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Quelques applications de la transformation de Laplace en Physique

Pourquoi on utilise la transformée de Laplace ?
Elle permet ainsi de ramener la résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants à la résolution d'équations affines (dont les solutions sont des fonctions rationnelles de p).
Comment faire une transformation de Laplace ?
La transformée de Laplace est linéaire : L(af+bg)=aL(f)+bL(g).
L ( a f + b g ) = a L ( f ) + b L ( g ) .
Si L(f)=L(g) L ( f ) = L ( g ) , alors f=g .
En particulier, si F est fixée, il existe au plus une fonction f telle que L(f)=F L ( f ) = F .
Comment trouver l'abscisse de convergence ?
On appelle abscisse de convergence de la transformée de Laplace de f le réel α0 ∈ R ∪ {−∞, +∞} défini par : (3) α0 = inf {α ∈ R, tels que f est à croissance exponentielle d'ordre α} Conséquence : Si α = +∞, alors la transformée de Laplace de f n'est pas définie.
Si f est une fonction (localement intégrable), définie sur R+, à valeurs dans C, on appelle transformée de Laplace de f la fonction Lf(z)=∫+∞0f(t)e−ztdt, z=x+iy.
L f ( z ) = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − z t d t , z = x + i y .

Ces deux transformations ont de nombreuses applications pratiques (physique, économie, probabilités, sciences de l'ingénieur, etc). La trans- formation de Laplace est en particulier très utilisée pour résoudre des équations différentielles et pour déterminer la fonction de transfert d'un système linéaire.

Quelques applications de la transformation de Laplace en Physique

Pourquoi on utilise la transformée de Laplace ?

Comment faire une transformation de Laplace ?

Comment trouver l'abscisse de convergence ?