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IUFM du Limousin 2009-10PLC1 MathématiquesS.

VinatierRappels de coursFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples,et intégrales dépendant d"un paramètre1 Fonctions de plusieurs variablesOn rappelle ici quelques propriétés desfonctions de plusieurs variables, c"est-à-dire définies surune partie deRnet à valeurs dansRm, oùnetmsont deux entiers naturels.

Pour la présentation de laplupart des notions, on se restreint au cas oùn= 2, les autres cas étant parfaitement similaires.

Noterde plus que, au besoin, une fonction à valeurs dansRmse décompose naturellement enmfonctionsà valeurs réelles, qui sont ses composantes dans la base canonique deRm.Pourp?Netu= (u1, ,up)?Rp, on note||u||l"une des trois normes équivalentes (c"est-à-direqu"elles engendrent la même topologie) :||u||∞= sup1≤i≤p|ui|,||u||1=p?i=1|ui|,||u||2=?p?i=1u2i?1/2.La limite en un point se définit de façon similaire au cas des fonctions d"une variable.Définition 1SoientA?R2,f:A→Rm,(x0,y0)?Aet??Rm, alorsfa pour limite?quand(x,y)tend vers(x0,y0)si?ε >0,?η >0,?|x-x0|< ηet|y-y0|< η?? ||f(x,y)-?||< ε .On peut aussi exprimer l"implication de la manière suivante :(x,y)?B?(x0,y0),η)?f(x,y)?B(?,ε),oùB(u,r)désigne la boule (ouverte) de centreuet de rayonr(pour la norme choisie), dansR2d"uncôté, dansRmde l"autre.À partir de là on définit la notion decontinuitécomme dans le cas des fonctions d"une variable.

Ondispose de fonctions de référence (polynômes, fractions rationnelles, racine carrée, ) et de théorèmesgénéraux (somme, produit, inverse, composée de fonctions ).

Sifest à valeurs réelles, on peutdéfinir de manière analogue la notion delimite infinie.Exercice 1Soithla fonction définie deR2dansRparh(0,0) = 0et, si(x,y)?= (0,0),h(x,y) =xyx2+y2.Vérifier quehest continue en tout point(x,y)?= (0,0).

Calculerh(x,x)pourx?R; la fonctionhest-elle continue en(0,0)?1Étant donné(x0,y0)?A, on définit les deuxapplications partiellesassociées àfen ce point par :f1:x?→f(x,y0)etf2:y?→f(x0,y).On appelle aussif1etf2les fonctionsdirectionnellesassociées àf, de directionxpour la première,ypour la seconde.

Ce sont des fonctions d"une variable, que l"on sait donc éventuellement dériver, cequi permet de définir le cas échéant lesdérivées partiellesdef.Définition 2fadmet une dérivée partielle par rapport àx(resp.y) au point(x0,y0)sif1(resp.f2) est dérivable enx0(resp. eny0).

Dans ce cas on note :∂f∂x(x0,y0) =f?1(x0)(resp.∂f∂y(x0,y0) =f?2(y0)).Si par exemplef2est dérivable surAx0={y?R,(x0,y)?A}, on obtient ainsi une nouvelle fonctionde deux variables,∂f∂y, définie surAx0.

Attention à l"éventuelle confusion provenant du fait qu"on ometsouvent de noter le couple de variables(x0,y0), ou qu"on le note plus simplement(x,y), c"est-à-direqu"on écrit souvent∂f∂you∂f∂y(x,y).Exercice 2Montrer que la fonctionhde l"exercice précédent est dérivable par rapport àxet par rapport àyentout point deR2et calculer ses dérivées partielles.

Sont-elles continues en(0,0)?Si les dérivées partielles defexistent et sont continues sur un ouvertU?AdeR2, alorsfest ditecontinûment différentiable, en abrégéC1, surU.

L"intérêt de cette notion est encore plus frappant quepour les fonctions d"une variable.

En effet, la continuité des applications partiellesf1etf2n"entraînepas celle def, comme on l"a vu dans l"exercice ci-dessus, qui montre aussi que l"existence des dérivéespartielles ne suffit pas plus à garantir la continuité def.

Par contre on a la propriété :fcontinûment différentiable surU?fcontinue surU.Pour calculer les dérivées partielles d"une fonction composée de manière agréable, on introduit lanotion dematrice jacobienne.

Plaçons-nous dans le cadre le plus généralf:U?Rn→Rm, oùUestun ouvert, etfadmet des dérivées partielles par rapport à toutes les variables en un pointu?U.

Lamatrice jacobienne defenuest la matrice àmlignes etncolonnes égale à :Jf(u) =?∂fi∂xj(u)?1≤i≤m1≤j≤n.Lorsquen=m, on nommejacobiendefle déterminant de la matrice jacobienne.Proposition 1Soientfetgdeux applications définies respectivement deU?RndansRmet deV?RmdansRp, avecf(U)?V.

On suppose qu"elles sont continûment dérivables respectivementaux pointsu?Uetv=f(u).

Alors on a l"égalité des matrices :Jg◦f(u) =Jg(v)Jf(u).Exercice 3Retrouver les formules donnant∂f∂xet∂f∂ylorsquef(x,y) =F(u,v), oùu=u(x,y),v=v(x,y).

2) Revenons au casf:U?R2→Rmde classeC1.

Les dérivées partielles étant des fonctions dedeux variables, on peut considérer leurs dérivées partielles, à nouveau par rapport àxet par rapportày, si elles existent.

On obtient ainsi les dérivées partielles secondes def, qui sont au nombre de3puisque le théorème deSchwarzstipule que l"ordre dans lequel sont prises les dérivées partielles parrapport à différentes variables n"importe pas, en clair :∂2f∂x∂y=∂∂x∂f∂y=∂∂y∂f∂x=∂2f∂y∂x.La fonctionfest ditede classeCksurUsi toutes ses dérivées partielles à l"ordrekexistent et sontcontinues. (Question : combien y en a-t-il?)Celles d"ordre2sont particulièrement importantes pour déterminer lesextremades fonctionsàvaleurs réelles.

Supposons doncf:U?R2→Rde classeC2et(x0,y0)?U.

On pose :p=∂f∂x(x0,y0), q=∂f∂y(x0,y0), r=∂2f∂x2(x0,y0), s=∂2f∂x∂y(x0,y0), t=∂2f∂y2(x0,y0)et on appelle?r ss t?lamatrice hessiennedef.

On dit quefadmet unextremum localen(x0,y0)appartenant àUsif(x,y)-f(x0,y0)garde un signe constant au voisinage de(x0,y0).

Il s"agit d"unmaximum localsi ce signe est négatif, d"unminimum localsinon.Théorème 2Pour quefadmette un extremum local en(x0,y0), il est nécessaire quep=q= 0.Pour quefadmette un extremum local en(x0,y0), il suffit que la condition précédente soit remplie(on parle alors de point critique) et ques2-rt <0.

Dans ce cas, on aura un minimum local sir >0,un maximum local sir <0.Noter quer?= 0, et quetest du même signe quer, sis2-rt <0.

On peut montrer de plus qu"onobtient unpoint colsis2-rt >0; sis2-rt= 0, on ne peut rien dire.

En fait, on a le développementde Taylor-Young suivant pourfau voisinage du point(x0,y0):f(x0+h,y0+k) =f(x0,y0) + (ph+qk) +12(rh2+ 2shk+tk2) + (h2+k2)ε(h,k),oùε(h,k)tend vers0quand(h,k)tend vers0.

Donc, sip=q= 0,f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)estpour(h,k)au voisinage de(0,0)de même signe que l"image de(h,k)par la forme quadratique dematrice la hessienne def.Exercice 4On revient à la fonctionhdu premier exercice.a)Montrer que, pour(x,y)?= (0,0),∂h∂x(x,y) =∂h∂y(x,y) = 0si et seulement six=±y.b)Montrer que, pour tout(x,y)?R2,-12≤h(x,y)≤12; qu"en déduit-on pour les points decoordonnées(x,±x)avecx?= 0?c)Calculer les dérivées secondes dehen(x,y)?= (0,0).

Quels renseignements donne la matricehessienne dehaux points de coordonnées(x,±x)avecx?= 0?2 Intégrales multiplesMaintenant que l"on connaît les fonctions de plusieurs variables, comment les intégrer? Nousallons dessiner les contours de la construction de l"intégrale deRiemannde ces fonctions, dont on3verra qu"ils rappellent fortement ce qu"on fait pour les fonctions d"une variable.

On traite le cas desfonctions à valeurs réelles, étant entendu que le cas des fonctions à valeurs dansRms"en déduit enles traitant composante par composante.

On donnera ensuite deux procédés permettant de calculerles intégrales multiples dans un certain nombre de cas.2.

1) Construction de l"intégralePlaçons-nous dansRnpour un entiern≥2. On appellepavédeRnle produit cartésienΠ =I1× ··· ×IndenintervallesI1, ,IndeR.

Le pavéΠestborné(resp.compact) si tous lesIklesont; lamesuredeΠest le produitμ(Π)des longueurs desIk; deux pavés sontquasi-disjointssi lamesure de leur intersection (qui est un pavé) est nulle.

SiΠest un pavé compact,P= (Π1, ,Πr)est unpavagedeΠsi lesΠksont deux à deux quasi-disjoints, d"union égale àΠ.

On vérifie alors quela mesure deΠest égale à la somme des mesure desΠk. On peut aussi définir la notion de pavageplus finque deux pavages donnésPetP?deΠ.SoitΠun pavé.

Une fonction?: Π→Resten escaliers"il existe un pavagePdeΠtel que, pourtoutP? P,?|Pest constante;Pest alors ditadapté à?.

En notantχPla fonction indicatrice d"unpavéP, on voit qu"il existe des réelsλPpourP? Ptels que?=?P?PλPχPet on peut définir l"intégralede?en posant :I(?) =?P?PλPμ(P),en vérifiant que ceci ne dépend pas du pavage adapté à?choisi (grâce à la notion de pavage plus fin).NotonsEleR-espace vectoriel des fonctions en escalier définies surΠ.

Pourf: Π→Rbornée, onpeut alors définirI?(f) = sup{I(?) :?≤f,?? E}, I?(f) = inf{I(?) :?≥f,?? E},et décider (avecRiemann) quefestintégrablesiI?(f) =I?(f), auquel cas on note cette valeur :?Πf=?···?Πf(x1, ,xn)dx1 dxn.Enfin, une partie bornéeAdeRnest ditemesurablesi sa fonction indicatriceχAest intégrable surun pavéΠcontenantA.

Si tel est le cas, et sif:A→Rest bornée, alorsfestintégrable surAsifχAest intégrable sur un pavéΠcontenantA, auquel cas on pose :?Af=?ΠfχA.On montre en particulier que toute fonction continue sur une partie mesurableAest intégrable surcette partie.2.

2) Théorème de FubiniOn voit maintenant un théorème essentiel pour le calcul des intégrales multiples, puisqu"il permetde découper celui-ci en plusieurs calculs d"intégrales de fonctions d"une variable.

Sa preuve suit lecheminement effectué ci-dessus pour la construction de l"intégrale (pour les fonctions en escalier, puispour les fonctions intégrables).

4) Théorème 3SoitAune partie mesurable deRp×Rqetf:A→Rune fonction intégrable.

Onsuppose que, pour toutx?Rp:-Ax={y?Rq|(x,y)?A}est mesurable;-y?→f(x,y)est intégrable surAx.On suppose de plus quex?→?Axf(x,y)dyest intégrable surRp.

Alors on a l"égalité :?Af(x,y)dxdy=?Rp??Axf(x,y)dy?dx .Exercice 5En déduire la valeur de??Axy?x2+y2dxdy, oùA={(x,y)?R2:x≥0, y≥0, x2+ 2y2≤1}.On pourra commencer par représenter la partieA.Il est parfois plus pratique d"utiliser ce résultat sous la forme suivante.Corollaire 4En supposant de plus, pour touty?Rq:-A?y={x?Rp|(x,y)?A}est mesurable;-x?→f(x,y)est intégrable surA?y;ety?→?A?yf(x,y)dxest intégrable surRq, on a l"égalité :?Rp??Axf(x,y)dy?dx=?Rq??A?yf(x,y)dx?dy .2.

3) Changement de variableLe théorème de changement de variables classique, pour les fonctions de la variable réelle, segénéralise aux intégrales multiples.Théorème 5Si?:U→Vest unC1-difféomorphisme mesurable entre deux ouvertsUetVdeRn,dont on noteΔ?le jacobien, etf:V→Rune fonction intégrable, alorsx?→f??(x)?|Δ?(x)|estintégrable surUet?Vf(y)dy=?Uf??(x)?|Δ?(x)|dx .Un exemple d"application très utile de ce résultat est le passage des coordonnées cartésiennes auxpolaires, donné par leC1-difféomorphismeφ:R+?×]-π,π[-→R2\?]- ∞,0[×{0}?tel queφ(ρ,θ) = (ρcosθ,ρsinθ).Exercice 61.Déterminer la matrice jacobienne deφ.

En déduire, pourf:R2→Rintégrable,?R2f(x,y)dxdy=?R+×[-π,π]f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ .2.Établir l"égalité?R2e-(x2+y2)dxdy=π .53.En déduire la valeur de?+∞0e-x2dxà l"aide du théorème de Fubini.Dans le même genre d"idée, on pourra calculer l"aire de la portion de planD={(x,y)?[0,1]2, x2+y2≥1}, après l"a