituee au-dessus de l'axe des abscisses et celle situee en dessous :Proposition 8.2.2(Lien entre aire et integrale II).Soitfune fonction d'une variable, et[a;b]un intervalle contenu d'ans l'ensemble de denition def.

On noteD+la region situeeentre les droites verticalesx=aetx=b, au-dessus de l'axe des abscisses et en dessous6du graphe def(region bleue sur la gure ci-dessous).

On noteDla region situee entre lesdroites verticalesx=aetx=b, en-dessous de l'axe des abscisses et au-dessus du graphe def(region jaune sur la gure ci-dessous).

Alors les regionsDetD+sont quarrables, et on aZbaf(x)dx= Aire(D+)Aire(D):Remarque.La maniere dont j'ai presente les integrales ci-dessus est la plus simple, mais cen'est pas la plus \logique".

En eet, si on voulait demontrer la proposition 7.1.1 (l'existenced'une primitive pour toute fonction continue), il faut commencer par demontrer une partiede la proposition 7.2.2 (le fait que la region situee entre l'axe des abscisse et le graphe d'unefonction continue est quarrable).

La presentation que j'ai choisie ci-dessus a un gros avantage :elle permet de donner tres rapidement une denition de l'integrale d'une fonction continuef(comme dierence de valeurs d'une primitive def).

Cette denition est eective : elle permetde calculer des integrales.8.

3) Calcul des integralesPour calculer l'integrale d'une fonctionfsur un intervalle [a;b] revient | nous l'avons dit | atrouver une primitive def.

Helas, ce n'est pas toujours possible : il n'existe aucun algorithmequi permettrait de trouver une expression explicite d'une primitive de n'importe quelle fonc-tion (elle-m^eme donnee par une formule explicite).

Il existe cependant un certain nombre demethodes qui, utilisees judicieusement, permettent de calculer des primitives pour certainesfonctions simples.

Nous allons rappeler ces methodes.Tout d'abord, on connait des primitives pour la plupart des fonctions \de base" :7FonctionPrimitivex7!xpour6=1x7!x+1+1+ constantex7!1xx7!lnjxj+ constantex7!exp(x)x7!exp(x) + constantex7!ln(x)x7!xln(x)x+ constantex7!sin(x)x7! cos(x) + constantex7!cos(x)x7!sin(x) + constantex7!tan(x)x7!lnjcos(x)j+ constantex7!cosh(x)x7!sinh(x) + constantex7!sinh(x)x7!cosh(x) + constanteLe tableau ci-dessus fournit les \briques de bases" pour calculer des primitives.

Helas, il n'estpas facile de combiner ces briques de bases entre elles.

Certes, pour la somme et le produitpar une constante, tout se passe bien :Proposition 8.3.1.SiFetGsont respectivement des primitives defetg, alorsF+Gestune primitive def+g.

SiFest une primitive def, et siest une constante, alorsFestune primitive def. mais ca se g^ate pour le produit, pour le quotient et la composee de deux fonctions :M^eme si on connait des primitives des fonctionsfetg, on ne sait en general calculer ni uneprimitive du produitfg, ni une primitive du quotientfg, ni une primitive de la composeefg.Il y a cependant quelques resultats qui aident a s'en sortir dans certain cas.

Tout d'abord, sion connait une primitive def, alors, pour toute fonction derivableu, on connait une primitivede la fonctionx7!u0(x):f(u(x)) :8Proposition 8.3.2.SiFest une primitive def, et siuest une fonction derivable, alorsx7!F(u(x))est une primitive de la fonctionx7!u0(x):f(u(x))La preuve de cet enonce est immediate : il suti de deriverx7!F(u(x)).

Cet enonce estcependant tres souvent utile.

Il nous dit par exemple que, pour toute fonction derivableu, lafonctionx7!lnju(x)jest une primitive de la fonctionu0(x)u(x)(la ou cela a un sens, c'est-a-direen dehors du lieu ouus'annule).

C'est ainsi que nous avons pu armer plus haut que lafonctionx7!lnjcos(x)jest une primitive de la fonctionx7!tan(x) =sin(x)cos(x).Si on doit calculer la primitive d'un produit de fonctions, on peut parfois utiliser la formuled'integration par partiepour transformer ce produit en un autre :Proposition 8.3.3(Integration par partie).Soientfetgdeux fonctions d'une variable, quel'on suppose derivables, et denies (au moins) sur un intervalle[a;b].

On aZbaf0(x)g(x)dx=f(b)g(b)f(a)g(a)Zbaf(x)g0(x)dx:Demonstration.La derivee defgestf0g+fg0.

Autrement ditfgest une pirmitive def0g+fg0.Par denition de l'integrale, on a doncRbaf0(x)g(x)+f(x)g0(x)dx=f(b)g(b)f(a)g(a):Exemple.Supposons que l'on veuille calculerRbaxsin(x)dx.

L'integrande est le produit dela fonctionx7!sin(x) et de la fonctionx7!x.

Appliquer la formule d'integration par partie,nous conduira a remplacer l'une de ces fonctions par sa derivee, et l'autre par sa primitive.Cela sera-t-il avantageux? On remarque que la derivee de la fonctionx7!xest une constante(ce qui simplie considerablement la situation, et que la primitive de la fonctionx7!sin(x)estx7! cos(x) (qui n'ets ni plus ni moins compliquee quex7!sin(x)).

L'integration parpartie semble donc avantageuse.

On posef0(x) = sin(x) etg(x) =x, et on obtientZbax:sin(x)dx=bcos(b)+acos(a)Zbacos(x)dx=bcos(b)+acos(a)sin(b)+sin(a):L'integrale est calculee.Enn, un outil tres puissant | mais dicile a manipuler | pour calculer des integrales estle theoreme de changement de variable :Theoreme 8.3.4(Theoreme de changement de variable).Soit[a;b]un intervalle deR, soituune fonction denie (au moins) sur[a;b]et derivable, et soitfune fonction continue denie(au moins) sur l'image de l'intervalle[a;b]paru.

Alors on aZbaf(u(x))u0(x)dx=Zu(b)u(a)f(t)dt:Demonstration.SoitFune primitive def. Alorsx7!F(