Pour démontrer qu'une application linéaire u:E→F u : E → F est continue, on cherche une constante C>0 telle que, pour tout x∈E x ∈ E , on ait ∥u(x)∥≤C∥x∥ ‖ u ( x ) ‖ ≤ C ‖ x ‖ (voir cet exercice).
Applications linéaires sur un espace de dimension finie
Si E est de dimension finie alors (quel que soit le choix de la norme sur E, puisque toutes sont équivalentes), toute application linéaire sur E est continue.
On vérifie de même que Δ est un endomorphisme de E ou bien on emploie Δ=T-IdE pour parvenir à la même conclusion par opérations sur les endomorphismes.
Pour montrer qu'une application linéaire f∈ℒ(E,E′) est continue, il suffit de déterminer k∈ℝ vérifiant ∥f(x)∥≤k∥x∥ pour tout x∈E.