Licence SVT2emeannee Probabilites & StatistiquesT. D. nV I.
Suite tests d'hypotheseExercice n?1:Une nouvelle technique de dosage de sels nutritifs vient d'^etre mise au point.
Sept dosages, eectues a l'aide decette nouvelle technique, a partir d'echantillons d'eau de mer de la m^eme station, donnent les resultats suivants :1:17;1:16;1:16;1:19;1:19;1:21;1:18mg=l:1.
La technique utilisee jusque la etait caracterisee par un ecart-type de 0:05mg=l. Peut-on dire que la nouvelletechnique est plus precise que l'ancienne?2.
Determiner un intervalle de conance de la moyenne.Exercice n?2:On considere deux variables aleatoires reellesRetSde densites de probabilite donnees par :fR(r) =aear; r >0;0sinon,etfS(s) =bebs; s >0;0sinon.On veut construire des test concernants les parametresa >0 etb >0 de ces deux distributions en construisantdes variables aleatoires de densite connue.1.
Montrer que la variable aleatoireT= 2aRsuit une loi du22. En deduire esperance et variance deR.2. Soit un echantillonfR1;:::;Rngi.i.d.deR. Soit la variableZn= 2a(R1+:::+Rn). Donner sa loi.3. Soit un autre echantilloni.i.d.fS1;:::;SpgdeS. Soit la variableU(n;p) =pa(R1+:::+Rn)nb(S1+:::+Sp). Donner la loi deU(n;p).4.Premier test. Soitn= 12.
On a observe :0:1;1:197;0:152;0:182;0:418;0:192;0:029;0:885;0:161;0:633;0:278;0:008:Construire un test d'hypotheseH0:a= 3 contreH1:a >3.
Donner le resultat du test.5.Second test. Soitp= 10.
On a observe :0:361;0:085;0:293;0:08;0:077;0:02;0:036;0:095;0:197;0:206:Construire un test d'hypotheseH0:a=bcontreH1:a6=b.
Donner le resultat du test.6.Estimation.
En cas de rejet de l'hypothesea=b, determiner un intervalle de conance debet donner uneestimation deb.1051015200.000.020.040.060.080.100.120.14zc62RH0RH0P(Z£z6;a)=alz6;alE(Z)=6Figure 1: Distribution du26et zone de rejet pour= 0:05CorrectionsCorrection Exercice n?1:Q1- Dans cet exercice, il n'y a aucune indication sur la connaissance de parametres populationnels.
Noustravaillerons avec la realisation d'un echantillon den= 7 variables aleatoiresfX1;;;Xngque nous supposeronsi:i:d. et de m^eme loi mere d'une variableX N;2.
Nous allons donc commencer par estimer l'esperance etla variance de la population gr^ace aux estimateurs empiriquesX=1nnXi=1Xi;S2n1=1n1nXi=1XiX2:Les valeurs realisees de ces estimateurs nous donnexobs= 1:18 et 6s26= 0:002.
Posons20= 0:052.
On vamaintenant construire un test pour confronter l'hypothese nulleH0:2=20contre l'alternativeH1:2< 20(l'enonce nous dit \plus precis").
SousH0, la variableZ=(n1)S2n120=6S2620 26suit une loi du Chi2 a 6 degres de liberte.
SousH1, le protocole etant plus precis, les valeurs de l'echantillondevraient ^etre peu dispersees :Zaura tendance a prendre des valeurs plus petites que sousH0.
Nous avons doncaaire a un test unilateral avec zone de rejet a gauche (Fig. 1).Fixons= 0:05, le risque de rejeter a tort l'hypothese nulle, risque que l'on xe petit.
La valeurzn1;=z6;0:05= 1:635 represente le quantile d'ordrede la loi du26.
La zone rouge de la gure 1 represente la zone derejet deH0RH0= [0; 1:635[L'echantillon nous donnes26=0:0026soit une valeurzobs=0:0020:0025= 0:8sousH0.
On observe quezobs<1:635 et donczobs2RH0.
On en deduit donc, qu'avec une probabilite de0:95, le nouveau protocole experimental est plus precis que celui d'avant.
On peut egalement calculer la valeurobs=P(Zzobs) = 0:008, (appeleep-value) , tres faible dans ce cas.
2) Q2- L'intervalle de conance de l'esperance est la fois dependant de l'estimation de la moyenne de la populationmais egalement de celui de l'ecart-type en utilisant un echantillon de faible eectif.
On cumule donc deux sourcesde variabilite liees aux estimations des deux parametres populationnels.
On va s'interesser a la variableT=XqS2n1n=XqS2nn1=XqS267 T6qui suit une loi de Student a 6 degres de liberte.On connait l'IC1lorsque la moyenne et la variance populationnelle sont inconnusIC1=24XsS2n1ntn1;1=2;XsS2n1ntn1;=235:Avec= 0:05, la valeur observee deXet les quantiles de la loi de Student an1 = 6 degres de liberte, onobtientIC0:95="1:18r0:002672:447; 1:18 +r0:002672:447#= [1:163; 1:197]:Avec une probabilite de 0.95, sachant l'ecart-type de la population inconnu et estime avec un echantillon depetite taille, la moyenne de la population se situe dans l'intervalle [1:1631:197].Correction Exercice n?2:Q1-SoitXune variable aleatoire suivant une loi du2kakdegres de liberte.
Sa densite est donnee parfX(x) =12k2k2xk21expx2; x0;ou(z) =+10tz1exp(t)dts'appelle la fonction Gamma.
SoitT= 2aRune variable aleatoire.
Pour trouver sa densite, on va d'abord chercherl'expression de sa fonction de repartition (FR)FT(t) =P(Tt)=P(2aRt)=P(Rt2a)=FRt2a:La FR deTest donc reliee a celle deR.
La densite deTest donnee par la derivee de sa FRfT(t) =dFTdt(t):Or,Rest une variable aleatoire qui suit une loi exponentielle de parametrea(on noteraR E(a)), on connait(ou on calcule aisement) sa FR que l'on peut evaluer ent2aavecFRt2a= 1expat2a; t0:La derivee de cette fonction nous donne la densite deTfT(t) =12expt2; t0:3On reconnait ici une loi exponentielle de parametre12doncT E12.
Or, une variableXqui suit une loi du22a pour densitefX(x) =12(1)expx2; x0:On peut montrer facilement que (1) = 1 avec(1) =+10etdt=et+10= 1;et on en deduit que la densite d'une loi du22est la m^eme que celle d'une loiE12doncT= 2aR 22=E12:L'esperance et la variance d'une loi2nsont donnees parE(T) =nV(T) = 2n:Dans notre cas,n= 2, doncE(T) = 2V(T) = 4:On peut alors calculer l'esperance et la variance deRgr^ace au fait queE(T) =E(2aR) = 2V(T) =V(2aR) = 4:Les proprietes de linearite de l'esperance, les proprietes de la variance nous amene a2aE(R) = 24a2V(R) = 4;on en deduit ainsi queE(R) =1a;V(R) =1a2;resultats bien connus d'une variable qui suit une loi exponentielle de parametrea.Q2- Nous considerons maintenant la variableZn= 2a(R1+:::+Rn).
On sait que les variablesRisontindependantes. On peut reecrireZn=T1++Tn, somme denvariables aleatoires independantes de m^eme loique la variableT.
Or on sait qu'une variable aleatoire, somme de deux lois du2independantes, suit egalementune loi du2telle que2n+2p 2n+p:La variableZest une somme denvariables du22.
On en deduit donc queZn 22n:Q3- On considere maintenant la variableU(n;p) =pa(R1+:::+Rn)nb(S1+:::+Sp):401020304050600.000.010.020.030.040.050.06z12c242RH0RH0P(Z12£z24;a)=alz24;alE(Z12)=24Figure 2: Distribution d'un224et test unilateral.On deduit des premieres questions queY= 2bS 22et que la variableWp= 2b(S1+:::+Sp) est telle queWp 22p:La variableU(n;p) correspond donc a un rapport de deux variables aleatoires qui suivent une loi du2:U(n;p) =2p2a(R1+:::+Rn)2n2b(S1+:::+Sp)=2pZn2nWp:La densite d'une telle variable aleatoire est connue sous le nom de loi de Fisher-Snedecor de parametres (2n;2p)et on noteU(n;p) F(2n;2p):Q4- On a observen= 12 valeurs de l'echantillonfR1;:::;Rng.
On souhaite savoir si cet echantillon provientd'une loi exponentielle de parametrea0= 3.
Pour cela, on construit un test statistique pour confronter l'hypothesenulleH0:a=a0a l'alternativeH1:a > a0.
On s'interesse naturellement a la statistique de testZ12=2a0(R1+:::+R12).
SousH0,Z12 224:SousH1, l'echantillon ne provient pas d'une loi exponentielle deparametrea=a0mais de parametre, disons,a=a1.
La variableZ12ne suit plus la m^eme distribution mais onpeut ecrireZ12=a0a12a1(R1+:::+R12) =a0a1Z012ouZ012 224d'apres les resultats precedents.
On voit que sia1augmente,Z12prendra probablement des valeursinferieures a celles obtenues sousH0.
Le test est donc unilateral avec zone de rejet a gauche (Fig. 2).Fixons= 0:05, le risque de rejeter a tort l'hypothese nulle, risque que l'on xe petit.
La zone de rejet deH0est alors egale a :RH0= [0; 13:85[ou la valeurz2n;=z24;0:05= 13:85 represente le quantile d'ordrede la loi du224.
Cette valeur correspond aune probabilite de 0:95 de trouver une valeur deZdans la zone de non-rejet deH0si l'echantillon provient d'unepopulation sousH0:a=a0P(Z12z24;) =PZ122RH0=H0= 1:L'echantillon nous donner1+:::+r12= 4:235 soit une valeurzobs= 234:235 = 25:41, sousH0.
On observequezobs2RH0. On peut egalement calculer la valeurobs=P(Z12zobs) = 0:616, ce qui est eleve.
On en5012340.00.20.40.60.81.0u(12, 10)F(24, 20)RH0RH0RH0P(U£ua2(12, 10))=a2P(U(12, 10)³u1-a2(12, 10))=a2lua2(12, 10)lu1-a2(12, 10)Figure 3: Distribution de FisherF(24;10) et test bilateral.deduit donc, qu'avec une probabilite de 0:95, l'echantillon provient den= 12 realisations independantes d'une loiE(a= 3).Q5- On dispose maintenant d'unechantillonfR1;R2;:::;R12gde taillen= 12 et d'unechantillonfS1;S2;;S10gde taillep= 10, independant du precedent.
On veut testerH0:a=bcontreH1:a6=b.
Pour cela, on choisit lavariableU(12;10) =10a(R1+R2+???+R12)12b(S1+S2+???+S10):que l'on sait suivre une loi de FisherF(24;20).SousH0: 1 =ab, la variableU0(12;10) =10(R1+R2+???+R12)12(S1+S2+???+S1.
0) F(24;20):SousH1:a6=b, on peut ecrireU0(12;10) =b10a(R1+R2+???+R12)a12b(S1+S2+???+S10)=baU(12;10):Cette expression nous permet de voir que sia > b, les valeur deU0(12;10) vont avoir tendance a baisser parrapport aH0: la zone de rejet sera a gauche.
Dans le casa < b, la zone de rejet deH0sera a droite.
Nous avonsaaire a un test bilateral (Fig. 3).Fixons= 0:05, le risque de rejeter a tort l'hypothese nulle, risque que l'on xe petit.
La zone de non-rejetdeH0est alors egale a :RH0= [0:43; 2:407]ou la valeuru=2(12;10) =f0:025(24;20) = 0:43 represente le quantile d'ordre=2 de la loi de FisherF(24;20)etu1=2(12;10) =f0:975(24;20) = 2:407 represente le quantile d'ordre 1=2.
L'echantillon nous donneuobs=104:235121:45'2:434;on voit immediatement queuobs2RH0.
On en deduit donc, qu'avec une probabilite de 0:95, que les deuxechantillons ne proviennent pas de la m^eme loi exponentielle.
Cependant, la valeur seuilobs=P(U(12;10)uobs) = 0:02366est tres proche de 0:025 caruobsest proche du seuilf0:975(24;20) = 2:407.
Si le test est signicatif, une petitemodication de l'echantillon menerait probablement a des resultats dierents.Q6- Pour construire un intervalle de conance deb, nous allons considerer la variable aleatoireW20= 2b(S1+S2+ +S10) = 20bSqui suit une loi du220, ouSest la moyenne empirique desSi.
On peut alors calculer la probabilite suivantePw20;=2W20w20;1=2= 1Pw20;=220Sbw20;1=220S= 1:On a observesobs= 0:145 et pour un coecient de securite de 0:95, on aw20;0;025= 9:59 etw20;0;975= 34:17.D'ou, l'intervalle de conance3:307b11:78:On sait queE(S) =1b.
Un bon estimateur de l'esperance deSest donne parS. C'est un estimateur sans biaisES=E(S)et consistant : la limite lorsquep!+1deVS=1pV(S) est nulle. On peut donc en deduireune estimationbobsdebavecbobs=1sobs=10:145= 6:89:7
