20 octobre 2013COURS DE TOPOLOGIE (L3)Universite Lille 12013-2014Lea Blanc-Centi1 ESPACES NORMES, ESPACES METRIQUES1.
1) Rappels sur les ensembles denombrables1.1.
1) DenitionDEFINITION-PROPRIETEUn ensembleIest ditdenombrable()i) il existe une bijection deIsur une partie deN;()ii) il existe une bijection deIsur une partie de la formef0;:::;q1gou surNentier;()iii) il existe une suite croissante de parties niesJkItelle queI=[k2NJk.Autrement dit, on peut numeroter les elements deI.DEMONSTRATION:i) equivaut aii) car toute partieKnie de cardinalq(resp. innie) deNest en bijectionavec l'ensemblef0;:::;q1g(resp. avecNentier).ii) =)iii) : commeiii) est inchangee par bijection, il sut de traiter les cas{I=f0;:::;q1g: alorsJk=Ipour toutkconvient;{I=N: alorsJk=f0;:::;kgconvient.iii) =)ii) : on numerote progressivement les elements deI.
NotonsJ0=fa0;:::;aq01g,J1=fa0;:::;aq01;aq0;:::;aq11g(puisqueJ0J1), etc.
Il y a deux cas.{Ou bien la suite Jkest stationnaire : il existe un indicek0tel que8kk0; Jk=Jk0;dans ce casI=Jk0est ni.{Ou bien le pro cessusest inni : d ansce c asl 'applicationn7!anest bien denie deNdansI, est injective par construction, et surjective (car tout element deIest dansl'un desJk).1.1.
2) ExemplesToute partie nie, toute partie deN, tout ensemble en bijection avec un ensemble denombrablesont denombrables.Z=Sk2Nfl2Zj klkgest denombrable.PROPOSITION 1.
1) QetQ[X]sont denombrables.DEMONSTRATION:On utilise leiii) de la denition.
PourQ, on poseJk=nab2Qj jaj k+ 1;0 2) Un produitnide denombrables, une reunion denombrable de denombrables, une partie d'undenombrable, l'image (surjective) d'un denombrable sont egalement denombrables.
1) DEMONSTRATION:il sut de montrer que le produit de deux ensembles denombrables est denombrable : siI=[k2NJketI0=[k2NJ0k(ou lesJketJ0ksont nis, et les suites croissantes pour l'inclusion),alorsII0=[k2N(JkJ0k).
Les partiesJkJ0ksont nies et la suite est croissante pourl'inclusion.siLest une partie denombrable et pour toutl2L,Ilest denombrable : on peut ecrireIl=[k2NJl;k(ou lesJl;ksont nis, et la suite est croissante pour l'inclusion).
CommeLest denombrable on peut supposer que c'est une partie deN. Alors[l2LIl=[p2NJ0pouJ0p=[k2N; l2L; k+lpJl;k. On verie que lesJ0kforment bien une suite croissante de partiesnies.siI=[k2NJkest denombrable, etI0I, alorsI0=[k2N(I0\Jk); sifest une fonctiondenie surI, alorsf(I) =[k2Nf(Jk) ou lesf(Jk) forment bien une suite croissante de partiesnies : doncf(I) est denombrable.1.
2) Espaces vectoriels normes1.2. 1) DenitionsDEFINITIONSoitEunK-espace vectoriel (K=RouC). On appellenormesurEune application noteek k:E!R+veriant :1.8x2E;82K;kxk=jjkxk(homogeneite);2.8x;y2E;kx+yk kxk+kyk(inegalite triangulaire);3.kxk= 0()x= 0.Si seulement les proprietes 1:) et 2:) sont veriees, mais pas 3:), on parle desemi-norme.UnK-espace vectoriel normeest un couple (E;k k) ouk kest une norme surE.On peut ecrire l'inegalite triangulaire de facon equivalente sous la forme suivante, appeleesecondeinegalite triangulaire:8x;y2E;jkxk kykj kxyk:DEFINITIONUnealgebre normee unitaireest un quadruplet (E;+;;k k) ou :1.( E;k k) est un espace vectoriel norme;2.( E;+;) est une algebre;3.8x;y2E;kxyk kxk kyk.Exemple :l'ensemble des fonctions bornees deIdansK, muni deN1ouN1(f) = Supx2Ijf(x)j.1.2.
2) Normes provenant d'un produit scalaireRappelons qu'unproduit scalaireest une applicationhji:EE!K, qui est{lin eairepar r apport ala seconde v ariable;{symetriquesiK=R:hxjyi=hyjxihermitiennesiK=C:hxjyi=hyjxi(donchxjyi=hxjyi);2{d eniep ositive: 8x6= 0;hxjxi>0.Exemple :surRnouCn,hxjyi=Pn1xkyk.THEOREME 1.
1) SoitEunK-espace vectoriel,hjiun produit scalaire surE. On a :l'inegalite de Cauchy-Schwarz :8x;y2E;jhxjyij phxjxiphyjyiavec egalite ssi les vecteursxetysont colineaires.l'inegalite de Minkowski :en posantkxk=phxjxi,8x;y2E;kx+yk kxk+kykavec egalite ssixetysont colineairesde m^eme sens(i.e.le coecient de proportionnalite estdansR+).En particulier,k kest une norme surE, et on a8x;y2E;jhxjyij kxkkyk:ATTENTION :deux vecteursx;y2Esont colineaires ssi ou bien92Kjy=x, ou bienx= 0.DEMONSTRATION:Commencons par montrer l'inegalite de Cauchy-Schwarz.
On se donnex;y2E. Six= 0ouy= 0 on a bien s^ur l'inegalite voulue. On suppose doncx6= 0 ety6= 0. Soit2Rtelquehxjeiyi 2R:Par exemple, puisquehxjeiyi=eihxjyi, on peut prendre=Arghxjyisihxjyi 2C, et= 0 sihxjyi= 0.
En particulier, puisqueeihxjyi 2R:jhxjyij2=jeihxjyij2= (eihxjyi)2:Pourt2R, on posef(t) =hx+teiyjx+teiyi.
Le produit scalaire etant deni positif, onaf(t)0 pour toutt2R. De plus :f(t) =hxjxi+hxjteiyi+hteiyjxi+hteiyjteiyi[bilineaire]=hxjxi+hxjteiyi+hxjteiyi+teihyjteiyi[hermitienne]=hxjxi+ 2 De plus, comme on a supposey6= 0, le coecient det2est non nul, doncfest une fonction polynomiale de degre 2 ent, qui reste de signe constant : son discriminant est negatif ou nul, et il est nul ssi le polyn^ome a une racine (double).
Donc04eihxjyi24hxjxihyjyi= 4(jhxjyij2 hxjxihyjyi)c'est-a-dire l'inegalite de Cauchy-Schwarz. De plus il y a egalite ssi il existet02Rtel quef(t0) = 0. Par denition defet d'apres les proprietes du produit scalaire, cela signie quex+t0eiy= 0. Donc il y a egalite ssi il existe2C(=t0ei) tel quex=y.Pour l'inegalite de Minkowski :hx+yjx+yi=hxjxi+hxjyi+hyjxi+hyjyi=kxk2+ 2 Comme 2) R+,ce qu'on peut resumer parxetycolineaires de m^eme signe.1.2. 3) Exemples fondamentauxOn note`1(K) =f(uk)2KNjPjukjconvergeg,`2(K) =f(uk)2KNjPjukj2convergeget`1(K) l'ensemble des suites bornees.versionespaceN1N2N1nieKnx= (x1;:::;xn)nXk=1jxkjvuutnXk=1jxkj2Max1knjxkjdiscreteespace des suites (uk)2KNtelles que le terme suivantait un sens+1Xk=0jukjvuut+1Xk=0jukj2Supk2NjukjcontinueC0([a;b];K)Zbajf(t)jdtsZbajf(t)j2dtMaxx2[a;b]jf(x)jJustications :pourN1surC0([a;b];K) : une fonction continue sur un segment est bornee (et atteint sesbornes);pourN2: dans chacun des cas, c'est une norme provenant d'un produit scalaire :{hxjyi=nXk=1xkyksurKn;{h(uk)j(vk)i=+1Xk=0ukvksur`2(K);{hfjgi=Rbaf(t)g(t)dtsurC0([a;b];K).1.2.
4) Comparaison de normesPROPOSITION 1. 3) SoitNetN0deux normes sur le m^emeK-espace vectorielE:9k >0j 8x2E; N0(x)kN(x)mtoute suite(un)qui converge vers 0 dans(E;N)(i.e.N(un)!0)converge vers 0 dans(E;N0)(i.e.N0(un)!0)DEMONSTRATION:()) si9k >0j 8x2E; N0(x)kN(x) : pour toute suite (un)nd'elements deEtellequeN(un)!0, on
