C'est quoi le calcul matriciel ?
Définition : Soit A et B deux matrices de même taille.
La somme de A et B est la matrice, notée A + B, dont les coefficients sont obtenus en additionnant deux à deux des coefficients qui ont la même position dans A et B.Quel est le but principal du calcul matriciel ?
Le but principal du calcul matriciel est de fournir des règles pour manipuler les matrices.
Comment calculer la matrice 3x3 ?
Pour calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 , nous pouvons utiliser la méthode de développement par les cofacteurs en choisissant une ligne ou une colonne spécifique de la matrice, en calculant les mineurs pour chaque élément de celle-ci et en alternant les signes en fonction des cofacteurs.
- En mathématiques, une matrice est l'ensemble de données (principalement des nombres) organisées en lignes et en colonnes, principalement utilisée pour représenter une transformation linéaire.
Par extension en informatique et en programmation, la matrice est un tableau avec deux ou plusieurs dimensions.
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6) Théorème de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Dans un espace vectoriel de dimension finie, une fois qu"une base est choisie, chaquevecteur est défini de façon unique par ses coordonnées.
Les opérations usuelles d"additionet de multiplication par un scalaire peuvent alors se calculer sur les coordonnées.
Plusgénéralement, une fonction entre espaces vectoriels peut alors être représentée par unefonction qui aux coordonnées d"un vecteur associe les coordonnées de son image.6.
1) Matrices et applications linéaires 6.1) Définition (matrice).Unematriceà coefficients dans un ensembleXest une familleA= (ai,j)1≤i≤n,1≤j≤pd"éléments deX, oùnest un entier appelénombre de lignesdeAetpun entier appelénombre de colonnesdeA.
L"ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients dansXest notéMn,p(X).Une matrice est ditecarréesi elle aautant de lignes que de colonnes; l"ensemble des matrices carrées de taillesnpeut êtrenotéMn(K)au lieu deMn,n(K).Une matrice à coefficients dansXn"est donc rien d"autre qu"un tableau d"élémentsdeX.
C"est une généralisation à deux dimensions de l"idée den-uplet, qui désigne unefamille d"éléments numérotés par un indice : ici on numérote simplement par deux indices.On emploie la plupart du temps la convention (utilisée dans la définition) selon laquelleune matrice est désignée par une lettre majuscule commeAet ses coefficients par la lettreminuscule avec deux indicesai,j.
On peut parfois se passer de virgule entre les indices etnoteraijsi la notation est claire.Visuellement, on représente une matrice par un tableau entre parenthèses, avec unecase de tableau par coefficient.
Le premier indice correspond au numéro de la ligne en2Chapitre 6 - Calcul matricielpartant du haut et le second indice correspond au numéro de la case sur sa ligne enpartant de la gauche, en numérotant à partir de1dans les deux cas.6.
2) Proposition (espace des matrices).Pour tout corpsKet tous entiersnetp, l"en-sembleMn,p(K), muni de l"addition et de la multiplication par un élément deKcoefficientpar coefficient, est un espace vectoriel surKde dimensionnp.Démonstration.Il est clair que l"addition coefficient par coefficient est une loi de com-position interne et qu"elle est associative et commutative, puisque l"addition deKa cespropriétés.
Son élément neutre est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, on lanotera donc0. Étant donné un élémentλdeK, l"opération qui multiplie chaque coeffi-cient d"une matrice parλest une action deKsurMn,p(K)qui vérifie toutes les propriétésvoulues par la définition d"un espace vectoriel, du fait des propriétés de la multiplicationdansK(associativité et élément neutre).
AinsiMn,p(K)est un espace vectoriel surK.Pour établir qu"il est de dimension finienp, considérons la famille de matrices(Ei,j)telle que chaqueEi,jest la matrice qui a un coefficient1en position(i,j)et des coefficients0partout ailleurs.
Alors il est clair que cette famille est libre et génératrice puisqu"une com-binaison linéaire?λi,jEi,jdéfinit exactement la matrice dons lesλi,jsont les coefficients.C"est donc une base deMn,p(K)et elle anpéléments.6.
3) Définition (matrice d"une application linéaire).Soitf:E→Fune applicationlinéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies.
SoientB= (e1, ,ep)unebase deEetC= (f1, ,fn)une base deF.La matrice defrelative aux basesBetCest la matrice ànlignes etpcolonnes dont laj-ème colonne, pour chaque1≤j≤n,est formée desncoordonnées def(ej)dans la baseC.
On la noteMB,C(f), ouM(f)si lechoix des basesBetCest clair dans le contexte.6. 4) Exemple.Soitf:R2→R2la rotation d"angleπ/2centrée à l"origine. Son expression dansla base canoniquee1= (1,0),e2= (0,1)se détermine ainsi.La première colonne est donnéepar les coordonnées dans la base canonique def(e1) =e2= (0,1), la première colonne estdonc?01?.
La seconde colonne est donnée par les coordonnées dans la base canonique def(e2) =-e1= (-1,0), c"est donc?-10?.
La matrice est donc la juxtaposition de ces deuxcolonnes :M(f) =?0-11 0?.Plus généralement, sifest une rotation d"angleθ, par le même raisonnement on obtientM(f) =?cosθ-sinθsinθcosθ?.6.
5) Exemple.Soitf:Rn→R,x= (x1, ,xn)?Rnl"application telle quef(x1, ,xn) =a1x1+···+anxn, pour une certaine famillea1, ,an?R.
La matrice defdans les basescanoniques estM(f) =?a1···an?.6.1. Matrices et applications linéaires36.6) Exemple.Soitf:R→Rnl"application telle quef(t) = (a1t, ,ant)pour toutt, pourune certainea1, ,an?R.
La matrice defdans les bases canoniques estM(f) =(((a1 an))).6.7) Théorème.Pour tous espaces vectorielsEetFde dimension finie et toutes basesBdeEetCdeF, la fonctionMB,Cest un isomorphisme.Démonstration.Pour simplifier les notations, comme les basesBetCsont fixées, on secontentera de noterM(f)la matrice d"un application linéairefdonnée, et on noterami,j(f)le coefficient à la ligneiet à la colonnejde cette matrice.
La première choseà montrer est que la fonctionMest linéaire, pour cela il suffit de montrer que chaquefonctionmi,jest linéaire.
Considérons alors deux fonctionsf,g?L(E,F)et un coefficientλ?K.Pour chaquejon a(f+λg)(ej) =f(ej) +λg(ej)par définition, et considérantlai-ème coordonnée de ce vecteur on obtientmi,j(f+λg) =mi,j(f) +λmi,j(g), ce quimontre bien la linéarité demi,j.Pour montrer queMest un isomorphisme, on montre que c"est une fonction injective etsurjective.
Pour l"injectivité, il suffit de montrer que son noyau est réduit à0, considéronsdonc une application linéaireftelle queM(f) = 0.
Alors par définition pour toutjonaf(ej) = 0, donc pour tout vecteurx?E, en notantx=x1e1+···+xnenon obtientf(x) =x1f(e1) +···+xnf(en) =x10 +···+xn0 = 0, ainsifest bien la fonction nulle.Pour la surjectivité, considérons une matriceA?Mn,p(K)quelconque.
Par le théorème??,on sait qu"il existe une application linéaireftelle que pour chaquejon aitf(ej) =a1,jf1+···+an,jfnet par construction cette fonction a bien pour matriceA.6.
8) Corollaire.Pour tous espaces vectorielsEetFde dimensions finies,L(E,F)est dedimension finie etdimL(E,F) = dimE×dimF.6.
9) Un cas particulier important de matrices est le cas où il n"y a qu"une seule colonne,c"est-à-dire le cas des espacesMn,1(K).
On emploie ce genre de matrice en particulier pourreprésenter des vecteurs : siB= (e1, ,en)est une base d"un espace vectorielE, alorsun vecteurx=x1e1+···+xnensera représenté par la matriceX=MB(x) =(((x1 xn)))Une telle matrice est souvent appeléevecteur colonne.6.10Soitf:E→Fune application linéaire et soientB= (e1, ,ep)etC= (f1, ,fn)des bases deEetFrespectivement.
PosonsA=MB,C(f)et notonsai,jles coefficientsdeA.Alors l"image d"un vecteurx=x1e1+···+xpepparfestx1f(e1) +···+xpf(ep),on peut en déduire ses coordonnées dansC: la coordonnée def(x)selon le vecteurfiestai,1x1+···+ai,pxp.
On représente ce calcul sous forme d"une multiplication :(((a1,1···a1,p an,1···an,p)))(((x1 xn)))=(((a1,1x1+···+a1,pxp an,1x1+···+an,pxp))).
4) Chapitre 6 - Calcul matricielCette formule est un cas particulier de la notion plus générale de produit de matrices quel"on verra plus loin.6.11Exemple.Reprenons la matrice d"une rotation du plan d"angleθdans la base canonique.On obtient?cosθ-sinθsinθcosθ??x1x2?=?cosθ·x1-sinθ·x2sinθ·x1+ cosθ·x2?.6.12Exemple.Pour une application linéaire deRndansRon obtient :?a1···an?(((x1 xn)))=?a1x1+···+anxn?.6.13Par cette opération, une matriceA?Mn,p(K)peut donc être considérée comme uneapplication linéaire deMp,1(K)(vecteurs colonnes àpcoordonnées) dansMn,1(K)(vecteurscolonnesncoordonnées).
Les notions qui concernent les applications linéaires concernentdonc aussi bien les matrices, ainsi on pourra considérer utilement le noyau d"une matrice,son image, son rang, etc.6.
2) Pro duitsde matrices Dans la définition de la structure d"espace vectoriel deMn,p, on définit une multiplica-tion par un scalaire qui consiste simplement à multiplier chaque coefficient de la matrice parce scalaire.
On pourrait définir une opération de multiplication entre matrices coefficientpar coefficient sur le modèle de l"addition mais il s"avère que la notion de multiplicationla plus utile n"est pas celle-là.6.14Définition (produit de matrices).Soient trois entiersm,n,pet un corpsK.
Pourtoutes matricesA?Mm,n(K)etB?Mn,p(K)on définit la matriceAB?Mm,p(K)parAB= (ci,k)1≤i≤m,1≤k≤poùci,k=n?j=1ai,jbj,k.Cette opération deMm,n(K)×Mn,p(K)dansMm,p(K)est appeléeproduit de matrices.Pour visualiser cette opération, il est utile de montrer comment on peut poser lamultiplication des matrices :. ai,1ai,2···ai,n. ((((()))))···b1,k······b2,k···. ···bn,k···((((((()))))))ci,k···. ((((()))))ci,k=ai,1b1,k+ai,2b2,k+···+ai,nbn,k6.2.
Produits de matrices5Le coefficient en position(i,k)dans le produit est obtenu en prenant la ligne d"indiceidansAet la colonne d"indicekdansB, en multipliant les coefficients dont les indicescorrespondent, et en additionnant les résultats.
Il faut donc que le nombre de colonnes deAsoit égal au nombre de lignes deB.6.15Théorème.Soientf:E→Fetg:F→Gdeux applications linéaires, soientB,CetDdes bases deE,FetGrespectivement.
Alors on aMB,D(g◦f) =MC,D(g)MB,C(f).Démonstration.NotonsB= (e1, ,ep),C= (f1, ,fq)etD= (g1, ,gr).Notonsai,jle coefficient en ligneiet colonnejdeMB,C(f),bi,jle coefficient eni,jdansMC,D(g)etci,jle coefficient eni,jdansMB,D(g◦f).
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