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Chapitre 3 Espaces topologiques cas des espaces m´etrisables

Comment montrer qu'un espace est topologique ?
On appelle espace topologique un couple (X,T ) où X est un ensemble et T une famille de parties de X vérifiant : (T1) ∅∈T , X ∈ T , (T.
2) Une intersection finie d'éléments de T appartient à T , (T.
3) Une reunion quelconque d'éléments de T appartient à T .
Pourquoi étudier la topologie ?
La topologie permet d'appréhender les limites de fonctions ou de suites.
Regardons la suite des inverses des nombres entiers à partir de 1 : 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, … , 1/n, … À la limite, cette suite va tendre vers 0.
Cela rejoint plus ou moins le fait que 0 est un point limite de l'ensemble des 1/n.
Qu'est-ce qu'une métrique en maths ?
Un ensemble muni d'une distance s'appelle un espace métrique.
Ces conditions expriment les notions intuitives du concept de distance.
Par exemple, que la distance entre des points distincts est strictement positive et que la distance de x à y est la même que la distance de y à x.
Un espace métrique est un ensemble E sur lequel on a défini une distance, c'est `a dire une application d : ExE → IR+ qui vérifie, pour tous x, y et z ∈ E d(x, y) = d(y, x) symétrie d(x,y)≤ d(x, z) + d(z, y) inégalité triangulaire d(x, y) = 0 si et seulement si x = y.

Comment montrer qu'un espace est topologique ?