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3 Les espaces de Banach classiques

Qu'est-ce que l'espace de Banach ?
Par exemple, si X est un espace topologique et E un espace de Banach : le sous-espace de B ( X, E) des fonctions à la fois continues et bornées, en particulier l'espace C ( K, E) des fonctions continues sur un espace compact K. (En fait, d'après le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki, tout espace de Banach est un sous-espace fermé d'un C ( K, ℝ).)
Qu'est-ce que la dualité dans les espaces de Banach ?
Dualité dans les espaces de Banach La notion de dualité est certainement bien connue du lecteur en dimension finie. Rappellons brièvement quelques propriétés fondamentales sur l’espace des formes linéaires dans ce cadre. Soit E est un espace vectoriel de dimension finie N, on considère alors une base (! e j)1jN de E.
Quelle est la différence entre une norme et un espace de Banach ?
On rappelle RN ou CN pour N 2 N , muni d’une norme est un espace de Banach. On v ́ erifie que (l1; k:kl1) est une espace de Banach. Plus g ́ en ́ eralement, les espaces lp pour tout 1 On v ́ erifie que (lp; k:klp) est une espace de Banach. Alors (B(X; E); k:kB(X;E)) est un espace de Banach.
Comment savoir si L1 est un espace de Banach ?
On v ́ erifie que (l1; k:kl1) est une espace de Banach. Plus g ́ en ́ eralement, les espaces lp pour tout 1 On v ́ erifie que (lp; k:klp) est une espace de Banach. Alors (B(X; E); k:kB(X;E)) est un espace de Banach. D ́ emonstration : c’est un excellent exercice de Master 1 (TD).

Qu'est-ce que l'espace de Banach ?