Applications continues

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  • Quand Dit-on qu'une application est continue ?

    Applications linéaires sur un espace de dimension finie
    Si E est de dimension finie alors (quel que soit le choix de la norme sur E, puisque toutes sont équivalentes), toute application linéaire sur E est continue.

  • Comment montrer qu'une application n'est pas continue ?

    Pour démontrer qu'une application linéaire u:E→F u : E → F n'est pas continue, on peut chercher une suite (xn) de E avec ∥xn∥=1 ‖ x n ‖ = 1 et ∥u(xn)∥→+∞ ‖ u ( x n ) ‖ → + ∞ (voir cet exercice).

  • Comment montrer qu'une forme linéaire est continue ?

    Une forme linéaire est continue si (et seulement si) son noyau est fermé. (Alors que pour qu'une application linéaire de E dans un espace F de dimension infinie soit continue, cette condition — évidemment nécessaire — n'est pas suffisante.)

  • On vérifie de même que Δ est un endomorphisme de E ou bien on emploie Δ=T-IdE pour parvenir à la même conclusion par opérations sur les endomorphismes.
    Pour montrer qu'une application linéaire f∈ℒ(E,E′) est continue, il suffit de déterminer k∈ℝ vérifiant ∥f(x)∥≤k∥x∥ pour tout x∈E.

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Chapitre 2Applications continuesOn verra que la continuit´e est essentiellement une notion topologique, nonreserv´ee sp´ecialement aux espaces m´etriques.

Par contre, dans le dernier sous-paragraphe, on expliquera quelques notions li´ees `a la continuit´e mais plutˆotsp´ecifiques dans le cas lin´eaire entre deux espaces vectoriels norm´es.2.

1) Applications continues d"espaces m´etriquesPour la continuit´e d"une application entre deux espaces m´etriques, on com-mence par la d´efinition "simple" suivante.D´efinition 2.1.

1) Soient (E,dE) et (F,dF). Une applicationf:E→Fest ditecontinueenasix→a?f(x)→f(a).Exemple 2.1. 2) Soita?Eet (E,d) un espace m´etrique. L"applicationx?→d(a,x) est continue deEdans [0,∞[.Th´eor`eme 2.1.

3) Soitf:E→Fet soitb=f(a).fest continue enassi pourtoutV? Vb, on af-1(V)? Va.Corollaire 2.1.4 (Caract´erisation d"une application continue)Les troisconditions ci-dessous sont ´equivalentes.(i)f:E→Fest contionue en tout point deE.(ii)Pour tout ouvertUde(F,dF),f-1(U)est un ouvert de(E,dE).(iii)Pour tout ferm´eWde(F,dF),f-1(W)est un ferm´e de(E,dE).Comme application, on notera que sif,gsont des applications num´eriquescontinues sur un espace m´etrique (E,d), alors{x?E:f(x)≤g(x)}est unferm´e deE,{x?E:f(x)< g(x)}est un ouvert deE.Comme dans le cas classique, on peut montrer que la compos´ee de deuxapplications continues reste continue.D´efinition 2.1.5 (a)On appellehom´eomorphismetoute application "bicon-tinue" en ce sens quef´etablit une bijection entre les espaces donn´es etquefet son inverse sont toutes continues.1314CHAPITRE 2.

APPLICATIONS CONTINUES(b)Deux espaces sont ditshom´eomorphess"il existe un hom´eomorphisme entreeux.Exemple 2.1.

6) Une isom´etrie est, par d´efinition, une application d"un espacem´etrique dans lui-mˆeme conservant la m´etrique de tout couple de points :d(f(x),f(y)) =d(x,y).

On peut v´erifier que toute isom´etire est un hom´e-omrophisme.Proposition 2.1.

7) Deux distancesd1etd2surEsont topologiquement ´equi-valents ssi l"application identit´e est un hom´eomorphisme entre(E,d1)et(E,d2).Applications lipschitziennesUne applicationf: (E,dE)→(F,dF) est dite lipschitzienne s"il existe uneconstanteC >0 telle que, pour tout (x,y)?E2,dF(f(x),f(y))≤CdE(x,y).Lorsque la constanteCpeut ˆetre choisie<1 et queE=F, on dit quefestune application contractante.

Il est facile de dmontrer leTh´eor`eme 2.1.

8) Toute application lipschitzienne est continue et, en particu-lier, uniform´ement continue en ce sens que pour tout? >0, il existeη >0telque, pour tousx,y?E,dE(x,y)< η?dF(f(x),f(y))< ?.La proposition 2.1.7 ci-dessus peut alors ˆetre renforc´ee de la fa¸con suivante :Proposition 2.1.

9) Deux distancesd1etd2surEsont ´equivalents ssi l"appli-cation identit´e est un hom´eomorphisme lipschitzien entre(E,d1)et(E,d2).2.

2) Applications continues d"espaces topologiquesSoient (E,U) et (F,W) des espaces topologiques.D´efinition 2.2.

1) Une applicationf: (E,U)→(F,W) est ditecontinue ena?Esi, pour tout voisinageWdef(a),f-1(W) est un voisinage dea.Proposition 2.2.

2) Soitf: (E,U)→(F,W),a?Eetb=f(a).

Les condi-tions suivantes sont ´equivalentes.(i)fest continue ena?E.(ii)Pour toutW? Wb, il existeU? UaavecU?f-1(W).On remarquera queU?f-1(W)?f(U)?W.Th´eor`eme 2.2.3 (Caract´esation d"une application continue)Une appli-cationf: (E,U)→(F,W)est continue en tout point deEssi l"image r´eciproqued"un ouvert parfest un ouvert.Remarque 2.2.

4) L"image d"un ouvert par une application continue n"est pasn´ecessairement un ouvert!!!Corollaire 2.2.

5) SoitXun sous-ensemble non vide de(E,U)et soitιl"appli-cation qui "injecte"XdansE:ι(x) =xpour toutx?X.

Alorsιest continuede(X,UX)dans(E,U).2.3. APPLICATIONS LIN´EAIRES CONTINUES15D´efinition 2.2.

6) Une applicationf: (E,U)→(F,W) est appel´eehom´eo-morphismesifest une bijection etf,f-1sont continues partout.

Si c"est lecas, les espace topologiques (E,U), (F,W) sont ditshom´eomorphes.Th´eor`eme 2.2. 7) Suppposons quef: (E,U)→(F,W)est une bijection.

Alorsfest un hom´emorphisme ssifest une application continue et ouverte (en cesens que l"image d"un ouvert est un ouvert).Remarque 2.2.

8) SiEcontient plus de deux ´el´ements, l"application "identit´e"x?→x, (E,G)→(E,D) n"est continue nulle part lorsqueGest la topologiegrossi`ere etD, discr`ete.

Pourtant cette mˆeme application est continue de (E,D)vers (E,G).2.

3) Applications lin´eaires continues d"espaces vec-toriels norm´esUne grande nouveaut´e est qu"une application lin´eaire d"espaces vectorielsnorm´es n"est pas n´ecessairement continue si l"espace au d´epart est de dimensioninfinie, vu l"exemple ci-dessous :Exemple 2.3.

1) L"application lin´eairef: (C0([0,1],R),??1)→R, φ?→f(φ) =φ(0)n"est continue nulle part dans (C0([0,1],R),??1).En effet, on peut observer queTh´eor`eme 2.3.

2) Soitf:(E,? ?E)→(F,? ?F)une application lin´eaire entredeux espaces vectoriels norm´es. Soitx0?Eun ´el´ement quelconque.

Les condi-tions suivantes sont ´equivalentes.(i)fest continue surE.(ii)fest continue en0?E.(iii)fest continue enx0.(iv)Il existeC0>0tel que?f(x)?F≤C0?x?Epour toutx?E.(v)On asupx?E,?x?E=1?f(x)?F<∞.Corollaire 2.3.

3) SiEest de dimension finie, alors toute application lin´eaired´efinie surEest continue.Dans le cas g´en´eral, lorsquef: (E,? ?E)→(F,? ?F) est une applicationlin´eaire continue, on d´efinit la norme def, not´ee?f?, par la relation suivante :?f?= supx?E,?x?E=1?f(x)?F.On dira quefest born´ee (sur la sph`ere unit´e) si?f?<∞.

D"o`u l"´equivalenceentre dire quefest continue et dire quefest born´ee ou encore dire quefestlipschitzienne.