Tous droits r€serv€s Revue des sciences de l'eau, 1988Ce document est prot€g€ par la loi sur le droit d'auteur.
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Il a pour mission la promotion et la valorisation de la recherche.https://www.erudit.org/fr/Document g€n€r€ le 7 f€v. 2024 23:08Revue des sciences de l'eauJournal of Water ScienceAnalyse de contraintes probabilistes dans la gestion d'unsyst€me hydrolectriqueAnalysis of probabilistic constraints in the management of ahydroelectric power systemD.
Richard et A.
TurgonVolume 1, num€ro 3, 1988URI : https://id.erudit.org/iderudit/705007arDOI : https://doi.org/10.7202/705007arAller au sommaire du num€roƒditeur(s)Universit€ du Qu€bec - INRS-Eau, Terre et Environnement (INRS-ETE)ISSN0992-7158 (imprim€)1718-8598 (num€rique)D€couvrir la revueCiter cet articleRichard, D. & Turgon, A. (1988).
Analyse de contraintes probabilistes dans lagestion d'un syst me hydro€lectrique.Revue des sciences de l'eau / Journal ofWater Science1(3), 161†178. https://doi.org/10.7202/705007arR€sum€ de l'articleLa gestion des syst mes hydro€lectriques s'effectue de plus en plus dans uncontexte multi-objectifs car l'eau sert non seulement " produire de l'€lectricit€mais bien " d'autres fins comme la navigation, le flottage du bois, etl'alimentation des municipalit€s.
Dans cet article, nous montrons comment cesautres fins peuvent ‡tre incorpor€es sous forme de contraintes probabilistesdans un mod le de gestion " long terme des installations d'une vall€e.
Leprobl me devient alors de non seulement r€soudre le probl me de gestionmais bien d'ajuster la valeur des contraintes probabilistes de faˆon " ce que laprobabilit€ de ne pas satisfaire les besoins des autres usagers soit acceptable.Le choix de la probabilit€ de d€passement des contraintes a naturellement uneffet sur la production d'€lectricit€.
Une €tude effectu€e sur la rivi reSt-Maurice permettra de montrer l'importance de celle-ci.REVUE DES SCIENCES DE L'EAU 161-178Analysedecontraintesprobabilistesdanslagestiond'unsystèmehydroélectriqueAnalysisofprobabilisticconstraintsinthemanagementofahydroelectricpowersystemDRICHARD(1etATURGEONU)RÉSUMLagestiondessystèmeshydroélectriquess'effectuedeplusenplusdansuncontextemuLti-objectifscar l'eau sert non seulementproduiredel'électricitmaisbiend'autresfinscommelanavigationlefLottageduboisetl'alimentationdesmunicipalitésDanscetarticlenousmontronscommentcesautresfinspeuventêtreincorporéessousformedecontraintesprobabilistesdansunmodèledegestionLongtermedesinstallationsd'unevalléeLeproblèmedevientalorsdenon seulementrésoudreleproblèmedegestionmaisbiend'ajusterlavaleurdescontraintesprobabilistesdefaçoncequelaprobabilitdenepassatisfairelesbesoinsdesautresusagerssoitacceptableLechoixdelaprobabilitdedépassementdescontraintesanaturellementuneffetsurlaproductiond'électricité.
Une étude effectuée sur la rivière St-Maurice permettrademontrerl'importancedeceLle-ciMotsclés: Sy&tzme. hydfwttzcJjUqaz, gestion de. ta pioducXûm, modëZe. ttochcutùtue., cont/talntzi ptobabltâiteÀ, optiml&atlon, pAogfiammaticn dynamique. .SUMMARYThepaperdealswiththeproblemofdeterminingtheamountofwatertoreleasefromseveralréservoirslocatedinthesame(1Hydro-QuébecPlanificationdeséquipements1001estdeMaisonneuveMontréalQuébec(2Hydro-Québec(IREQ)VarennesQuébecJDL2P0162 Revue des sciences de l'eau 1, n°Sriverbasin, so as to satisfy the demand for electricity atminimalcostwhiLerespecting a set of constraints reLatedtoenvironmentprotectionfloodcontrolwoodfLoating andnavigationWouLd the demand for eLectricity and the riverinfLows be known for the entire period studied, that the pro-bLemcouLb be writtenMinimi2e {Z (D - HCX)) / AX > 6, X e r}, C1)Where Z is thecost function, D the demand for electricalenergy, HCX) the hydroeLectric production, AX > 6 the set ofconstraintsmentionedabove, and V the set of admissible solutions.
However, since the demand for eLectricity and the riverinflowscannot be forecasted a Long time in advance, and sincetheychangesignificantlyfrom one year to the next, theconstraints AX > 8 cannot always be respected.
For instance,maintaining the Level of réservoir i above Qj may be impossible in a period of very Low fLow.
In order to find a solutionto the problem, the constraints AX > 6 were replaced by theprobabiListicconstraintsPrCAX > 6) ** B and the problemrewrittenMinimize E {E (D - HCX))} C2)s.tPrCAX < 6) < B (3)X E T <4>Where E dénotes the mathematical expectation and Pr the proba-bility.
In the solution procédure, however, constraints (3)are not directly taken into account, but are replaced by addi-tionaLterms in the objective function which penalize violations of the constraints.
The parameters of thèse penaltyterms are adjusted iteratively until constraints (3) arerespectedMorepreciselyvalues are chosen for the parameters and the problem is solved by stochastic dynamic program-mingNext, the opération of the réservoirs is simulated overhundreds of years to find out whether constraints C3) arerespectedwith the parameters initially selected.
If the constraints are too often vioLated or not enough, the values oftheparameters are changed and the problem solved again.
Thisapproach has been appLîed to the St-Maurice river in Canada,whereupperLimits on the flow exist at différent points alongtheriver to prevent fLoods.
The aim of the study was to findanoperatingpoLicythatrespectsthèseupperLimits 95 % ofthetitne, and to détermine what effects such policy has on theproduction of hydroeLectric energy.Key-words: By&iozle.cjOiÂ.ç. &yét2m, production ichcduting, Atochoitic. rriodeZ, piobahÂXiMiJjL co*u>£ruU.n£&, optùnlzcLtion,. dynamic pnogfiamning.Gestion d'un système hydroêlectrique 1621 i1- INTRODUCTIONLagestiondessystèmeshydriquesconsistentdéterminerlessoutiragesdevantêtreeffectuéssurunensembled'ouvragesdecontrôlepourconcilierl'ensembledesbesoinsdesusagersAHydro-Québeccette gestiondoitêtrefaitedansuncadremulti-objectifscarenplusdel'objectifmajeurdeproductionquiconsisteallouerlaressourcedansletempspourrépondrelademanded'électricitéunesériedesous-objectifsreliésl'utilisationde l'eau par d'autres usagers sont égalementencauseCessous-objectifsconcernentprincipalementlaluttecontrelesinondationsleflottageduboisetl'environnementIlss'exprimentparlemaintiendifférentespériodesdetempsdecertainsdébitsenrivièreetdeniveauxdanslesréservoirsSilademanded'électricitetlesapports d'eau naturel ne variaient pas d'une année à l'autre, ces sous-objectifs pourraient être représentés par un ensemble de contraintes déterministes dans le problème de gestion de sorte que celui-ci pourrait s'écrire mathématiquement comme suit :Minimiser{z(D-H(X)jAX9X E T} (1)oZestunefonctionde l'écart entre la demande d'énergie électrique Detlaproductionhydroélectrique H{X), AX > 8 dénote l'ensemble descontraintesassociéesauxsous-objectifsduproblème(flottageinondation, J et où T représente l'ensemble des solutions physiquementréalisables.
Cependant, comme la demande d'électricité et les apportsnaturelsvarientsensiblement d'une année à l'autre, il arrive que lescontraintesAX6nepeuventpasêtretoutessatisfaitesParexemple, maintenir le débit au site i au-dessus d'un certain seuil Ô^peutêtretoutsimplementimpossibleaucours d'une période de trèsfaiblehydraulicitéLeproblèmerevientdonctrouverlasolutionlaplussatisfaisantepourl'ensembledesusagerspuisqu'iln'existepasdesolutionauproblème(1)SupposonsquedanslepasslacontrainteAX8aétsatisfaitedurantdutemps(o6estunvecteurdemêmedimensionque X), etquececiasatisfaitl'ensembledesusagersOndevraitalorsviseraumoinsobtenirlesmêmesrésultatsdanslefuturetparconséquentajusterlaproductionhydroélectriquedefaçonMinimiserE{Z(D-H(X))(2sousPr(AX>6) Dans l'opération courante, la valeur de 8 sera donc considéréeconstantemoinsqu'unemodificationsensiblesurviennedanslademanded'électricitédansladistributiondesapportsoudanslesobjectifsvisésparlesusagersDanscequisuitnousprésenteronsunoutilmathématiquepermettantderésoudreleproblème(2(4enconsidérantdesvaleursde8déterminéesapriori.NoustraiteronssuccessivementdelaformulationduproblèmeetdelaméthodedesolutionUneapplicationseraparJ.asuiteeffectuéesurlebassindelarivièreSt-MauriceauQuébecCetteapplicationtenterademettreenlumièrelafaçondedéterminerunepolitiquede gestion: qui satisfait nos contraintes probabilistes.NousanalyseronségalementlesrépercussionsdecescontraintessurlaproductionhydroélectriqueGestion d'un système hydroélectrique 1652FORMULATIONDUPROBLÈMELesystèmedontnousétudieronslagestionselimiteraunerivièreetsesaffluentsCeux-citoutefoispourrontcontenirplusieurs installationshydroélectriquesdetaillesetdetypesdifférentsToutescesinstallationsserontsupposéesêtresituéesassezprès l'une del'autre pour que le coefficient de corrélation entre les apports naturelsdeuxsitesquelconquessoitconsidérégall'unitéAinsiuneseuledistributiondeprobabilitseranécessairepourreprésenterlesapportsnaturelsdetoutelavalléeLapériodedecalculserahebdomadaireCommeletempsprispar l'eaupourfranchirladistanceentredeuxinstallationsvoisinesestgénéralementbeaucouppluspetitquelasemaineilseraparconséquentnégligé2-1 Les variables et les contraintes physiquesLesvariablesquel'onretrouvedansnotremodèlesontlessuivantesGlaproductiond'énergieélectriqueenGWhassignéelavalléedanslasemainekYlavariablealéatoirereprésentantl'apportnaturelmoyenenmslavalléedanslasemainekL'apportnaturelmoyenausiteiestdénotparY£]etserasupposégalbj.Yjcobiestlafractiondel'apporttotaldelavalléeentrantausiteiUj^ : le tirage utile en m /s du réservoir i dans la semaine k ;O< U\. < OC. (5)ikioUCestlacapacitdeturbinagedelacentralei ;X,: le contenu du réservoir i en hm au début de la semaine k ; ikOX±k < XMA (6)oXMestlacapacitduréservoirIlestnoterquelecontenuduréservoiraudébutdelasemainekestreliceluidudébutdelasemainek-iparl'équationsuivante (7)oAjjreprésentelasommedesapportsnaturelsY^jetdessoutirageseffectuésauxréservoirssituésimmédiatementenamontdu.réservoiri en.m3/s.V: le déversement moyen en m /s du réservoir i dans la semaine k ; ik° Par exemple, une de ces contraintes pourraitêtreunniveaumaximumquel'onimpose à un réservoir durant une périodecritiquepourseprémunircontretoutdangerd'inondationUneautrepourraitêtredemaintenirleréservoir à un niveau minimum durant l'étépourpermettreleflottagedu bois.
Finalement certaines contraintespourraientaussiêtreimposéesauxdébitsafind'éviterlesproblèmesd'inondationsetd'étiagesBref, en termes mathématiques ces contraintes d'opération pourraientêtreexpriméesdelafaçonsuivante :(10(11(12(13oXMINiketXMAX^kreprésententrespectivementlescontenusminimumetmaximumpermissiblesauréservoiridurantlasemaineketWMINjjjetHMAXifcreprésententrespectivementlesdébitsminimumetmaximumpermissiblesausiteidurantlasemaine k.Sicescontraintesd'opérationpouvaientêtrerespectéesentouttempsellesseraienttoutsimplementajoutéesauxcontraintesphysiques(5(8pourformerl'ensembledescontraintesduproblèmeToutefois à causedesaléasdel'hydraulicitcertainescontraintesd'opérationserontviolées à l'occasion de sorte qu'il n'existe vraiment pas de solutionquisatisfassel'ensembledescontraintes(5) - (13).Pourrendreleproblèmesolublelescontraintesd'opération(10(13serontdoncremplacéesparlescontraintesprobabilistesquisuivent :E j •>»" <"u. *-! ". vi (14) k-ixik> """ik V i,kxik < XMAXik V i,kuik+ vik> """ik V i,kV+ vik " ""^ik V i,kGestion d'un système hydroélectrique 167où lik2ik3iktiksiXik < XMlNikautrementsiXik > XMAX^autrementikSiUik + Vik < WMIHijcautrementsiUik + Vik > WMAXikautrement(15(16(17(18Lasignificationdecescontraintesestlasuivantebi;^k = 1 signifiequelacontrainteXj_k > XMIN^k a été violée dans la semaine k,^iik= 0 signifie qu'elle ne l'a pas été. \ b représente donc le nom-kllkbredefoisquelacontrainteaétvioléedurantlapériodeétudiéeetKElhasignifiedoncquel'espérancemathématiquedunombrek=i1 xdefoisquelacontrainteestvioléedurantlesKpériodesà l'étudedoitêtrepluspetitouégaleo1^.
A noter que si l'on met a^ = 0,cescontraintesdeviennentidentiquesauxcontraintes(10(13)Commementionndansl'introductionleproblèmeprincipalestdetrouverunesolutionauproblèmedegestionquisatisfasselesvaleursdeadéterminées a priori.2-3 Le critère d'optimisationLecritèred'optimisationpeutchangeravec l'étude effectuée.
Toutefoisdanslecadrenormaldel'exploitationcecritèreconsistegénéralementminimiserladifférenceentrelaproductionassignéelavalléeDfc, et la production réalisée, J Hik* En termes mathématiques ce critèrepeut s'écrire : iMinimiserEFD£ H} ik' (19)oFestunefonctionconvexedeladifférencementionnéeCettefonctionserapréciséelorsdel'applicationnumérique3MÉTHODEDESOLUTIONLaprogrammationdynamiqueserautiliséecommeméthodedesolutionduproblèmestochastiqueprésentéelasection2168 Revue des sciences de l'eau 1, n°3Lorsquelesystèmecontientplusdequatreréservoirsleproblèmedoitêtremanipuldefaçonréduirelenombredevariablesd'étatspourpouvoirlesolutionnerenuntempsraisonnableparlaprogrammationdynamiqueLestechniquesd'agrégationontétlesplusemployéesjusqu'datepourrésoudrecetypedeproblèmeEllesconsistentessentiellementcombinerensembleplusieursréservoirsdefaçonlesremplacerdanslemodèleparunréservoiruniqued'énergiepotentiellePlusieurstechniquesontétproposéesdanslepassdontcellesdonnéesdans[l[2]Toutefoisnousconsidéronsdanscetarticlequelesystèmecontientquatreréservoirsaumoinsetqu'enconséquencelaprogrammationdynamiquetellequeprésentéeparBellmanpeutêtreutiliséeLadifficultrevientalorsdéterminerunefaçondeprendreencomptelescontraintesreprésentéesparl'équation (14).
Plus précisément, l'opérationconsistedécomposerlacontrainte(14enunesommedecontrainteshebdomadairesdefaçonpouvoirappliquerlaprogrammationdynamiqueIlexisteessentiellementtroisfaçonsdelefaire3-1IntroductiondenouvellesvariablesLapremièrefaçonconsistetoutd'abordréécrirelacontrainte(14commesuitKl k=i * E b"ik * aUpuisintroduireunenouvellevariabled'étatZoù ZUk = z*ik-i + E bJtik ; ZUK < aU '• Ziio = ° (20)etenfinremplacer(14par(20)Ladifficultaveccettefaçondefaireestquel'ensembledesvariablesd'étataugmenterad'unnombreégalceluidescontraintesdans(14desortequ'ildeviendratrèsdifficilederésoudreleproblèmeparlaprogrammationdynamiqueacausenotammentdesproblèmesdedimensiondécritsplushaut3-2MéthodedirecteDanscecaslacontrainte(14estadjointeaucritèred'optimisationavecunmultiplicateurdeLagrangeX-,.
Le critère d'optimisation devientalorsdeKMaximiser{MinimumEF(DHb0u,vk=iiisouslescontraintes(5(9)Gestion d'un système hydroélectrique 169Leproblêmeintérieurpeutêtrerésolu par la programmation dynamique.Leproblèmemaîtrepeutêtrerésolu par une méthode du gradient similairecelledécrite par ROSSMAN [3],3-3MéthodedespénalitésUneautrefaçondetenircomptedelacontrainte(14etlaplus facile, consiste à ajouter des termes au critère d'optimisation qui pénalisenttouteviolationdecescontraintesCestermespeuventnaturellementprendredifférentesfdrmesJusqu'maintenantdesfonctionslinéairesparpartiescommecellemontréelafigure1ontétutiliséesPXaX ;LXMIN. i* XMAX ",kFigure1.-FonctionsdepénalitésFigure2.Penaltyfunctions*Lespentes de ces fonctions sont tout d'abord choisies de façon arbitrairepuisajustéesprogressivementjusqu'l'obtention des résultatsdésirés, c'est-à-dire jusqu'à ce que (14) soit satisfaite.
La procéduresuiviepour les ajuster est de déterminer la règle de gestion des installations de la vallée puis de simuler leur opération sur des centainesd'années, à partir d'apports générés de façon aléatoire, en notant lenombre de fois que chacune des contraintes est violée.
Lorsque lacontrainte est violée trop souvent ou pas assez, les fonctions de pénalitéssontajustées de nouveau puis une nouvelle règle de gestion estdéterminée.
La procédure est recommencée jusqu'à ce que les résultatssatisfassent les seuils ctjli imposés par les usagers.Si on dénote par PX^ la pénalité associée aux contraintes (15) et(16) et par POi^ celle associée aux contraintes (17) et (18), le problêmedans ce cas peut s'écrire sous la forme :Minimiserj S f (^ - \ u^),+ | (PXlfc: f-FU^ïJ (21)sous les contraintes (5) - (9).Laméthode.despénalitésseracelleutiliséelors de l'applicationnumérique170 Revue des aciencee de l'eau 2, n°SQ350m3/SBarrageCGouinQ710m3/sRa
