Comment montrer que la norme euclidienne est une norme ?
Les normes euclidiennes sont en fait un cas particulier de normes.
Exemple : la norme N1 sur Rn définie par : si x = (x1,,xn) ∈ Rn, on pose N1(x) = x1 + ··· + xn.
Dessin de la boule unité de R2.
Proposition 17 Une norme euclidienne est bien une norme.Comment prouver qu'une application est une norme ?
Une application ∥⋅∥:E→R+ ‖ ⋅ ‖ : E → R + est appelée une norme si elle vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tout x∈E x ∈ E , ∥x∥=0⟺x=0 ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0 .
Pour tout x∈E x ∈ E et tout λ∈K λ ∈ K , ∥λx∥=λ⋅∥x∥ ‖ λ x ‖ = λ ⋅ ‖ x ‖ (homogénéité).- — La valeur absolue R → R+, x ↦→ x est une norme sur R.
Par conséquent, l'application d : R × R → R+, (x, y) ↦→ y − x est une distance sur R. 1 + x2 2, est bien une norme.
Devoir maison : frontière et connexité
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