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Equations algébriques et nombres complexes

Comment donner la forme algébrique des nombres complexes ?
Tout élément z de s'écrit de manière unique : z = a + ib (a et b réels), donc si z = a + ib et z' = a' + ib', z = z' ⇔ a = a' et b = b'. a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z.
Le réel a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
Comment résoudre une equation des nombres complexes ?
La méthode est toujours la même.
On pose z=a+ib z = a + i b , de sorte que z2=(a2−b2)+2iab z 2 = ( a 2 − b 2 ) + 2 i a b .
L'équation z2=3+4i z 2 = 3 + 4 i est donc équivalente à {a2−b2=32ab=4 { a 2 − b 2 = 3 2 a b = 4 On peut ajouter une troisième équation en remarquant que z2=3+4i⟺a2+b2=√9+16=5.
Comment résoudre l'équation dans C ?
Afin de résoudre une équation du premier degré dans \\mathbb{C} comportant à la fois z et \\overline{z} comme inconnues, on utilise le fait que, si z =x+iy, alors \\overline{z} =x-iy (avec x et y deux réels).
Une astuce assez courante consiste à multiplier numérateur et dénominateur par a − i b : 1 z = ( a − i b ) ( a + i b ) ( a − i b ) .
Or ( a + i b ) ( a − i b ) = a 2 − i 2 b 2 = a 2 + b 2 ce qui donne le résultat.

On appelle forme algébrique (ou cartésienne) d'un nombre complexe z = (x, y) l'expression z = x +jy. si x = 0, alors z = jy est un nombre imaginaire pur: z ∈I L'ensemble des nombres imaginaires purs se note I. , on a alors la figure 1 suivante. A tout nombre complexe z = x + jy, on associe le point M(x, y).

Equations algébriques et nombres complexes

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Comment résoudre l'équation dans C ?