Comment comprendre la mécanique quantique ?
La mécanique quantique décrit le nuage électronique sous la forme d'orbitales dont la forme reflète la probabilité de présence de chaque électron dans l'espace.
Cette description sous forme d'orbitales permet de décrire et comprendre la façon dont les atomes se rassemblent pour constituer molécules ou solides.Quelles sont les bases de la physique quantique ?
Son principe fondamental est celui de la « superposition des états ».
Il nous dit que lorsqu'un système peut exister dans plusieurs états différents, alors il peut également se trouver à la fois dans tous ces états, comme suspendu entre plusieurs réalités.Qui est le père de la mécanique quantique ?
Le mystère a été résolu par Max Planck, un physicien théoricien allemand.
On dit souvent de lui qu'il est le père de la mécanique quantique.
Planck a mis au point une nouvelle formule mathématique pour les fréquences d'énergie lumineuse émise par un objet chaud.- Les prérequis
Pour bien suivre et comprendre toutes les parties de ce cours, il est préférable d'avoir de bonnes connaissances d'analyse mathématique, d'algèbre linéaire et de physique classique.
Bien que non indispensable, des notions de base de théorie des probabilités se révéleront aussi utiles.
Introduction à la Mécanique quantique 3C1001
Fiche descriptive de lUE 4P050
Mécanique Quantique Cours
Cours de Mécanique Quantique Avec Exercices corrigés
Mécanique Quantique III
MECANIQUE) QUANTIQUE)1)
Mécanique quantique II PHQ-430
Introduction à létude du droit civil : notions générales (5e
Code civil
Notes de cours de Mécanique QuantiqueAlberto Verga10 février 2020Table des matières1 Introduction4 1.
1) Physique et dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. 2) Mécaniques classiques et quantiques. . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. 1) Le puits de potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. 2) La particule libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. 3) Principes quantiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. 3) Notes bibliographiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. 4) Compléments et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. 1) Exercices de révision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. 2) Phénomènes quantiques : quantification de l"énergie. 13 1.4. 3) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. 4) Devoir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.5) Notions de probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Les mathématiques des états quantiques22 2.
1) L"espace de Hilbert, états et opérateurs. . . . . . . . . . . . . . 22 2. 2) Valeurs et vecteurs propres, base orthonormée. . . . . . . . . 24 2. 3) Application : les opérateurs de spin. . . . . . . . . . . . . . . . 26 2. 4) Compléments et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. 1) Matrices de Pauli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. 2) Logiciel de calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.3) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Principes de la mécanique quantique33 3.
1) Postulats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3. 2) Observables compatibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. 3) Principe de correspondence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3. 4) Représentations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3. 5) Symétries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3. 6) Compléments et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6. 1) Interférence à un photon. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6. 2) Superposition et intrication. . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.6.3) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2§0.0 - TABLE DES MATIÈRES4 États liés49 4.
1) L"oscillateur harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4. 2) Système à deux niveaux, résonance magnétique. . . . . . . . 53 4. 3) Compléments et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5 Moment angulaire59 5. 1) Algèbre du moment angulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5. 2) Harmoniques sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5. 3) Potentiel central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.4) Compléments et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6 Méthodes d"approximation69 6.
1) Méthode variationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6. 2) Méthode des perturbations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6. 3) L"effet d"un champ électrique sur l"atome d"hydrogène. . . . . 72 6. 4) Perturbation dépendante du temps. . . . . . . . . . . . . . . . 74 6. 5) Compléments et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3Chapitre 1Introduction1.1) Physique et dimensionEn physique le domaine de la mécanique peut être délimité par les phéno-mènes qui dépendent des grandeurs.de masseM, avec comme unité de mesure le kilogrammekg,.de longueurL, unité le mètrem,.et de tempsT, unité la secondes,oùM;L;Tsont lesdimensionsphysiques.
Par exemple l"énergieE, se mesureen joule (J); ses dimensions sont donc,»E¼?ML2T2;(1.1)où on note les dimensions de la grandeur physiquegpar»g¼.
On utilise lesystème internationald"unités de mesure (SI).Uneloifondamentaledelaphysiquestipulequelesdimensionsdesgrandeursphysiques sont des monômes des dimensions de base.
Les dimensions de basedépendent de l"expérience, dans le cas de la mécanique on a des monômesde la forme générale :»g¼?MaLbTc;(1.2)avec des exposants rationnelsa;b;c2Q.
Toute grandeur dont les dimensionss"écrivent comme en (1.2) sont des grandeursmécaniques.Le choix d"unités de mesure ainsi que celui des dimensions de base, esten partie arbitraire.
Par exemple le système international, résulte d"un proces-sus historique complexe dans lequel les enjeux de pouvoir et d"expansionéconomique ne sont pas absents.
Cependant, en physique des contraintes ex-périmentaless"imposentsouslaformedel"existencedesconstantesuniverselles,voir la table1.1 .
On peut illustrer cette situation par la vitesse de la lumière,qui caractérise l"électromagnétisme.
Elle relie les dimensions d"espace et detemps; par conséquent, on peut choisir comme système de dimensions debaseM;T;c, dans lequel l"espace se mesure en unités de temps et de la vitessede la lumière.
C"est précisément le cas du SI, puisque la vitesse de la lumièreest arbitrairement choisie comme une unité ayant une valeur exacte.Les phénomènes quantiques sont caractérisés par leur dépendance de laconstante de Planck~.
Ses dimensions sont celles d"une action, énergie multi-pliée par temps,»~¼?Js?ML2T1.On peut donc classifier les phénomènes4§1.2 - Mécaniques classiques et quantiquesTable1.1 :Cons tantesuniv erselleset ph ysiques.
Dimensions : masseM,espaceL, tempsT, chargeC, températureKGrandeur, symbole Dimension ValeurVitesse de la lumièrec LT12:99792458108ms1Planck~ML2T11:0545717261034JsNewtonG M1L3T26:6731011m3kg1s2BoltzmannkBML2T2K11:38064881023JK1Charge élémentairee C1:6021765651019CStructure fine»e240~c¼?1 1137:035999074Masse de l"électronmeM9:109382911031kgMasse du protonmpM1:6726211027kgmécaniques en deux catégories, les classiques pour lesquels~essentiellements"annule~!0,etlesquantiquesavec~,0.Planckintroduisitcetteconstanteen physique autour de 1900 pour rendre compte de la thermodynamique dela lumière, ler ayonnementdu cor psnoir .1.
2) Mécaniques classiques et quantiquesEn mécanique classique, le problème fondamental est celui de déterminer latrajectoire d"une particule de massem, c"est-à-dire l"évolution de sa positionx, en fonction du tempst:x?x¹tº.
Le mouvement dépend des forcesappliquées,F?rV;V?V¹xº;(1.3)que l"on suppose dérivant d"une énergie potentielleV(ceci assure la conser-vation de l"énergie).
Le mouvement de la particule est gouverné par laloi de la dynamique.L"équation deN ewtons "écrit,md2dt2x¹tº?rV¹xº:(1.4)lamassemultipliéeparl"accélérationestégaleàlaforce,équationdifférentiellede deuxième ordre, dont la solution dépend des deux paramètres.
Cesparamètres peuvent être déterminés par les conditions initiales (position etvitesse à un temps donné) ou par des conditions de bord (on se demande s"ilexiste une trajectoire reliant deux points).Du point de vue dimensionnel, la loi de Newton determine les unités dela force et de l"énergie :»F¼?»m¼»a¼?MLT2?»V¼L(aest l"accélération),»V¼?ML2T2.Une conséquence immédiate de la forme de l"équation différentielle(1.4) est précisément la conservation de l"énergie (mécanique).
En effet, enmultipliant par la vitessev?Ûx(le point denote la dérivée temporelle) et enintégrant une fois, on obtient que l"énergie,E?mv22+V¹xº?const;(1.5)somme de l"énergie cinétique et potentielle, est une constante (fixée par lesconditions initiales).
L"expression (1.5) suggère d"introduire une fonction des5Introductionimpulsionsp?mvet des coordonnéesx, le hamiltonienH, dont le lignes deniveau correspondent à une énergie fixe,H¹p;xº?E,H¹p;xº?p22m+V¹xº:(1.6)On peut réécrire l"équation de Newton (1.4) sous la forme d"un systèmed"équations différentielles de premier ordre,Ûx¹tº?@@pH¹p;xº;Ûp¹tº?@@xH¹p;xº;(1.7)oùladérivéeparrapportàunvecteurestunenotationpourlegradient,@@x?r, etc.
Ces équations montrent que le système mécanique est complètementdéfini par la forme du hamiltonien.La loi dynamique en mécanique quantique, équivalente à la loi de Newtonclassique, dans le sens où elle fournit une description complète du systèmephysique, est donnée par l"équation d"onde de Schrödinger,i~@@t ¹x;tº?H ¹x;tº;(1.8)ici 2Cest la fonction d"onde, elle determine l"état du système quantique;Hest l"opérateurhamiltonien, obtenu à partir du hamiltonien classique enremplaçant l"impulsion par son opérateur :p!p?i~r;H¹p;xº !H?H¹i~r;xº(1.9)(ils"agitdelareprésentationposition,commeonleverraplustard).L"équationde Schrödinger (1.8) pour une particule quantique est donc une équationdifférentiellelinéaire, en dérivées partielles de première ordre dans le tempset de second ordre dans l"espace.
Le module de la fonction d"onde,j ¹x;tºj2,est liée à la probabilité de trouver la particule quantique au voisinage dupointxau tempst.
Elle est normalisée,1?¹Voldxj ¹x;tºj2;(1.10)où l"intégrale porte sur tout le volume du système.
On voit que les dimensionsde la fonction d"onde ne sont pas fixées par l"équation dynamique, maispar la condition (1.10), on obtient» ¼?1pVol.
L"équation(1.10)permetd"interpreter mathematiquement le module de la fonction d"ondej j2commeune densité de probabilité.Si on ne se tient qu"à la différence mathématique entre les équations dela dynamique classique et quantique, on note que dans le cas quantique larésolution de (1.8), ne peut pas se faire à l"aide de la seule condition initialedans le temps : il faut la compléter avec des conditions sur la distributionspatiale de la fonction d"onde.
Cela signifie que le résultat ne sera pas sous laforme d"une trajectoire comme dans le cas classique, mais sur la forme dela fonction d"onde dans l"espace à chaque temps.
En outre, l"équation étantlinéaire, pour une énergie fixéeE, on peut simplement poser, ¹x;tº?eiEt~ ¹xº;H ¹xº?E ¹xº;(1.11)6§1.2 - Mécaniques classiques et quantiquesou en utilisant explicitement l"opérateur hamiltonien (1.9),~22mr2 ¹xº+V¹xº ¹xº?E ¹xº:(1.12)La résolution de (1.12) nécessite la spécification des conditions aux limites(ou de bord).
L"origine physique de cette distinction se trouve dans le principed"incertitude de Heisenberg, lequel stipule d"une part, l"inexistence de latrajectoire,px&~;(1.13)oùxdenote l"incertitude de la grandeurx, car il est impossible de fixerà la fois l"impulsionpet la positionxavec une précision arbitraire (p!0;x!0), et d"autre part, impose une durée de vie infinie à un état ayantune énergie parfaiement déterminée :Et&~;(1.14)produit des incertitudes de l"énergie et du temps.
Cette dernière relationd"incertitude, montre également que le problème de conditions initiales nese pose pas pour un système quantique dont l"énergie est fixée à une valeurdonnée.
On dit que l"état quantique est stationnaire.1.2.1) Le puits de potentielPour apprécier la différence conceptuelle essentielle entre