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Chapitre 9Intégrales multiplesOn commence dans ce chapitre à parler d"intégration pour une fonction de plusieurs va-riables.

Les intégrales multiples sont l"objet principal de ce chapitre.

On évoquera égalementles intégrales à paramètre (que le sous-groupe des matheux verra plus en détail par ailleurs).Considérons par exemple une fonction de deux variables, définie et continue sur le rec-tangle[a;b][c;d].

Pour toutx2[c;d]l"applicationt7!f(t;x)est une fonction d"une seulevariable, continue et donc intégrable sur le segment[a;b].

Pour toutx2[c;d]on peut doncconsidérer la quantité(x) =Zbaf(t;x)dt:Dans cette intégrale,xest considéré comme une constante (vous êtes maintenant habitués àce petit jeu).

Mais vous n"êtes pas dupes, vous vous doutez bien qu"on a maintenant envied"étudier la fonctionx7!(x).

Est-elle continue? Ce n"est pas clair, mais on verra que c"esteffectivement le cas. Les choses se compliquent un peu si on remplace le segment[a;b]par unintervalle quelconque deR.

Bien sûr il n"est déjà plus si clair que l"intégrale définissant(x)a bien un sens pour toutx, et il est ensuite un peu plus subtile de s"assurer que la fonctionobtenue est bien continue.Une fois qu"on aura assuré la continuité de la fonction, on pourra se demander à quellecondition surfl"intégraleest dérivable, de classeCk, etc.On observe que comme la continuité et la dérivabilité sont des propriétés locales, on n"aurapas trop de difficulté à remplacer le segment[c;d]par un intervalle quelconque deR.

Pourtoutes ces questions les deux variablestetxjouent vraiment des rôles très différents.testune variable d"intégration,xest plutôt vu comme un paramètre.Une autre question, pour laquelletetxont des rôles plus symétriques, est de chercherà intégrer.

En effet, siest continue sur le segment[c;d], elle est intégrable sur ce mêmesegment.

On peut donc considérer la quantitéI=Zdc(x)dx=Zdc Zbaf(t;x)dt!dx:Évidemment, on aurait pu commencer par intégrer la fonctionx7!f(t;x)sur[c;d]pourchaquet2[a;b]fixé, puis intégrer la quantité obtenue par rapport àt.

Autrement dit onaurait pu considérer~I=Zba Zdcf(t;x)dx!dt:Les intégralesIet~Isont-elles égales? Que représentent-elles? Peut-on intégrer sur autrechose qu"un rectangle? Réponses (partielles) dans les quelques pages qui suivent 57L2 Parcours Spécial - S3 -Calcul différentiel et intégral9.

1) Intégrales à paramètresOn donne (très) rapidement les résultats principaux concernant les intégrales à paramètre.On énonce également le théorème de convergence dominée pour une suite d"intégrales (plutôtque pour une intégrale dépendant d"un paramètrexcontinu).Les hypothèses utilisées ici peuvent être affaiblies.

En outre, on intègre ici par rapportà une variable réelletet on obtient une fonction d"une variable réellex.

En partant d"unefonctionfàp+nvariables on pourrait également (après avoir vu les intégrales multiples)intégrer par rapport àpvariablest1;:::;tnet obtenir une fonction denvariablesx1;:::;xn.Néanmoins il est complètement raisonnable, au moins dans un premier temps, de se contenterdes énoncés présentés ici.9.1.

1) Théorème de convergence dominéeThéorème 9.1.SoitIun intervalle deR. On considère une suite(fn)n2Nde fonctionscontinues surI.

On suppose que la suite(fn)n2Nconverge simplement1vers une fonctionfet qu"il existe une fonctiongintégrable surItelle que8n2N;8t2I;jfn(t)j6g(t):Alorsfest intégrable surIet on aZIfn(t)dt!n!1ZIf(t)dt:BAttention, le fait de pouvoir passer à la limite sous l"intégrale n"a rien d"évident, iln"est d"ailleurs pas difficile de trouver des contre-exemples dès qu"on retire l"hypothèse dedomination.9.1.

2) Cas d"une intégrale sur un segmentSoienta;b2Raveca < betJun intervalle non vide deR. On considère une fonctionfde[a;b]JdansR.

On cherche à étudier l"applicationdéfinie surJpar(x) =Zbaf(t;x)dt:Proposition 9.2.On suppose quefest continue sur[a;b]J.

Alorsest définie et continuesurJ.Proposition 9.3.On suppose queJest un intervalle ouvert.

On suppose quefest continuesur[a;b]Jet admet une dérivée partielle@f@x, elle-même continue sur[a;b]J.

Alorsl"applicationprécédente est bien définie surJ, elle est de classeC1et8x2J; 0(x) =Zba@f@x(t;x)dt:Les démonstrations de ces deux propositions, ainsi que des deux théorèmes ci-dessous,sont par exemple dans [Liret-Martinais, Analyse 2èmeannée].9.1.

3) Cas d"une intégrale généraliséeSoienta2R,b2[a;+1[[f+1g,Jun intervalle deRetfune fonction de[a;b[JdansR.

On s"intéresse, lorsqu"elle est bien définie, à la fonctiondéfinie surJpar(x) =Zbaf(t;x)dt:1. Cela signifie quefn(t)tend versf(t)quandntend vers+1pour toutt2I.58 J.

Royer - Université Toulouse 3Intégrales multiplesThéorème 9.4(Théorème de continuité sous l"intégrale).On suppose quefest continuesur[a;b[Jet qu"il existe une fonctiongcontinue de[a;b[dansRtelle que(i)8t2[a;b[;8x2J;jf(t;x)j6g(t).(ii)L"inté graleRbag(t)dtest convergente.Alors l"applicationest bien définie et continue surJ.Théorème 9.5(Théorème de dérivation sous l"intégrale).On suppose que l"intervalleJestouvert.

On suppose quefest continue sur[a;b[Jet que l"intégrale généraliséeRbaf(t)dtestconvergente pour toutx2J.

On suppose que la dérivée partielle@f@xest définie et continuesur[a;b[J.

Enfin on suppose qu"il existe une fonctiongcontinue de[a;b[dansRtelle que(i)8t2[a;b[;8x2J;@f@x(t;x)6g(t),(ii)l"inté gralegénér aliséeRbag(t)dtest convergente.Alors pour toutx2Jl"intégraleRba@f@x(t;x)dtest absolument convergente.

En outre la fonc-tionest définie et de classeC1surJ, et8x2J; 0(x) =Zba@f@x(t;x)dt:Exemple9.6.Pourx2Ron pose :'(x) =Z+10et2cos(tx)dt:Alors'est bien définie et de classeC1surR.

En outre pour toutx2Ron a'(x) =ex24'(0):Démonstration.Pourt2R+etx2Ron notef(t;x) =et2cos(tx):La fonctionfest de classeC1surR+Ret8t2R+;8x2R;jf(t;x)j6et2=Ot!+1(et):Or l"intégraleR+10etdtest convergente, doncR+10f(t;x)dtest absolument convergentepour toutx2R.

Ainsi'est bien définie surR.Pourt2R+etx2Ron a@f@x(t;x)=tsin(tx)et26tet2:Or l"applicationt7!tet2est continue surR+et pour toutA>0on aZA0tet2dt=12et2A0=12eA2+12!A!+112;donc l"intégraleR+10tet2dtest convergente.

D"après le théorème de dérivation sous l"inté-grale,'est donc de classeC1surRet8x2R; '0(x) =Z+10tet2sin(tx)dt:Année 2015-2016 59L2 Parcours Spécial - S3 -Calcul différentiel et intégralSoitA>0.

En faisant une intégration par parties on aZA0tet2sin(tx)dt=12et2sin(tx)A012ZA0et2xcos(tx)dt=12eA2sin(Ax)x2ZA0et2cos(tx)dt!A!+1x2'(x):Cela prouve que8x2R; '0(x) =x2'(x)et donc que8x2R; '(x) =ex24'(0):Remarque.Pour avoir la dérivabilité desurJ, il suffit de montrer la dérivabilité en toutpoint deJ.

En pratique il suffit donc de vérifier l"hypothèse de domination localement (enx) autour de chaque pointx02J.9.

2) Construction de l"intégrale de Riemann surRnOn s"intéresse maintenant à l"intégrale d"une fonction de plusieurs variables.

Il s"agiraici de l"intégrale de Riemann.

On rappelle que l"intégrale de Riemann d"une fonction sur unsegment deRest définie de la façon suivante :l"intégrale de la fonction indicatrice d"un intervalle est définie de façon évidente,par linéarité, on définit l"intégrale d"une fonction en escalier (ou étagée),et enfin, lorsque c"est possible (dans un sens particulier, et dans ce cas on parle de fonctionRiemann intégrable), on approche la fonction étudiée par des fonctions en escalier, puison définit l"intégrale comme la limite des intégrales de ces fonctions en escalier,on montre ensuite qu"en particulier les fonctions continues, ou au moins continues parmorceaux, sont toujours Riemann intégrables sur un segment.L"intégrale de Riemann d"une fonction de plusieurs variables se construit de façon ana-logue, même s"il y a un certain nombre de subtilités supplémentaires.

On ne donnera ici queles étapes de la construction, sans s"attarder sur les démonstrations (pour plus de détail,consulter par exemple le paragraphe IV.3 [Ramis-Warusfel, Tout-en-un pour la licence, ni-veau L2].

La raison est que vous verrez en L3 une autre façon de définir l"intégrale d"unefonction, à savoir l"intégrale de Lebesgue.

Cet autre point de vue sera bien plus efficace pourobtenir les résultats d"intégration théoriques.Par contre, tant qu"il s"agit de calculer les intégrales de fonctions simples sur des domainessimples (en des sens à préciser), cela revient au même de définir l"intégrale d"une façon oud"une autre.

Ainsi il est pertinant de s"entraîner à calculer concrêtement des intégrales mêmeavant de connaître l"intégrale de Lebesgue.

C"est l"objectif de ce chapitre.Ainsi je vous conseille de lire ce paragraphe, mais vous pouvez sans trop de scrupules lepasser et vous concentrer sur les suivants, qui constituent le véritable objectif de ce chapitre.Comme en dimension 1, on commence par définir l"intégrale dans le cas trivial.

L"intégralede la fonction constante égale àsur le pavéP(a1;b1;:::;an;bn) = [a1;b1] [an;bn]est définie comme étant égale àZP(a1;b1;:::;an;bn)=Vol(P) =nYj=1(bjaj):60 J.

Royer - Université Toulouse 3Intégrales multiplesOn définit ensuite par linéarité l"intégrale d"une fonctionfdéf