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ESPACES VECTORIELS NORMÉS CHAPITRE

Comment montrer un espace vectoriel normé ?
Pour tout espace mesuré (X, Σ, μ) et pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace L^p(μ) des fonctions mesurables de X dans K (prises à égalité près presque partout) et p-intégrables (ou bornées si p = ∞), muni de la norme p associée, est un espace vectoriel normé.
Lorsque μ est la mesure de comptage, on le note plutôt ℓ^p(X).
Comment vérifier qu'une application est une norme ?
Une application ∥⋅∥:E→R+ ‖ ⋅ ‖ : E → R + est appelée une norme si elle vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tout x∈E x ∈ E , ∥x∥=0⟺x=0 ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0 .
Pour tout x∈E x ∈ E et tout λ∈K λ ∈ K , ∥λx∥=λ⋅∥x∥ ‖ λ x ‖ = λ ⋅ ‖ x ‖ (homogénéité).
Quand Dit-on qu'une distance est subordonnée à une norme ?
Si (E,∥⋅∥) est un espace vectoriel normé, l'application d:E×E→R+ d : E × E → R + définie par d(x,y)=∥x−y∥ d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ est appelée distance associée à la norme ∥⋅∥ sur E .
La norme d'un espace vectoriel normé (e.v.n.) est une donnée supplémentaire qui va nous permettre de dire quand des points vont être proches au sein de cet espace, c'est-à-dire que cela va nous donner une notion de distance sur l'espace.

Comment montrer un espace vectoriel normé ?