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Résolution d'une Equation Di érentielle Linéaire d'ordre 1

Qu'est-ce qu'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 ?
On appelle équation différentielle ordinaire linéaire (EDOL) du premier ordre toute équation de la forme : (E) a(x)y′(x) + b(x)y(x) = f(x), (1.1) où y est une fonction réelle inconnue, et a, b et f sont des fonctions réelles connues.
Comment résoudre une équation différentielle linéaire ?
On introduit l'équation caractéristique r2=ar+b. r 2 = a r + b .
Résolution sur C : si l'équation caractéristique admet deux racines r1 et r2 , alors les solutions de l'équation homogène y′′+ay′+by=0 y ″ + a y ′ + b y = 0 sont les fonctions x↦λer1x+μer2x avec λ,μ∈C.
Quelles sont les techniques pour déterminer la solution générale d'une équation homogène du 1er ordre ?
La solution générale de l'équation complète s'obtient en faisant la somme de la solution de l'équation homogène et de la solution particulière. (pour la démonstration, voir " Outils Mathématiques pour la Physique ", équations différentielles du premier ordre à coefficients constants).
Résoudre une telle équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions dérivables y définies sur I à valeurs dans R ou C vérifiant, pour tout x∈I x ∈ I , y′(x)+a(x)y(x)=b(x) y ′ ( x ) + a ( x ) y ( x ) = b ( x ) .
Dans la suite, on supposera toujours que a,b sont continues sur I .

Nous supposons ici que 0 ∈ I et −1 I. admet une limite finie en 0+ si et seulement si λ = 0 et cette limite est alors 1. admet une limite finie en 0− si et seulement si µ = 0 et cette limite est alors 1. Enfin, la relation 2x(1 + x)y (x)+(1+ x)y(x)=1 est satisfaite pour x = 0, puisque y(0) = 1.

Résolution d'une équation di érentielle du premier ordre à coe

Résolution d'une Equation Di érentielle Linéaire d'ordre 1

Qu'est-ce qu'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 ?

Comment résoudre une équation différentielle linéaire ?

Quelles sont les techniques pour déterminer la solution générale d'une équation homogène du 1er ordre ?