Universite Pierre et Marie Curie { Paris 6Licence de Mathematiques, 2eme anneeFonctions de plusieurs variables,analyse vectorielle,integrales multiples2M216Jean-Francois BabadjianTable des matieres1 Notions de topologie dansRn51.
1) Proprietes algebriques deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1. 2) Normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. 3) Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. 4) Topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. 1) Ensembles ouverts, fermes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. 2) Ensembles compacts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.
3) Ensembles connexes et convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Fonctions continues13 2.
1) Denitions, proprietes fondamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. 2) Exemples importants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. 1) Fonctions Lipschitziennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. 2) Applications lineaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. 3) Polyn^omes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. 4) Applications partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.
3) Continuite et compacite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Dierentiabilite et derivees partielles21 3.
1) Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. 2) Proprietes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. 3) Fonctions de classeC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 3. 4) Derivees partielles d'ordre deux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.
5) Points critiques et extrema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Courbes et surfaces parametrees39 4.
1) Theoreme des fonctions implicites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4. 2) Courbes parametrees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.
3) Surfaces parametrees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5 Equations aux derivees partielles47 5.
1) Equations elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5. 2) Equations paraboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5. 3) Equations hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3. 1) Equation de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3.
2) Equation des ondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 346 Integrales multiples51 6.
1) Paves, ensembles pavables et quarrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6. 2) Denition et proprietes de l'integrale multiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6. 3) Theoreme de Fubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6. 4) Formule de changement de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.4. 1) Coordonnees polaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.4. 2) Coordonnees cylindriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.4.
3) Coordonnees spheriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7 Integrales curvilignes et surfaciques65 7.
1) Integrale curviligne et formules de Stokes-Ostrogradski. . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.1. 1) Longueur d'un arc oriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.1. 2) Integrale curviligne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.1. 3) Formules de Stokes-Ostrogradski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7. 2) Integrale surfacique et formule de la divergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2. 1) Aire d'une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2. 2) Integrale de surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2.
3) Formule de la divergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Chapitre 1Notions de topologie dansRn1.
1) Proprietes algebriques deRnL'ensembleRnest un espace vectoriel surRde dimenson nie egale an2N. Ses elements sontappeles des vecteurs.
En tant qu'espace vectoriel de dimensionn, il existe une basefe1;:::;eng,i.e.une famille libre et generatrice, de sorte que tout vecteurx2Rnpeut s'ecrirex=nXi=1xiei;oux1;:::;xn2Rdesignent les coordonnees dexdans la basefe1;:::;eng.
Une fois xee la base(la plupart du temps, on utilisera la base canonique denie pareij=ijpour tout 1i;jn),on identiera le vecteurxavec la matrice colonne de taillen10B@x1 xn1CA:et on ecrirax=0B@x1 xn1CA= (x1;:::;xn)T:AVERTISSEMENT :Le fait de representer un vecteur deRnsous forme d'un vecteur colonnesera essentiel lorsque l'on devra eectuer des produits matrices/vecteurs.
Dans les autres situations,la representation d'un vecteur sous forme d'une colonne ou d'une ligne ne sera pas particulierementimportante et pour cette raison, nous ferons parfois des abus de notations.En tant qu'espace vectoriel,Rnpossede{une loi interne(l'addition) : six= (x1;:::;xn)T2Rnety=
