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TD n◦1: Topologie de Rn

Quelles sont les normes de r ?
— La valeur absolue R → R+, x ↦→ x est une norme sur R.
Par conséquent, l'application d : R × R → R+, (x, y) ↦→ y − x est une distance sur R. 1 + x2 2, est bien une norme.
Comment montrer qu'une partie est fermée ?
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F.
L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ».
Tout espace métrique est séquentiel.
Une application ∥⋅∥:E→R+ ‖ ⋅ ‖ : E → R + est appelée une norme si elle vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tout x∈E x ∈ E , ∥x∥=0⟺x=0 ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0 .
Pour tout x∈E x ∈ E et tout λ∈K λ ∈ K , ∥λx∥=λ⋅∥x∥ ‖ λ x ‖ = λ ⋅ ‖ x ‖ (homogénéité).

Quelles sont les normes de r ?