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lec¸on 208 : espaces vectoriels normés applications linéaires

Comment montrer un espace vectoriel normé ?
Pour tout espace mesuré (X, Σ, μ) et pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace L^p(μ) des fonctions mesurables de X dans K (prises à égalité près presque partout) et p-intégrables (ou bornées si p = ∞), muni de la norme p associée, est un espace vectoriel normé.
Lorsque μ est la mesure de comptage, on le note plutôt ℓ^p(X).
Comment montrer qu'une application linéaire est un espace vectoriel ?
Si f est une application linéaire de E dans F, et g une application linéaire de F dans G alors g ◦ f est une application linéaire de E dans G.
Le noyau de f est l'ensemble des v ∈ E tels que f(v) = 0.
C'est un sous-espace vectoriel de E noté Ker(f).
Comment montrer qu'une application linéaire est continue ?
Pour démontrer qu'une application linéaire u:E→F u : E → F est continue, on cherche une constante C>0 telle que, pour tout x∈E x ∈ E , on ait ∥u(x)∥≤C∥x∥ ‖ u ( x ) ‖ ≤ C ‖ x ‖ (voir cet exercice).
En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire, et préserve ainsi plus généralement les combinaisons linéaires.

Comment montrer un espace vectoriel normé ?