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Biblioth`eque d"exercices´Enonc´esTopologie Feuille n◦2Continuit´eApplications continuesExercice 1SoitXun espace topologique etf:X→R.1.

Montrer quefest continue si et seulement si pour toutλ?R, les ensembles{x;f(x)<λ}et{x;f(x)> λ}sont des ouverts deX.2.

Montrer que sifest continue, pour toutωouvert deR,f-1(ω) est unFσouvert deX(Fσ= r´eunion d´enombrable de ferm´es).Exercice 21.

SoitCl"espace des fonctions continues r´eelles sur [0,1] muni de la m´etriqued1(f,g) =?10|f-g|dx, puis de la m´etriqued∞(f,g) = supx|f(x)-g(x)|.

V´erifier quel"applicationf→?10|f|dxdeCdansRest 1-lipschitzienne dans les deux cas.2. Soitcl"espace des suites r´eelles convergentes, muni de la m´etriqued(x,y) = supn|x(n)-y(n)|. Si on d´esigne par?(x) la limite de la suitex, montrer que?est une applicationcontinue decdansR.

En d´eduire quec0est ferm´e dansc.Exercice 3Soitf,gdeux applications continues deXdansY, espaces topologiques,Y´etants´epar´e.

Montrer que{f=g}est ferm´e dansX; en d´eduire que sifetgco

ıncident sur unepartie dense deX, alorsf=g.Exercice 4Une application deXdansYest diteouvertesi l"image de tout ouvert deXestun ouvert deY;ferm´eesi l"image de tout ferm´e deXest un ferm´e deY.1.

Montrer qu"une fonction polynomiale deRdansRest une application ferm´ee.2.

Montrer que l"application (x,y)?X×Y→x?Xest ouverte mais pas n´ecessairementferm´ee (consid´erer l"hyperbole ´equilat`ere deR2).3.

Montrer que la fonction indicatrice de l"intervalle [0,12], comme application deRdans{0,1}, est surjective, ouverte, ferm´ee, mais pas continue.4.

Montrer que toute application ouverte deRdansRest monotone.Exercice 51. Montrer quefest continue si et seulement sif(A)?f(A) pour toutAdansX. Que peut-on dire alors de l"image parfd"un ensemble dense dansX?2.

Montrer quefest ferm´ee si et seulement sif(A)?f(A), et quefest ouverte si etseulement sif(◦A)?◦f(A).

1) Applications uniform´ement continuesExercice 61.

Soitfune fonction r´eelle continue sur [0,1]; montrer quefest "presquelipschitzienne" au sens :?ε >0?Cε;?x,y?[0,1]|f(x)-f(y)|?Cε|x-y|+ε.2.

Montrer qu"une fonctionfuniform´ement continue deRdansRv´erifie pour toutx?R,|f(x)|?a|x|+bo`uaetbsont des constantes.Exercice 7Soitfune fonction continue de ]0,1[ dansR.

Montrer que, sifest uniform´ementcontinue, elle est born´ee.

R´eciproque?Exercice 8Soitfune fonction uniform´ement continue surRtelle que?∞0f(t)dtconverge.Montrer queftend vers 0 quandx→+∞.

Retrouver ainsi le fait que la fonction sin(x2) n"estpas uniform´ement continue.Applications lin´eaires born´eesExercice 9SoientE1,E2etFdes espaces norm´es surRet soitB:E1×E2→Funeapplication bilin´eaire.

Montrer queBest continue si et seulement s"il existeM >0 tel que?B(x)??M?x1??x2?pour toutx= (x1,x2)?E1×E2.Exercice 10SoientEetFdeux espaces norm´es etL:E→Fune application lin´eairev´erifiant : (L(xn))nest born´ee dansFpour toute suite(xn)ndeEtendant vers0?E.MontrerqueLest continue.Exercice 11SoientEetFdeux espaces norm´es r´eels etf:E→Fune application born´eesur la boule unit´e deEet v´erifiantf(x+y) =f(x) +f(y) pour toutx,y?E .Montrer quefest lin´eaire continue.Exercice 12Calculer la norme des op´erateurs suivants :- Le shift surl∞d´efini parS(x)n+1=xn,S(x)0= 0.-X=C([0,1]) muni de la norme?.?∞etTf(x) =f(x)g(x) o`ug?X.Calculer la norme des formes lin´eaires suivantes :-X=C([0,1]) muni de la norme?.?∞etu(f) =?10f(x)g(x)dxo`ug?Xest une fonctionqui ne s"annule qu"enx= 1/2.-X=l2etu(x) =?anxno`u (an) est dansX.-X=l1etu(x) =?anxno`u (an) est dansl∞.-Xl"espace des suites convergentes muni de la norme sup etu:X→Rl"applicationu(x) =limj→∞xj.Exercice 13SoitX=R[x] l"ensemble des polynˆomes.

PourP(x) =?pk=0akxkon pose?P?=supk|ak|,U(P)(x) =?nk=11kakxketV(P)(x) =?nk=1kakxk.1. Montrer que?.?d´efinit une norme et queUetVd´efinissent des applications lin´eaires deXdansX.2.

Examiner siUetVsont continues?2Exercice 14Soitl∞l"espace des suites r´eelles muni avec la norme uniforme, i.e.?x?∞=supn|xn|.

On consid´ere l"applicationA:l∞→l∞d´efinie parA(x1,x2, ,xn, ) = (x1,x2/2, ,xn/n, ).Montrer que :1.Aest injective et continue avec?A?= 1.

Par contre,An"est pas surjective.2.Aadmet un inverse `a gauche mais qu"il n"est pas continu.Exercice 15SoitXun espace norm´e,L:X→Rune forme lin´eaire non nulle etH=L-1({0})son noyau.1.

Montrer que, siLest continue, alorsHest un sous-espace ferm´e dansX.´Etablir larelationdist(a,H) =|L(a)|?L?pour touta?X .2.

R´eciproquement, supposons que le noyauHest un ferm´e.

D´emontrer alors que dist(a,H)>0 d`es quea?X\Het en d´eduire queLest continue de norme au plus|L(a)|/dist(a,H).3.

Peut-on g´en´eraliser ceci a des applications lin´eaires entre espaces norm´es?Exercice 16SoitX=C([0,1]) avec la norme?f?=?10|f(t)|dt.

Montrer que la forme lin´eairef?X?→f(0)?Rn"est pas continue.

Que peut-on en d´eduire pour le sous-espace des fonctionsdeXnulles en 0?Exercice 17SoitX={f? C(R) ; (1 +x2)|f(x)|soit born´ee}.

On poseN(f) = supx?R(1 +x2)|f(x)|.

V´erifier queNest une norme, puis montrer que la forme lin´eaire suivanteLestcontinue et calculer sa norme :L:X→Rd´efinie parL(f) =?Rf(x)dx .

3) Biblioth`eque d"exercicesIndicationsTopologie Feuille n◦2Continuit´eIndication 11.

Utiliser le fait que tout ouvert deRest l"union d´enombrable d"intervallesouverts.2.´Ecrire un intervalle ferm´e comme union d´enombrable d"intervalles ouverts, puis utiliserla mˆeme remarque que ci-dessus.Indication 21 2.

Pour montrer quec0est ferm´e, l"´ecrire comme image r´eciproque de quelque chose.Indication 3Montrer que le compl´ementaire est un ouvert.

Si vous le souhaitez, placez-vousdans des espaces m´etriques.Indication 41. Pour un polynˆomeP, la limite deP(x) ne vaut±∞que lorsquextendvers±∞.Indication 51.

Pour le sens direct utiliser la caract´erisation de l"adh´erence par les suites.Pour le sens r´eciproque, montrer que l"image r´eciproque d"un ferm´e est un ferm´e.Indication 81.

Par l"absurde, consid´ererI(x) =?x0f. Trouver une suite (pn) telle que(I(pn)) ne soit pas une suite de Cauchy.2.

Pour montrer que cette int´egrale converge utiliser le changement de variableu=t2puisfaire une int´egration par partie.Indication 9Si la relation est v´erifi´ee montrer queBest continue enxen calculantB(x+y)-B(x).

SiBest continue alors en particulierBest continue en (0,0), fixer leεde cettecontinuit´e, Indication 10La continuit´e deLsurE´equivaut la continuit´e en 0.

Par l"absurde supposerqueLn"est pas continue en 0 et construire une suite (xn) qui tend vers 0 mais avec (L(xn))non born´ee.Indication 11Il faut montrerf(λx) =λf(x) pourλ?R.

Le faire pourλ?N, puisλ?Z,puisλ?Qet enfinλ?R.Indication 121.?S?= 1;2.?T?=?g?∞;3.?u?=?10|g|, on distinguera les cas o`ugreste de signe constant etgchange de signe;4.?u?=?an?2;5.?u?=?a?∞;6.?u?= 1.Indication 13Uest continue et?U?= 1,Vn"est pas continue.Indication 151.

Montrer d"abord queXse d´ecompose sous la formeH+R.a.2. 3. Non! Chercher un contre-exemple dans les exercices pr´ec´edents.Indication 17Montrer que?L?=π. 1) Biblioth`eque d"exercicesCorrectionsTopologie Feuille n◦2Continuit´eCorrection 11. Sens direct.

Sifest continue alors{x|f(x)< λ}=f-1(]- ∞,λ[) estun ouvert comme image r´eciproque par une application continue de l"intervalle ouvert]- ∞,λ[.

De mˆeme avec ]λ,+∞[.R´eciproque.

Tout d"abord, tout intervalle ouvert ]a,b[, (a < b) peut s"´ecrire]a,b[=]- ∞,b[∩]a,+∞[.Doncf-1(]a,b[) =f-1(]- ∞,b[)∩f-1(]a,+∞[)est une intersection de deux ouverts donc un ouvert deX.

SoitOun ouvert deR, alorsOpeut s"´ecrire comme l"union d´enombrables d"intervalles ouverts :O=?i?I]ai,bi[.Doncf-1(O) =?i?If-1(]ai,bi[)est une union d"ouvert donc un ouvert deX.2.

Nous le faisons d"abord pour un intervalle ouvert ]a,b[.]a,b[=?j?N?[a+1n,b-1n].Doncf-1(]a,b[) =?j?N?f-1([a+1j,b-1j]),est une union d´enombrable de ferm´es.

Maintenant comme pour la premi`ere question, toutouvertOdeRs"´ecritO=?i?I]ai,bi[, avecId´enombrable.

Donc on peut ´ecriref-1(O) =?i?I?j?N?f-1([ai+1j,bi-1j]),qui est une union d´enombrable de ferm´es (mais c"est un ouvert!).Correction 21.

SoitFl"application d´efinie parF(f) =?10|f|.Alors|F(f)-F(g)|=|?10|f| - |g||??10|f-g|=d1(f,g)?d∞(f,g).Donc pour les deux distancesd1etd∞,Fest lipschitzienne de rapport 1.12.

Soitε >0 alors en posantη=εon obtient la continuit´e : sid(x,y)< εalors|?(x)-?(y)|?ε.Donc?est continue, etc0=?-1({0}) est un ferm´e , car c"est l"image r´eciproque du ferm´e{0}par l"application continue?.Correction 3SoitA={x?X|f(x) =g(x)}.

Alors soitC=X\A={x?X|f(x)?=g(x)}.

Soitx?Ccommef(x)?=g(x) et queYest s´epar´e, il existe un voisinage ouvertV1def(x) etV2deg(x) tel queV1∩V2=∅.

NotonsU=f-1(V1)∩g-1(V2). AlorsUest un ouvertdeXcontenantx. Maintenant pourx??U, alorsf(x?)?V1,g(x?)?V2doncf(x?)?=g(x?),doncx??C. BilanUest inclus dansC. DoncCest ouvert.Application : siAest dense dansXalors¯A=X, mais commeAest ferm´eA=¯A. DoncA=X, c"est-`a-direfetgsont ´egales partout.Correction 41. SoitPun polynˆome, etFun ferm´e deR. Soit (yn) une suite convergented"´el´ements deP(F), ety?Rsa limite. Il existexn?Ftel queyn=P(xn).

Comme(yn) est born´ee (car convergente) alors (xn) aussi est born´ee, en effet un polynˆome n"aune limite infini qu"en±∞.

Comme (xn) est une suite born´ee deRon peut en extraireune sous-suite convergente (xφ(n)) de limitex.

CommeFest ferm´e,x?F.

CommePestcontinue (c"est un polynˆome) alorsyφ(n)=P(xφ(n))→P(x), mais (yφ(n)) converge aussiversy.

Par unicit´e de la limitey=P(x)?P(F). DoncP(F) est ferm´e.2.

SoitX=Y=RetH= (xy= 1) est un ferm´e deX×Y, mais siπ(x,y) =xalorsπ(H) =R?n"est pas un ferm´e deX=R.3.

A v´erifier Correction 51.?. Soitfcontinue ety?f(¯A). Il existex?¯Atel quey=f(x). Soitxn?Atel que (xn) converge versx. Alorsyn=f(xn)?A. Commefest continue alors(yn) converge versf(x) =y. Doncyest adh´erent `af(A). Conclusionf(¯A)?f(A).?. Soitf:X→Yet soitFun ferm´e deY. NotonsA=f-1(F). Alorsf(A)?Fdoncl"´equationf(¯A)?f(A) devientf(¯A)?¯F=FcarFest ferm´e. Donc¯A?f-1(F) =A.Donc¯A?A, d"o`u¯A=A. DoncAest ferm´e.

Bilan l"image r´eciproque de tout ferm´eFest un ferm´e, doncfest continue.Application : siAest dense, alors¯A=X, et sous les hypoth`eses pr´ec´edentes alorsf(A)est dense dans l"image deXparf: en effetf(A) contientf(¯A) =f(X)2.?.

Soitfferm´e et soitA?X.

AlorsA?¯Adoncf(A)?f(¯A), donc comme¯Aest unferm´e etfest ferm´ee alorsf(¯A) est un ferm´e contenantf(A).

Mais commef(A) est leplus petit ferm´e contenantf(A) alorsf(A)?f(¯A).?. La relation pour un ferm´eFdonnef(F)?f(¯F) =f(F). Doncf(F) =f(F). Doncf(F) est ferm´e. Doncfest ferm´ee.Mˆeme type de raisonnement avecfouverte.Correction 81. Supposons quefne tende pas vers 0. Soitε >0 fix´e. Pour toutn?0,il existexn?ntel que|f(xn)|> ε.

Sans perte de g´en´eralit´e nous supposonsf(xn)> ε.Appliquons l"uniforme continuit´e : soitε?=ε2, Il existeηtel que pour|xn-y|?ηon ait|f(xn)-f(y)|< ε?.

Donc pour un tely,f(y)>ε2>0. Doncfest strictement positivesur [xn-η,xn+η]. Notons alors (pn) d´efinie parp2n=xn-η,p2n+1=xn+η. SoitI(x) =?x0f. AlorsI(p2n+1)-I(p2n) =?xn+ηxn-ηf(t)dt?ε2·2η=εη.

Donc la suite (I(pn))n"est pas de une suite de Cauchy, donc ne converge pas, donc la fonctionx?→I(x) neconverge pas non plus, et donc?∞0f(t)dtdiverge.22.

Par le changement de variableu=t2puis une int´egration par partie, on montre quel"int´egrale?∞0sin(t2)dtconverge, mais commef(x) = sin(x2) ne tend pas vers 0 alorsfn"est pas uniform´ement continue surR.Correction 9Pourx= (x1,x2)?E1×E2on d´efinit?x?= max(?x1?,?x2?).1.

Sens?. SoitM >0 tel que?B(x)??M?x1??x2?. Montrons queBen continue au pointx= (x1,x2) fix´e.

Soity= (y1,y2) alorsB(x+y)-B(x) =B(x1+y1,x2+y2)-B(x1,x2) =B(x1,y2) +B(x2,y1) +B(y1,y2).Donc?B(x+y)-B(x)??M?x1??y2?+M?x2??y1?+M?y1??y2?.Pour?y1??εM?x1?on aM?x1??y2??ε(six1= 0 il n"y a rien `a choisir ici).

Pour?y2??εM?x2?on aM?x2??y1??ε(six2= 0 il n"y a rien `a choisir ici). Enfin pour?y1???εMet?y2???εMon aM?y1??y2??ε.

Donc en prenantη= min(εM?x1?,εM?x2?,?εM), onobtient que pour?y?= max(?y1?,?y2?)?ηon a?B(x+y)-B(x)??3ε.

Ce qui prouvela continuit´e. DoncBest continue surE1×E2.2. Sens?. SiBest continue partout, en particulier elle est continue en 0. Je choisisε= 1,il existeη >0 tel que?x??ηalors?B(x)??1. Donc pour?x1??ηet?x2??ηon a?B(x1,x2)??1.

Soit maintenanty= (y1,y2)?E1×E2, (y1?= 0,y2?= 0) ona (ηy1?y1?,ηy2?y2?) de norme?ηdoncB(ηy1?y1?,ηy2?y2?)?1 et par bilin´earit´e cela fournit :B(y1,y2)?1η2?y1??y2?, et ce pour tout (y1,y2).

La constante cherch´ee ´etant1η2.Correction 10CommeLest lin´eaire il suffit de montrer queLest continue en 0.

Supposonsque cela ne soit pas vrai, alors il faut nier la continuit´e deLen 0 qui s"´ecrit :?ε >0?η >0?x?E(?x?< η? ?L(x)?< ε).La n´egation s"´ecrit alors :?ε >0?η >0?x?E(?x?< ηet?L(x)??ε).Soit donc un telε >0 de la n´egation, pourηde la formeη=1n, on obtientyntel que?yn?<1net?L(yn)??ε.

On posexn=⎷nyn, alors?xn?=⎷n?yn?<1⎷ndonc (xn) est une suite deEqui tend vers 0. Par contre?L(xn)?=⎷n?L(yn)??ε⎷n, donc la suite (L(xn)) n"est pasborn´ee. Par contraposition nous avons obtenu le r´esultat souhait´e.Correction 111.

Sifest lin´eaire et born´ee sur la boule unit´e alors elle est continue (voirle cours ou refaire la d´emonstration).2.

Il reste `a montrer quefest lin´eaire : on a d´ej`af(x+y) =f(x) +f(y) pour toutx,yreste donc `a prouverf(λx) =λf(x).

Pour toutλ?Retx?E.- Pourλ?Z, c"est une r´ecurrence,f(2x) =f(x+x) =f(x) +f(x) = 2f(x). Puisf(3x) =f(2x+x) =f(2x)+f(x) = 2f(x)+f(x) = 3f(x) etc. Doncf(nx) =nf(x) pourn?N. De plus 0 =f(0) =f(x+(-x)) =f(x)+f(-x) doncf(-x) =-f(x). Ensuiteon af(-nx) =-nf(x) pourn?N.

Bilan : pour toutλ?Zon af(λx) =λf(x).- Pourλ?Q, soitλ=pq,p,q?Z.f(pqx) =pf(1qx) =pqqf(xq) =pqf(qxq) =pqf(x).Nous avons utilis´e intensivement le premier point.3- Soitλ?Ralors il existe une suite (λn) d"´el´ement deQqui converge versλ.

Fixonsx?E.f(λx)-λf(x) =f(λx)-f(λnx) +f(λnx)-λf(x) =f((λ-λn)x) + (λn-λ)f(x).Nous avons utilis´e le second point.

Soitε?Q?+.

Pournassez grand on a?(λ-λn)x?< ε.Donc?1ε(λ-λn)x? ?B(0,1) orfest born´ee sur la boule unit´e donc il existeM >0 telquef(1ε(λ-λn)x)?M(quelque soitn).

Doncf(λ-λn)x)?Mε(εest rationnel doncon peut le "sortir"). De mˆeme pournassez grand on a (λn-λ)f(x)< ε.

Maintenant?f(λx)-λf(x)???f((λ-λn)x)?+?(λn-λ)f(x)?< Mε+ε.Donc pourx,λfix´es,?f(λx)-λf(x)?est aussi petit que l"on veut, donc est nul! D"o`uf(λx) =λf(x) pourλ?R.Correction 121.

Pour toutx,?S(x)?=?x?donc?S?= 1.2.?T(f)?∞=?f×g?∞??f?∞?g?∞. Donc pourf?= 0,?T(f)?∞?f?∞??g?∞. De plus eng, onobtient?T(g)?∞?g?∞=?g2?∞?g?∞=?g?∞. Donc?T?=?g?∞.3. On a|u(f)|??f?∞?10|g(x)|dxdonc?u???10|g(x)|dx.

Signe change pas de signe sur[0,1] alors pourfla fonction constant ´egale `a 1, on obtient|u(f)|=?f?∞?10|g(x)|dxdonc?u?=?10|g(x)|dx.

Sigchange de signe alors il ne le fait qu"une fois et en12.

Soithnla fonction d´efinie parhn(x) = 1 six?[0,12-1n],hn(x) =-1 six?[12+1n,1] ethnestaffine sur [12-1n,12+1n] et continue sur [0,1].

Cette fonction est construite de telle sorteque sigest positive puis n´egative alorshn×gest une fonction continue qui convergeuniform´ement vers|g|:?hng-|g|?∞→0.

Donc|u(hn)|=?10hn×get par la convergenceuniforme alors|u(hn)|converge vers?10|g|. Donc?u?=?10|g|.4.|u(x)|=|?anxn|??an?2?xn?2(c"est Cauchy-Schwartz) donc?u???an?2.

Pour lasuitex=aon a ´egalit´e d"o`u?u?=?an?2.5.|u(x)|=|?anxn|??|anxn|??a?∞?|xn|=?a?∞?xn?1, donc?u???a?∞.

Soitpfix´e, soiti(p) un indice tel que|ai(p)|= maxj=1, ,p|aj|.

On construit une suitexpde lamani`ere suivante :xp= (0,0, ,0,ai(p),0,0,0 ) (des z´eros partout saufai(p)`a la placei(p)).

Alors?xp?1=|ai(p)|et|u(xp)|=a2i(p). Donc|u(xp)|?xp?1=|ai(p)|. Lorsqueptend vers+∞,|ai(p)| → ?a?∞. Donc?u?=?a?∞.6.|u(x)|=|limxn|??x?∞, donc