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Espaces vectoriels normés et espaces de Banach

Comment montrer qu'un espace est de Banach ?
Pour démontrer qu'un espace vectoriel normé E est un espace de Banach, la méthode usuelle est la suivante : on considère une suite (xn) de Cauchy de E . on fabrique une limite possible de la suite (xn) , que l'on notera x .
Bien souvent, pour ce point, on utilise qu'un autre espace est complet.
Comment montrer un espace vectoriel normé ?
Pour tout espace mesuré (X, Σ, μ) et pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace L^p(μ) des fonctions mesurables de X dans K (prises à égalité près presque partout) et p-intégrables (ou bornées si p = ∞), muni de la norme p associée, est un espace vectoriel normé.
Lorsque μ est la mesure de comptage, on le note plutôt ℓ^p(X).
Est-ce que R est un espace de Banach ?
Un espace vectoriel normé qui est complet s'appelle espace de Banach.
Par exemple, (R,⋅) , (C,⋅) sont complets.
Si (E,∥⋅∥) est un espace vectoriel normé, l'application d:E×E→R+ d : E × E → R + définie par d(x,y)=∥x−y∥ d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ est appelée distance associée à la norme ∥⋅∥ sur E .

Un espace vectoriel normé (E,k · k) est un espace de Banach s'il est complet (pour la métrique associé à sa norme). (E,k · k) est convergente. (K,|·|) est complet), et donc pour toute norme k·k sur Kn, on obtient un espace complet.

Espaces vectoriels normés et espaces de Banach

Comment montrer qu'un espace est de Banach ?

Comment montrer un espace vectoriel normé ?

Est-ce que R est un espace de Banach ?