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Probabilités via l'Intégrale de Riemann

Quand Dit-on qu'une fonction est Riemann intégrable ?
est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité a une mesure de Lebesgue nulle.
L'ensemble des discontinuités peut être de mesure nulle sans être fini ou dénombrable, comme pour la fonction caractéristique de l'ensemble de Cantor, qui n'est donc pas réglée.
Comment montrer qu'une fonction est intégrable au sens de Riemann ?
Définition 4.2.1 - Intégrable au sens de Riemann.
Une fonction f : [a, b] → R est dite intégrable au sens de Riemann (on dit aussi Riemann-intégrable sur [a, b]) si, pour tout ε > 0, il existe des fonctions étagées uε et vε ∈ E([a, b]) telles que : (i) uε 6 f 6 vε .
Comment reconnaître une intégrale de Riemann ?
Définition : Soit f une fonction bornée sur [a,b] .
Alors f est Riemann intégrable si et seulement l'une des conditions équivalentes suivante est vérifiée : S−(f)=supσS−(f,\u03c.
3) S − ( f ) = sup σ S − ( f , σ ) et S+(f)=infσS+(f,\u03c.
3) S + ( f ) = inf σ S + ( f , σ ) sont égales.
En pratique, elles permettent de calculer numériquement des aires sous la courbe de fonctions ou des longueurs d'arcs, ou inversement, de donner une valeur à des suites de sommes.
Elles peuvent également être utilisées pour définir la notion d'intégration.
Leur nom vient du mathématicien allemand Bernhard Riemann.

Quand Dit-on qu'une fonction est Riemann intégrable ?