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3 Topologie dans Rn

Qu'est-ce qu'une norme en topologie ?
La norme d'un espace vectoriel normé (e.v.n.) est une donnée supplémentaire qui va nous permettre de dire quand des points vont être proches au sein de cet espace, c'est-à-dire que cela va nous donner une notion de distance sur l'espace.
Quelles sont les normes de r ?
— La valeur absolue R → R+, x ↦→ x est une norme sur R.
Par conséquent, l'application d : R × R → R+, (x, y) ↦→ y − x est une distance sur R. 1 + x2 2, est bien une norme.
Comment montrer qu'une distance est bornée ?
Une partie A⊂(E,d) A ⊂ ( E , d ) est dite bornée s'il existe x∈E x ∈ E et M>0 tels que A⊂B(x,M) A ⊂ B ( x , M ) .
On appelle espace topologique un couple (X,T ) où X est un ensemble et T une famille de parties de X vérifiant : (T1) ∅∈T , X ∈ T , (T.
2) Une intersection finie d'éléments de T appartient à T , (T.
3) Une reunion quelconque d'éléments de T appartient à T .

Qu'est-ce qu'une norme en topologie ?