Exercices de Thermodynamique

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Exercices de Thermodynamique

" Ce fut la grande tâche et la grande gloire de la physique du XIX esiècle d"avoir ainsi considérablement précisé et étendu en tous sens notre connais- sance des phénomènes qui se jouent à notre échelle. Non seulement elle a continué à développer la Mécanique, l"Acoustique, l"Optique, toutes ces grandes disciplines de la science classique, mais elle a aussi créé de toutes pièces des sciences nouvelles aux aspects innombrables : la Thermodynamique et la science de l"Électricité. » LouisDe Broglie(1892-1987) -Matière et Lumière, exposés généraux sur la physique contemporaine, 1(1937) ?Syst`emes thermodynamiques T1? ???Ex-T1.1Grandeurs intensives et extensives(äSol. p. 2) Soit une mole d"un gaz occupant une volumeVmsous la pressionPet `a la temp´eratureT.

1)On suppose que ces grandeurs sont li´ees par l"´equation :?

P+a V2m? (Vm-b) =RT, o`ua,b

etRsont des constantes. Utiliser les propri´et´es d"intensivit´e ou d"extensivit´e des grandeurs pour

´etablir l"´equation correspondante relative `anmoles.

2)Mˆeme question pour l"´equation :P(Vm-b) exp?a

RTVm? =RT. ? ???Ex-T1.2Pour donner du sens au nombre d"Avogadro(äSol. p. 2) On consid`ere du sable fin dont chaque grain occupe un volumeV0= 0,1mm3. Quel est le volume Voccup´e parN= 6.1023grains? Si on ´etendait uniform´ement ce sable sur la France(d"aire S= 550000km2) quelle serait la hauteur de la couche de sable? ?Consid´erations `a l"´echelle microscopique T1? ???Ex-T1.3Vitesse de lib´eration et vitesse quadratique moyenne

1)Calculer num´eriquement `a la surface de la Terre et de la Lune, pour une temp´erature

T= 300K, la vitesse de lib´erationvlet la vitesse quadratique moyenne pour du dihydrog`ene et du diazote. Commenter. Donn´ees :Constante de gravitationG= 6,67.10-11uSI. Rayon terrestreRT= 6,4.106m; masse de la TerreMT= 6.1024kg. Rayon lunaireRL= 1,8.106m; masse de la LuneML= 7,4.1022kg. Masses molaires :M(H2) = 2g.mol-1etM(N2) = 28g.mol-1.

Constante desGP:R= 8,314J.K-1.mol-1.

2)Quel devrait ˆetre l"ordre de grandeur de la temp´eratureTpour que le diazote, constituant

majoritaire de l"atmosph`ere terrestre, ´echappe quantitativement `a l"attraction terrestre? R´ep : 1)Pour l"expression de la vitesse de lib´erationÜCf Cours de M´ecaniqueetDSn05: v l,T?11,2km.s-1etvl,L?2,3km.s-1. de plus :vq(H2)?1,9km.s-1etvq(N2)?0,5km.s-1.

2)Il faudraitTT≂100000K(!)

? ???Ex-T1.4Densit´e particulaire et volume molaire(äSol. p. 2)

1)calculer le nombre de mol´ecules parcm3dans un gaz parfait `a 27◦Csous une pression de

10 -6atmosph`ere.

2)Calculer le volume occup´e par une mole d"un gaz parfait `a latemp´erature de 0◦Csous la

pression atmosph´erique normale. En d´eduire l"ordre de grandeur de la distance moyenne entre mol´ecules.

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Solution Ex-T1.1

1)CommeVm=Vn, on a :

? P+a V2m? (Vm-b) =RT??

P+n2aV2??

Vn-b? =RT? ? P+n2a V2? (V-nb) =nRT Rq :on peut ´ecrire l"´equation d"´etat sous la forme? P+A V2? (V-B) =nRTen posantB=nb etA=n2a. Best une grandeur extensive puisqu"elle est additive, sin=n1+n2,B=nb=n1n+n2b= B

1+B2.Aest aussi une grandeur extensive, mais elle n"est pas additive car sin2a?=n21a+n22a.

2)P(V-nb)exp?na

RTV? =nRT.

Solution Ex-T1.2

Le volume occup´e estV=N.v= 6.1013m3= 6.1016L(60 millions de milliards de litres!) . Ce sable ´etal´e surS= 5,5.105km2= 5,5.1011m2formerait une couche de hauteurh=V

S?110m

(!).

Solution Ex-T1.3

1)D"apr`es l"´equation d"´etat du gaz parfait, le nombre de mol´ecules par unit´e de volume est

n ?=N V=PkBT?10-6.1,01325.1051,38.10-23×300?2,5.1019mol´ecules par m`etre cube soitn??2,5.1013 mol´ecules parcm3ou encoren??4.10-11mol.cm-3.

2)Le volume molaire cherch´e est :Vm=RT

V=8,314×273,151,013.105= 22,4.10-3m3= 22,4L.

?Mod´elisations de gaz r´eelsT1? ???Ex-T1.4Dioxyde de carbone

Pour le dioxyde de carbone (" gaz carbonique »), les coefficientsaetbde l"équation d"état deVan

der Waalsont pour valeurs respectives0,366kg.m5.s-2.mol-2et4,29.10-5m3.mol-1. On place deux moles de ce gaz dans une enceinte de volumeV= 1Là la température deT= 300K.

Q :Comparer les pressions données par les équations d"état du gaz parfait et du gaz deVan der

Waals, la valeur exacte étantP= 38,5bars.

Rép :PGP=nRT

V?4,99.106Pa, soit une erreur relative de?

? ? ?P-PGP P? ? ? ?≈30%;PVdW= nRTV-nb-n2aV2?3,99.106Pa, soit une erreur relative de? ? ? ?P-PVdW P? ? ? ?≈4%. Le modèle du gaz parfait est donc inacceptable, tandis que le modèle du gaz deVan der Waalsmontre une bien meilleure précision. ? ???Ex-T1.5Deux r´ecipients Un récipient(A)de volumeVA= 1L, contient de l"air àtA= 15◦Csous une pressionPA=

72cmHg.

Un autre récipient(B)de volumeVB= 1L, contient également de l"air àtB= 20◦Csous une pressionPB= 45atm.

On réunit(A)et(B)par un tuyau de volume négligeable et on laisse l"équilibre se réaliser à

t= 15◦C. On modélise l"air par un gaz parfait de masse molaireM= 29g.mol-1.Données :le "centimètre de mercure» est défini par la relation1atm= 76cmHg= 1,013.105Pa.

Q :Quelle est la pression finale de l"air dans les récipients? Quelle est la masse d"air qui a été

transférée d"un récipient dans l"autre? Indications :Exprimer, initialement, les quantités de matièrenAetnBdans les récipients. En

déduire la quantité de matière totale. L"état final étant un état d"équilibre thermodynamique,

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les variables intensives sont uniformes, dont la densité moléculaire etla pression. En déduire les

quantités de matière finalesnAFetnBF.

Rép :mB→A= 26,1getP?22,5bars?22,2atm.

? ???Ex-T1.6Point critique et ´equation r´eduite d"un gaz de Van der Waals (*)

1)Une mole de gaz deVan der Waalsa pour équation d"état :?

P+a V2? (V-b) =RT ExprimerPen fonction deTetVet calculer les dérivées partielles :?∂P ∂V? T et?∂2P∂V2? T .

2)Montrer qu"il existe un unique état C tel que :?∂P

∂V? T = 0et?∂2P∂V2? T = 0. Déterminer son volume molaireVC, sa températureTCet sa pressionPC.

3)On poseθ=T

TC,ν=VVCet?=PPC.

Montrer que l"équation d"état liantθ,νet?est universelle, c"est à dire qu"elle ne fait plus

intervenir aucune constante dépendant du gaz.

Rép : 1)?∂P

∂V? T =-RT(V-b)2+2aV3et?∂2P∂V2? T =2RT(V-b)3-6aV4 2)C? V

C= 3b;TC=8a

27Rb;PC=a27b2?

-3)? ?+3ν2? (ν-1) = 8θ ? ???Ex-T1.7Mod´elisations d"un gaz r´eel (*)

1)Le tableau ci-dessous donne avec trois chiffres significatifs exacts le volume molaireV(en

m

3.mol-1) et l"énergie interne molaireU(enkJ.mol-1) de la vapeur d"eau à la température

t= 500◦Cpour différentes valeurs de la pressionP(enbars). On donne en outre la constante des GP :R= 8,314J.K-1.mol-1.

P110204070100

V6,43.10-26,37.10-33,17.10-31,56.10-38,68.10-45,90.10-4

U56,3356,2356,0855,7755,4754,78

Justifier sans calcul que la vapeur d"eau ne se comporte pas comme unGP. On se propose d"adopter le modèle deVan der Waalspour lequel on a, pour une mole de gaz : ? P+a V2? (V-b) =RTetU=UGP(T)-aV.

Calculer le coefficientaen utilisant les énergies internes des états àP= 1baret àP= 100bars.

Calculerben utilisant l"équation d"état de l"état àP= 100bars. Quelle valeur obtient-on alors pourUàP= 40bars? Quelle température obtient-on alors en utilisant l"équation d"état avecP= 40barset

V= 1,56.10-3m3.mol-1?

Conclure sur la validité de ce modèle.

2)On réalise une détente isochore (ie à volume constant) d"une mole de vapeur d"eau de l"état

initialI{tI= 500◦C;PI= 100bars}jusqu"à l"état finalF{TF=?;PF= 70bars}. Le tableau ci-dessous donne le volume molaireV(enm3.mol-1) et l"énergie interne molaireU (enkJ.mol-1) de la vapeur d"eau sousP= 70barspour différentes valeurs de la températuret (en ◦C). t300320340360380400 V5,31.10-45,77.10-46,18.10-46,54.10-46,87.10-47,20.10-4

U47,3048,3849,3250,1750,9651,73

Déterminer la température finaleTFet la variation d"énergie interneΔU=UF-UI. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3

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Rép : 1)UH2O(g)ne vérifie pas la première loi deJoule:H2O(g)ne se comporte pas comme un gaz parfait. Modélisation deVdW:a= 9,23.10-1J.m-3.mol-1etb= 8,2.10-5m3.mol-1.

2)TF= 599KetΔU=UF-UI=-6,1kJ.mol-1.

?Coefficients thermo´elastiques et phases condens´ees T1? ???Ex-T1.8Gaz de Van der Waals Une mole de dioxyde de carboneCO2obéit à l"équation deVan der Waals:? P+a V2? (V-b) =

RT, oùVest le volume molaire du gaz.

Déterminer le coefficient de dilatation à pression constanteαen fonction des variables indépen-

dantesTetV, des constantesa,bet deR. Retrouver son expressionαGPdans le cas d"un gaz parfait.

Rép :a=R

-2aV2(V-b) +RTVV-bet on vérifie quelim a→0 b→0α=1

T=αGP.

? ???Ex-T1.9Gaz de Joule

Une mole de gaz deJouleobéit à l"équation d"état :P(V-b) =RT, oùVest le volume molaire

du gaz.

Déterminer le coefficient de compressibilité isothermeχTen focntion des variables indépendantes

V,P, etb.

Retrouver son expressionχT,GPdans le cas d"un gaz parfait. Exprimer l"écart relatif :χT-χT,GP

χT,GP.

Comparer les compressibilité d"un gaz deJouleet d"un gaz parfait.

Rép :χT=?

1-b V?

1Pet on vérifie quelim

b→0χT=1P=αGP. χ

T-χT,GP

χT,GP=-bV<0→; donc le gaz de Joule est moins compressible que le gaz parfait. ? ???Ex-T1.10Eau liquide

Une mole d"eau liquide est caractérisée dans un certain domaine de températures et de pressions

autour de l"état 0 où{P0= 1bar;T0= 293K;V0= 10-3m3}, par un coefficient de dilatation isobareα= 3.10-4K-1et par un coefficient de compressibilité isothermeχT= 5.10-10Pa-1 constants.

1)Établir que l"équation d"état liantV,PetTde ce liquide est :

ln V

V0=α(T-T0)-χT(P-P0)

2)Calculer son volume molaire sousP= 1000barset àT= 293K. Commenter.

3)Une mole d"eau liquide est enfermée dans une bouteille métallique de volumeV0constant.

Par suite d"un incendie, la température passe deT0= 293KàT= 586K. Calculer la pressionPdans le récipient et commenter. Reprendre le calcul pour un gaz parfait et commenter.

Rép : 2)V= 9,51.10-4m3soit?

? ? ?ΔV V0? ? ? ?= 5%.3)P=P0+α(T-T0)

χT= 1,8.103bar: cette

pression est très élevée : la bouteille risque d"exploser.

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?" Atmosphère! atmosphère!... »T2? ???Ex-T2.1Masse de l"atmosph`ere On travaille avec le modèle d el"atmosphère isotherme avecT= 290K. Le champ de pesanteur est supposé uniforme (g= 9,8m.s-2) et l"air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M= 29g.mol-1. On noteP0= 105Pala pression de l"air au niveau du sol (z= 0) et on choisit un axe verticalOzascendant.

1)retrouver la loi du nivellement barométriqueP(z)pour l"atmosphère isotherme. À quelle

altitudez1la pression vaut-elleP0

2?A.N.

2)En supposant cette loi valable dez= 0à " l"infini » calculer la masseMatmde l"atmosphère

et faire l"application numérique avecRT= 6400km. Rép : 1)z1= 5900m;2)Conseil pour éviter une intégration par partie : remarquer que l"épaisseur de l"atmosphère est telle quez?RT→Matm≈5.1018kg. ? ???Ex-T2.2Pression atmosph´erique en altitude Calcul de la pression atmosphérique au sommet du Mont Blanc (4807m) dans les deux cas suivants :

1)On suppose que la température de l"atmosphère est constante et égale àT0.

2)On suppose que la température varie avec l"altitude suivant la loi :

T=T0-A.zavecA= 6,45.10-3K.m-1

Données :Température à l"altitudez= 0:T0= 290K; pression à l"altitudez= 0:P0=

1,013bar; masse molaire de l"air :M= 29g.mol-1.

Rép : 1)P= 0,575.105Pa;2)P(z) =P0?

1-Az T0? Mg

RA→P= 0,557.105Pa.

? ???Ex-T2.3Variation de g avec l"altitude

Dans le modèle de l"atmosphère isotherme, à la températureT, on considère ici que le champ de

pesanteurgvarie avec l"altitude suivant la relation :g(z) =g0.?RT RT+z? 2 ,RTreprésentant le rayon de la Terre. Au niveau du sol (z= 0), on noteg0le champ de pesanteur etP0la pression. →Montrer que la loi de variationP(z)dans ces conditions s"écrit : lnP(z)P0=-M g0R2TR.T?

1RT-1RT+z?

? ???Ex-T2.4Atmosph`ere polytropique (*) L"air est assimilé à un GP de masse molaireMet on se donne dans l"atmosphère une relation phénoménologique de la forme : P(z) ρ(z)k=Cte, appelée relation polytropique d"indicek.kest une

constante donnée, ajustable a postériori aux données expérimentales. Le modèle de l"atmosphère

polytropique constitue une généralisation du modèle de l"atmosphèreisotherme pour lequel on

auraitk= 1. Dans la suite on prendk?= 1. Au niveau du sol, enz= 0, on note la pressionP0, la températureT0et la masse volumiqueρ0. →Établir queP(z)est donnée par la relation implicite suivante : k k-1? P 1-1 k-P1-1k0? =-ρ0gz P1k →en déduireT(z)et montrer quedT dzest une constante.

A. N. :calculerksachant quedT

dz=-7.10-3K.m-1. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/5

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Rép :T(z) =-k-1kMgzR+T0→k=MgR1dT

dz+MgR= 1,26 ?pouss´ee d"Archim`ede T2? ???Ex-T2.5Ascension d"un ballon de volume constant (*)

Un ballon sphérique, de volume fixeV= 3L, est gonflé à l"hélium (M= 4g.mol-1) à la pression

de1baret à la température de293K. L"enveloppe du ballon est en aluminium et a une masse m= 2g. La pression au niveau du sol vautP0= 1baret la température vautT0= 293K. La température varie en fonction de l"altitude selon la loi :T(z) =T0(1-az), aveca= 2.10-2km-1.

1)Exprimer la pressionP(z)à l"altitudezen fonction deT0,P0,aet de la constanteK=Mairg

RT0a.

2)On lâche le ballon. Jusqu"à quelle altitude s"élèvera-t-il?

Rép : 1)P(z) =P0(1-az)K;2)z=1

a?

1-?RT0mP0MairV+MMair?

1 K-1? = 3580m ? ???Ex-T2.6Couronne" en toc »?(äSol. p. 8) Immergée dans l"eau, une couronne dem= 14,7kga une masse apparente de13,4kg. Cette couronne est-elle en or pur? Donnée :masses volumiques de l"or, de l"argent et du plomb :ρAu= 19,3.103kg.m-3,ρAg=

10,5.103kg.m-3etρPb= 11,3.103kg.m-3

? ???Ex-T2.7Volume de l"enveloppe d"une montgolfi`ere(äSol. p. 8) Quel volume d"hélium doit contenir une montgolfière pour pouvoir soulever une massem= 800kg (incluant le poids de la nacelle, de l"enveloppe, du chargement, ...)? Donnée :masses volumiques, àT= 273KetP= 1atm:ρair= 1,29kg.m-3etρHe=

0,179kg.m-3

? ???Ex-T2.8´Equilibre d"un bouchon de li`ege Un bouchon de liège cylindrique de hauteurH= 5cmet de sections= 2cm2est placé verti-

calement dans une éprouvette graduée également cylindrique, de diamètre légèrement supérieur.

Les frottements sur les parois sont négligés. L"éprouvette contientune quantité d"eau suffisante

pour que le bouchon flotte sans toucher le fond. Données :Masses volumiques :ρeau= 1,00g.cm-3;ρliège= 0,24g.cm-3;ρglace= 0,92g.cm-3.

1)Déterminer la hauteurhde liège immergée.

2)On pose sur le bouchon une pièce de monnaie de massem= 6g. Quelle est la nouvelle

hauteur immergéeh??

3)On remplace le bouchon par un glaçon cylindrique de même forme. Quelleest la hauteur de

glace immergéeh??? Que se passe-t-il si on pose la pièce précédente sur le glaçon?

Rép : 1)h= 1,2cm;2)h?= 4,2cm;3)h??= 4,6cm.

? ???Ex-T2.9Oscillations d"un demi-cylindre flottant (*) Un demi-cylindre de rayonRflotte à la surface d"un liquide de masse volumiqueρ.

1)À l"équilibre, il est enfoncé deR

2dans le liquide. Quelle est sa

masse volumiqueμ?

2)Hors équilibre, quelle est la période des petites oscillations ver-

ticales de l"objet?

Rép : 1)μ=?

2

3-⎷

3

2π?

ρ;2)T0= 2π?

R g?

π3⎷3-14?

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.?LiquidesT2? ???Ex-T2.10Pression dans une fosse oc´eanique(äSol. p. 9) On considère une fosse océanique de profondeurH= 10km. La pression à la surface de l"eau estP0= 1baret on supposera la température uniforme et égale àT0.

1)Calculer la pressionP(H)au fond de la fosse en supposant l"eau incompressible.A.N.

2)On veut déterminerP(H)en tenant compte de la compressibilité de l"eau. On doit donc

considérer que la masse volumiqueρde l"eau dépend maintenant de la profondeurz(prise nulle à la surface libre de l"eau). On noteraρ0la masse volumique de l"eau à la surface. a)Montrer que le coefficient de compressibilité isotherme peut s"écrire :χT=1 ρ? ∂ρ∂P? T →Que devient cette expression puisqueT=T0=Cte? En déduiredρ dzb)déduire de la question précédente les expressions deρ(z), puis deP(z) c) A.N. :calculerρ(H)etP(H)avecχT= 4,9.10-10Pa-1. Commenter.

Rép : 1)P(H) = 9,8.102bars;2.a)dρ

dz=χTgρ2;2.b)séparer les variables dans l"équation précédente, puis intégrer entre la surface libre (z= 0) etz:ρ(z) =ρ0

1-ρ0gzχTetP(z) =

P 0+1

χTln?11-ρ0gzχT?

? ???Ex-T2.11Tube coud´e en rotation(äSol. p. 9) Un tube coudé plonge dans de l"eau (ρe= 103kg.m3). Il tourne autour de la verticaleOzascendante dans le réfé- rentiel terrestre à la vitesse angulaireω. La pression atmo- sphérique est notéePa. On noteρla masse volumique de l"air supposée uniforme et constante. La section du tube est supposée très faible.

1)On raisonne dans le référentiel lié au tube, qui n"est

donc pas galiléen. L"air est en équilibre dans ce référentiel. ML A B z x ω On considère une tranche élémentaire d"air de massedmcomprise entre les abscissesxetx+dx. a)Quelles sont les forces qui s"exercent sur cette tranche élémentaire de fluide?

b)On fait l"hypothèse que l"effet du poids est négligeable. En s"inspirant dela seconde démons-

tration de laRFSFétablir en cours, établir que l"équation différentielle reliant la dérivée dela

pressiondP dx,ρ,ωetx. c)calculer la pressionP(x)de l"air dans le tube à une distancexde l"axeOzen fonction dePa,

ω,Letx.

2)déterminer la dénivellationd=ABdu liquide.

Rép : 1.b)

dP dx=ρω2x;1.c)P(x) =Pa+12ρω2(x2-L2);2)d=12ρegρω2L2. ? ???Ex-T2.12Hydrostatique dans un tube en U Soit un tube en U dans lequel se trouvent deux liquides de masses volu- miques respectivesμetμ?. On note respectivementheth?les dénivellations entre les surfaces libres des liquides et leur interface. →Exprimer le rapport des dénivellations en fonction des masses volu- miques des deux liquides.

Rép :h?

h=μμ?. hh"m"m ? ???Ex-T2.13´Equilibre dans un tube en U Un tube en U de section constantes= 1cm2, ouvert aux deux extrémités, contient de l"eau.

1)On ajoute dans la branche de droite un volumeVh= 6cm3d"huile.

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→Déterminer la dénivellation entre la surface libre de l"eau et la surface de séparation (interface)

eau-huile.

2)À partir de l"état d"équilibre précédent, on ajoute dans l"autre branche du tube en U un

volumeVa= 10cm3d"acétone.

→Déterminer la dénivellationdentre les deux interfaces eau-huile et eaux-acétone ainsi que la

dénivellationd?entre les deux surfaces libres. Données :Masses volumiques :ρeau= 1,00g.cm-3;ρhuile= 0,90g.cm-3;ρacétone= 0,79g.cm-3.

Rép : 1)heau= 5,4cm;2)d= 2,5cmetd?= 1, cm.

? ???Ex-T2.14Manom`etre diff´erentiel (*)

Relier le déplacement du niveau du li-

quide dans le manomètre différentiel re- présenté ci-dessous à la surpressionpré- gnant dans le récipient de gauche.

Commenter le résultat en le comparant à

la relation que l"on obtiendrait pour un manomètre classique à tube de section constante (S=s=S0).

Rép :p=ρghs+S

S0 ? ???Ex-T2.15Dilatation d"un Gaz Parfait On considère le dispositif suivant, rempli partiellement de mercure et dont chacune des deux branches, hermétique- ment scellée, contient une même quantité de gaz parfait à la températureT0, sous la pressionP0. La hauteur commune aux deux colonnes de gaz esthet la section des deux récipients estS.

Données :T0= 293k;P0= 1,013bar;h= 40cmet

ρ mercure= 13,6g.cm-3. On chauffe, au moyen de la résistance, la gaz contenu dans une des deux branches, jusqu"à la températureT1. À l"équi- libre, la dénivellation entre les deux surfaces libres du mer- cure estd= 10cm. →Calculer la températureT. T0S h

T0P0P0

mercure

Rép :T1=T0?2h+d2h-d+ρgdP02h+d2h?

Solution Ex-T2.6

Le poids apparent de l"objet immergéP?est le poids réelPde la couronne (de masse volumique ρ

0et de volumeV) soustrait du poids des fluides déplacés (l"eau en l"occurrence) :P?=P+FA=

P-Pf=mg-mfg=ρ0V g-ρfgV= (ρ0-ρeau)V g.

On a donc :

P P-P?=mg(m-mf)g=ρ0ρ0-ρeau?ρ0=PP-P?ρeau= 11,3.103kg.m-3: la couronne est certainement en plomb et non en or pur!

Solution Ex-T2.7

La poussée d"Archimède subie par le volumeVd"hélium de la montgolfière est égale à l"opposée

du poids de l"air atmosphérique déplacé (|FA|=Pf=ρairV g). Cette poussée doit au moins

compenser le poids correspondant à la massemde la montgolfière (enveloppe, poids d"hélium, nacelle et chargement) :|FA|= (mHe+m)g?ρairV g= (ρHeV+m)g, qui conduit à :

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2008-2009Exercices de Thermodynamique

V=mρair-ρHe?720m3

?Forces de pression T2? ???Ex-T2.16Soul`evement d"une calotte sph´erique Pour quelle hauteur d"eau la cloche sphérique de rayonR, de massem, renversée sur le plan horizontal, va-t-elle se soulever?

Rép :h=?3m

ρπ?

1

3< R?m 3 ? ???Ex-T2.17Pouss´ee exerc´ee sur une paroi plane Un récipient contient de l"eau de masse volumiqueρ. On s"intéresse aux efforts exercés par le fluide sur la paroi plane du récipient de surfaceS=hL.

1)Quelle est la poussée exercée par le fluide sur un élément de

paroi horizontal? sur toute la paroi?

2)Montrer que, pour le calcul du moment résultant de ces actions,

tout se passe comme si cette force résultante s"appliquait en un pointCde la paroi, appelé Centre de Poussée, à déterminer.

Rép : 1)

-→F=1

2ρgLh2-→ex;

2)--→MO=13ρgLh3-→ey=--→OC×-→Favec--→OC=23h-→ez.

? ???Ex-T2.18Calcul d"une r´esultante des force de pression - barrage h´emicylindrique

Le barrage hémicylindrique de

rayonRreprésenté sur la figure ci-contre est rempli d"eau sur une hauteurh. →Déterminer la résultante des forces exercées par l"air et par l"eau. →Comparer à la résultante exer- cée sur un barrage plan de hauteur het de largeurL(cf. exercice pré- cédent).

Rép :-→F=ρgRh2-→ex

Solution Ex-T2.10

1)On choisit l"axeOzdescendant (comme dans la question2)). Pour un fluide incompressible,

laRFSFconduit à :P(z) =P0+ρgz. On a donc :

P(H) =P0+ρgH= 980bars.

2.a)Par définition (ÜCf CoursT1), lecoefficient de compressibilité istohermes"écrit :

χ T=-1 V? ∂V∂P? T . Considérons une particule fluide centrée enM, à la profondeurz, de masse constantem(on travaille avec un système fermé) et de volumeV:{M,dm,dV}. En notantdV= δV,χTs"écrit à l"échelle mésoscopique :-1

δV?

∂(δV)∂P? T etdm=ρ.δV?dρρ+d(δV)δV= 0, ce qui conduit à : dρ ρ=-d(δV)δV, soit, en différentiantρ=ρ(P,T)etδV=δV(P,T): qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/9

Exercices de Thermodynamique2008-2009

dρ

ρ=1ρ?

∂ρ∂P? T dP-1ρ? ∂ρ∂T? P dT - d(δV)

δV=-1δV?

∂δV∂P? T ???? χ

TdP-1δV?

∂δV∂T? P dT????????????? dρ

ρ=-d(δV)δV-------→χT=1ρ?

∂ρ∂P? T Comme la températureTest uniforme (et constante), on a χ

T=χT=1

ρ? ∂ρ∂P? T =1ρdρdP=1ρdρdzdzdP=1ρdρdz1dP dzdP dz=+ρz-------→carOzdesc.dρ dz=χTgρ2

2.b)En séparant les variables dans l"équation précédente :dρ

ρ2=χTgdz, puis en intégrant entre

la surface libre (z= 0) etz: ?

ρ(z)

ρ

0dρ?

ρ?2=?

z 0 χ Tgdz?? -1ρ(z)+1ρ0=χTgz?ρ(z) =ρ01-χTρ0gz

LaRFSFdP

dz=ρ(z)gconduit àdP=ρ(z)gdz, soit, par intégration : ? P(z) P

0dP?=?

z 0ρ 0g

1-χTρ0gz?dz??P(z) =P0+1χTln?11-ρ0gzχT?

2.c)On trouveρ(H) = 1,05.103kg.m-3etP(H) = 1005bars. Du fait du caractère compressible

de l"eau, sa densité au fond de la fosse océanique est5%supérieure à celle de la surface : l"eau est

donc peu compressible et la valeur deP(H)est très peu différente de celle calculée à la première

question.

Solution Ex-T2.11

1.a)On travaille dans le référentielRlié au tube, qui est non

galiléen car en rotation dans le référentiel terrestreRT. Les forces qui s"exercent sur une tranche élémentaire d"air de massedm sont : - le poidsd-→P= dm-→g

P(x)P(x+dx)

xx+dxx Mdm dV=SdxS - la force pressante qui s"exercent sur la paroi latérale du cylindreélémentaired-→Fpl - la force pressante qu"exerce le reste de l"air enx:d-→Fp(x) =P(x)S-→ex - la force pressante qu"exerce le reste de l"air enx+ dx:d-→Fp(x+ dx) =-P(x+ dx)S-→ex

- la force d"inertie d"entraînement centrifuge :d-→Fie=-dm-→ae(M) = dmω2--→HM= dmω2x-→ex

Rq :la force deCoriolisest nulle car la vitesse relative de la particule fluide est nulle, l"énoncé

précisant que " l"air est en équilibre »dans le référentielRlié au tube.

1.b)LaRFSFdonne :dm---→aM/R= d-→P+ d-→Fpl+ d-→Fp(x) + d-→Fp(x+ dx) + d-→Fie

Comme le poids est négligeable, cela revient à négligerd-→Fpl(qui le compense, le mouvement,

lorsqu"il a lieu, ne pouvant se faire que selonOx), laRFSFdevient, en projection selonOx, à l"équilibre : P(x)S-P(x+ dx)S+ dmxω2= 0dm=ρ.dV=ρ.Sdx-----------------→

P(x+dx)-P(x)=dP=dP

dxdx-dPdxdx.S+ρ.Sdx.ω2x= 0

D"où :

dP dx=ρω2x

1.c)Après avoir séparé les variables, on intègre l"équation précédente,sachant queP(L) =Pa:

? P(L)

P(x)dP=?

L x

ρω2x.dx?P(L)-P(x) =ρω2?L2

2-x22?

?P(x) =Pa+12ρω2(x2-L2)

2)On peut calculer la pressionP(N)de l"air dans le tube horizontal pourx= 0:P(N) =

P a-1

2ρω2L2. Cette pression est quasiment la pressionP(B)car la pression d"un gaz varie très

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2008-2009Exercices de Thermodynamique

peu avec l"altitude pour de petites dénivellations (ÜCf CoursT2)→P(B) =P(N). LaRFSFdans le liquide conduit à :P(A)+ρegzA=P(B)+ρegzB, avecP(A) =Pa(isobare du liquide sur le plan horizontal passant parA).

On en déduit :

d=zB-zA=12ρegρω2L2

" En 1847, un pas décisif est finalement franchi parJoule: la connexion entre la chimie, la science de la chaleur,

l"électricité, le magnétisme et la biologie est interprétée comme uneconversion. La conversion généralise ce qui se

produit au cours des mouvements mécaniques : à travers tous les phénomènesétudiés en laboratoire on postule que

" quelque chose » se conserve quantitativement et change de forme qualitative. Pour définir les rapports entre ces

formes qualitatives,Jouledéfinit unéquivalentgénéral des transformations physico-chimiques, qui donne le moyen

de mesurer la grandeur qui se conserve et qui sera plus tard identifiée comme " énergie ». Il établit la première

équivalence en mesurant le travail mécanique nécessaire pour élever d"un degré la température d"une quantité d"eau.

La science quantitative des processus physico-chimiques est, dès lors, reconnue dans son unité. La conservation d"une

grandeur physique, l"énergie, à travers les transformations que peuvent subir les systèmes physiques, chimiques,

biologiques va dès lors être mise à la base de ce que nous pouvons appeler la science du complexe. Elle va en

constituer le fil conducteur, qui permettra d"explorer de manière cohérente la multiplicité des processus naturels."

IlyaPrigogine& IsabelleStengers-La Nouvelle Alliance (1979) ?Bilans ´energ´etiques et transformations thermodynamiques T3? ???Ex-T3.1Vitesse des" baffes » d"Obélix Imaginez qu"Obélix vous gifle! Vous ressentez une rougeur à la joue. La température de la région touchée a varié de1,8◦C. En supposant que la masse de la main qui vous atteint est de

1,2kget que la masse de la peau rougie est de150g, estimez

la vitesse de la main juste avant l"impact, en prenant comme valeur de la capacité thermique massique de la peau de la joue : c joue= 3,8kJ.K-1.kg-1.

Rép :

v=?2mjouecΔT mmain= 41,4m.s-1= 149km.h-1 ? ???Ex-T3.2Chauffage d"un gaz `a l"aide d"un ´el´ement ´electrique Soit un système piston-cylindre contenantV1= 0,5m3d"azote

àP1= 400kPaet àθ1= 27◦C.

L"élément chauffant électrique est allumé, et un courantI= 2A y circule pendantτ= 5minsous la tensionE= 120V. L"azote se détend de manière isobare. Au cours de cette trans- formation, l"ensemble {gaz, cylindre, élément chauffant} cède à l"extérieur un transfert thermiqueQext= 2800J. Déterminer la température finaleT2de l"azote. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx I EV 1 T 1P 1{N2}

2 800 J

Données :M(N2)est supposée connue; capacité thermique massique à pression constante du diazote :cP= 1,039kJ.K-1.kg-1.

Rép :

T2= 329,7K

? ???Ex-T3.3Transformation adiabatique Un Gaz Parfait monoatomique est enfermé dans un cylindre fermé par un piston dans les conditions{P1,T1,V1}. L"ensemble est adiabatique. La pression atmosphérique, notéeP0, est telle queP0> P1. On libère brusquement le piston.

1)La transformation est-elle seulement adiabatique? Exprimer

le travail des forces pressantes qu"il reçoit en fonction deP0,V1 etVF, volume final qu"il occupe. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {P ,T ,V }111

2)Donne l"expression qui relie les variations d"énergie interneΔUet d"enthalphieΔHau

coefficientγ. Quelle est la valeur deγpour le gaz parfait considéré? En déduireΔUetΔHen

fonction des seules donnéesP1,V1,T1etTF, température finale du gaz parfait. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/11

Exercices de Thermodynamique2008-2009

3)ExprimerVFetTFà l"équilibre final en fonction des seules donnéesP1,V1,T1etP0.

Rép :

1)W=-P0(VF-V1);2)ΔU= ΔUGPM=32P

1V1T1(TF-T1)etΔH=γΔU;3)

V

F=2P0+3P1

5P0V1etTF=2P0+3P12P1T1

? ???Ex-T3.4Utilisation d"un agitateur Un réservoir rigide et adiabatique (calorifugé) contientm= 1kg d"hélium à la températureT1= 300Ket à la pressionP1=

300kPa.

L"hélium est brassé à l"aide d"un agitateur de puissance utile

15W. On le fait fonctionner pendantτ= 30min. Déterminer

la température finaleT2et la pression finaleP2de l"hélium. Donnée :capacité thermique (moy.) à volume constant de l"hé- lium :cV= 3,1156kJ.K-1.kg-1.

Rép :T2= 308,7K;P2= 308,7kPa

? ???Ex-T3.5transformation cyclique Une mole deGPMcontenue dans un cylindre décrit de manière quasi- statique et mécaniquement réversible le cycle ABCA décrit ci-contre. L"évolution AB est isotherme à la températureTA= 301K. En A, P A= 1,0bar. L"évolution BC est isobare à la pressionPB= 5,0bars.

L"évolution CA est isochore.

1)Calculer les volumesVA,VBetVCet la températureTC.P

AB C V T A

2)Calculer le travail et le transfert thermique reçus par le gaz au cours de chacune des évolutions

AB,BCetCA. Calculer leur somme et commenter.

Rép :

1)VA=VC= 25L;VB= 5L;TC?1500K;2)WAB=-RTAlnVBVA= 4,03kJ;

Q AB=-WAB;WBC=PB(VA-VC) =-10kJ;QBC= ΔUBC-WBC= 25kJ;WCA= 0J; Q CA= ΔUCA=CV m(TA-TC) =-15kJ- on vérifie queΔUcycle=UA-UA= 0car ΔUcycle=Wcycle+Qcycle=WAB+WBC+WCA+QAB+QBC+QCA= 0. ? ???Ex-T3.6 Une mole de gaz réel monoatomique d"équation d"état? P+a V2?

V=RTet d"énergie interne

U=3RT

2-aVdécrit le même cycle que dans l"Ex-T3.5.

On donneTA= 301K;VA= 5,0L;VB= 0,50Leta= 0,135m6.Pa.mol-2.

1)CalculerPA,PB,PCetTC.

2)Calculer le travail et le transfert thermique reçus par le gaz au cours de chacune des évolutions

AB,BCetCA. Calculer leur somme et commenter.

Rép :

1)PA= 4,95bars,PB=PC= 44,6barsetTC= 2688K;2)WAB=RTAlnVAVB+

a(1 VA-1VB) = 5,52kJ;QAB=RTAlnVBVA=-5,76kJ;WBC=PB(VB-VC) =-20,1kJ; Q

BC= 50,1kJ;WCA= 0kJ;QCA= ΔUCA=3

2R(TA-TC) =-29,8kJ

? ???Ex-T3.7Comparaison de deux ´evolutions possibles entre deux ´etats Un récipient de volumeVA= 5Lfermé par un piston contientn= 0,5molde gaz parfait,

initialement à la températureTA= 287K. On porte de façon quasi statique le volume du gaz à

une valeurVB= 20L, à la températureTB= 350K. On donne pour ce gaz le coefficientγ= 1,4. Le passage deAàBs"effectue de deux manières différentes : - évolution (a) (A→C→B) : chauffage isochore de287Kà350K(transformationA→C) puis détente isotherme deVAàVBà la températureT1= 350K(transformationC→B); - évolution (b) (A→D→B) : détente isotherme deVAàVBà la températureT2= 287K (transformationA→D) puis chauffage isochore de287Kà350K(transformationD→B).

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2008-2009Exercices de Thermodynamique

1)Représenter les deux évolutions précédentes en coordonnées deClapeyron(= dans le dia-

gramme(P, V)).

2)Exprimer puis calculer le travailW(a)et le transfert thermiqueQ(b)reçus par le gaz ainsi que

la variation d"énergie interneΔU(a)du gaz lors de la première série de transformations.

3)Exprimer puis calculer le travailW(b)et le transfert thermiqueQ(b)reçus par le gaz ainsi que

la variation d"énergie interneΔU(b)du gaz lors de la seconde série de transformations.

4)Comparer les deux possibilités d"évolution deAàB. Conclusion?

Rép :

2)W(a)=nRT1lnVAVB=-2017J;ΔU(a)=nRγ-1(T1-T2) = 655J;Q(a)= ΔU(a)-

W (a)=nR(T1-T2 γ-1-T1lnVAVB) = 2672J;3)W(b)=-1654J;ΔU(b)= ΔU(a);Q(b)= ΔU(b)- W (b)= 2309J;4)ΔU(b)= ΔU(a)puisque la variation d"une fonction d"état entre deux états

thermodynamiques données ne dépend pas du " chemin » suivi pour aller de l"état initial à l"état

final. Par contre, le travail et le transfert thermiques, qui ne sontpas des fonctions d"états, caractérisent les transformations entreAetB:W(a)?=W(b)etQ(a)?=Q(b). ? ???Ex-T3.8Gaz de Joule et D´etente de Joule-Gay LussacSoit une massemd"un gaz réel satisfaisant à l"équation d"état :P(V-b) =nRTavecb= 5.10-6m3. On donne deux états de cette masse :{P2= 50bars, V2= 4,57.104m3}et{P1= 500bars, V1}.

1)Exprimer les coefficients thermoélastiquesαetχT(ÜCf CoursT1). Comparer avec les

expressions obtenues pour le gaz parfait.

2)Un tel gaz est appelé gaz deJoulecar il vérifie la première loi deJoule. La rappeler.

3)Ce gaz est situé dans un cylindre rigide adiabatique à deux compartiments inégaux, dont il

occupe le compartiment(1), le vide régnant dans le compartiment(2). On perce un trou entre les deux compartiments. Le gaz passe des conditions initiales{P1, V1, T1}aux conditions finales {P2, V2, T2}(avecV2le volume total(1)+(2)).→q(a)Calculer la variation d"énergie interne; (b)en déduireT2littéralement puisV1numériquement.

Rép :

1)α=1TetχT=1VV-bP;3)V1= 4,52.10-5m3.

? ???Ex-T3.9Transformations adiabatiques Une mole de GP de capacité thermique molaire à volume constantCm=5

2Rest enfermé dans

un cylindre vertical calorifugé fermé par un piston mobile calorifugé de sectionS= 0,01m2en contact avec une atmosphère extérieure à la pression constanteP0= 1bar.

1)On pose sur le piston une masseM= 102kget on laisse le système évoluer. Déterminer la

pressionP1et la températureT1lorsqu"on a atteint le nouvel équilibre (état 1).

2)À partir de l"état 1, on enlève la masseMet on laisse le système évoluer. Déterminer la

pressionP2et la températureT2lorsqu"on a atteint le nouvel état d"équilibre (état 2).

Rép :

1)P1=P0+MgS;T1=97T0;2)P2=P0etT2=5449T0

?Calorim´etrieT3? ???Ex-T3.10Calorim´etrie pratique

On veut remplir une baignoire de 100 litres d"eau à32◦C. On dispose pour cela de deux sources,

l"une d"eau froide à18◦C, l"autre d"eau chaude à60◦C.

Si on néglige la capacité thermique de la baignoire et les diverses pertes thermiques, quel volume

doit-on prélever à chacune des deux sources? Donnée :la masse volumique de l"eau est censée être connue...?

Rép :

Veau chaude= 33,3L

? ???Ex-T3.11´Echanges thermiques dans un calorim`etre Un calorimètre de capacité calorifiqueCcal= 209J.K-1contient une masse d"eaum= 300gà la

temératureθ= 18◦Cen équilibre thermique avec le vase intérieur. On introduit alors les masses :

(1)m1= 50gde cuivre àθ1= 30◦C,(2)m2= 30gde plomb àθ1= 80◦Cet(3)m3= 80gde fer àθ1= 50◦C. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/13

Exercices de Thermodynamique2008-2009

→Quelle est la température finaleθfd"équilibre (la donner en degrésCelsiuset en degréKelvin)?

Données :les capacités thermiques massiques sont :cPb= 129,5J.K-1.kg-1;cFe= 452J.K-1.kg-1; c

Cu= 385J.K-1.kg-1;ceau= 4185J.K-1.kg-1.

Rép :

θf= 19◦C,TF= 292K

?M´ecanique et thermodynamiqueT3? ???Ex-T3.12Exp´erience de Cl´ement-Desormes : d´etermination exp´erimentale deγ(*) On considère un ballon rempli d"un gaz parfait à un pres- sion légèrement supérieure à la pression atmosphèriqueP0: le liquide manométrique dans le tube en U présente une dé- nivellationh1. On ouvre le robinet pendant une durée brève, la dénivella- tion du liquide devenant nulle. Le robinet fermé, on attend que s"établisse l"équilibre ther- mique : celui-ci correspond à une dénivellationh2du li- quide. →Montrer que :γ=h1 h1-h2 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

000TTPh

(R)1PGaz 1 .Conseil :raisonner sur lesnmoles restant dans le ballon après la fuite. Lors de la fuite, cesn

moles subissent une détente rapide qui pourra être considérée comme adiabatique. De plus comme

P

1≂=P0, on pourra la considérer pratiquement quasi-statique et mécaniquement réversible.

? ???Ex-T3.13M´ethode de R¨uckhardt Soit un gaz parfait occupant un volumeV0(de l"ordre de10L) d"un ré- cipient surmonté d"un tube de verre (d"une longueur de50cmenviron) et de sectionfaibleS. Considérons une bille d"acier, de massem, susceptible de glisser le long du tube de verre. Cette bille se trouve en équilibre mécanique en un pointO.

1)Quelle est la pressionP?0du gaz à l"intérieur du récipient (en notant

P

0la pression atmosphérique etgl"intensité du champ de pesanteur)?

2)On écarte la bille dex0, à partir deO, à l"instantt= 0, et on

la lache sans lui communiquer de vitesse initiale.x0est suffisamment faible pour avoirx0S?V0. P xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxx(t)x O S V M 0 0 xx (m)

→En négligeant les frottements ('fluides" comme 'solide"), établir l"équation du mouvement

vérifiée parx(t). On supposera que la transformation du gaz est adiabatique quasi-statique.

→Indiquer la périodeTdes oscillations et en déduire l"expression deγen fonction des paramètres

expérimentaux. →Exprimerxen fonction det.

Rép :

1)P?0=P0+mgS;2)Justifier quePVγ=Cte, effectuer la différentielle logarithmique de

cette relation et en déduire quedP? -γP?0S V0x(t). L"application duPDFà la bille, après y avoir fait apparaîtredP, conduit à¨x+ω20x= 0avecT=2π

ω0= 2π?

mV0

γP?0S2

? ???Ex-T3.14Piston en rotation autour d"un axe Un cylindre calorifugé est mis en rotation de manière pro- gressive à partir de la vitesse nulle jusqu"à la vitesse angu- laireω(qui restera constante) autour d"un axe vertical. Un piston mobile de massemet de sectionSglisse sans frottement à l"intérieur du cylindre; il emprisonne une quantité d"air initialement caractérisée par les conditions {P0,T0,V0}. L"air sera considéré comme un gaz parfait.

P , T

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx P, T atmosphère r0 0w z

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2008-2009Exercices de Thermodynamique

1)Déterminer la pression finalePfdu gaz si l"on admet qu"il a subi une transformation quasi-

statique réversible lorsque le piston s"est déplacé de sa position initialecaractérisée parr0jusqu"à

sa position d"équilibre caractérisée parrf.

2)En déduire la vitesse angulaireωet la température finaleTfdu gaz.

3) Données :P0= 1013hPa;S= 10cm2;r0= 10cm;rf= 12cm;m= 1kg;T0= 293K

etγ= 1,4.→Calculer numériquementPf,Tfetω.

Rép :

1)Pf=P0(r0rf)γ;2)Tf=T0(r0rf)γ-1;3)Pf= 0,785bar;Tf= 272Ketω= 13,8rad.s-1.

? ???Ex-T3.15cas d"une Force ext´erieure conservative (*) On considère un piston calorifugé mobile dans un cylindre calo- rifugé horizontal de section constanteS= 500cm2. Le compartiment de gauche contientn= 0,01moled"unGPde coefficientγ= 1,40 =7

5et le compartiment de droite est soumis

à un vide poussé. Le piston est relié par un ressort de raideur k= 1044N.m-1.

VideGaz

B xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

1)Initialement, le piston est coincé par une butéeB, le ressort n"est pas tendu, la pression du gaz

vautP0= 0,241baret sa températureT0= 290K. Calculer le volumeV0occupé initialement par le gaz.

2)On supprime la butéeB. Le système évolue vers un nouvel état d"équilibre. On cherche à

déterminer l"allongement final du ressort,xF, le volume final du gaz,VF, sa pression finale,PF, sa température finale,TF, et le travailWqu"il a reçu.

2.a)En appliquant lePFDau piston au repos dans l"état final, donner le relation entrePF,S,

ketxF.

2.b)Quelle est l"expression de l"équation d"état duGPdans l"état final?

2.c)Appliquer lePremier PrincipeauGP(en fait {GP+piston}) et en déduire une relation entre

T

F,T0,n,γ,ketxF.

2.d)Quelle est la relation liant le volume finalVFavecV0,xFetS?

2.e)Déduire des quatre équations précédentes que la pressionPFest solution de l"équation :

P 2F+5 6kV

0S2PF-56nRT0kS2= 0

2.f)En déduire les valeurs des grandeurs recherchées.

Rép :

1)V0= 1L;2)PF?7450pa;VF= 2,86L;TF= 256K;xF= 3,72cm;

W forces pressantes= 0J;Wressort=-ΔEp,él? -7J ?Syst`emes ouvertsT3? ???Ex-T3.16Turbor´eacteur (**) Un turboréacteur destiné à la propulsion d"avions est schématisé ci-contre : - l"air est comprimé dans le compresseur(Cp)calo- rifugé où il évolue de l"étatE1à l"étatE2;

E1E2E3E4E5TyTbCbCp

- puis l"air traverse une chambre de combustion(Cb)où il subit un réchauffement isobare de l"étatE2à l"étatE3;

- l"air se détend ensuite dans une turbine(Tb)calorifugée où il évolue de l"étatE3à l"étatE4;

- enfin l"air traverse une tuyère(Ty), conduite de section variable où il acquiert une vitesse importantec5et évolue de l"état E

4à l"étatE5.

Les données concernant les différents états sont résumés dans le tableau ci-contre.

ÉtatE1E2E3E4E5

Penbars1,05,05,02,51,0

TenK288T2=?1 123955735

L"installation fonctionne en régime stationnaire. On néglige les variations d"énergie potentielle

de pesanteur dans toute l"installation. On néglige l"énergie cinétique del"air partout sauf dans

l"étatE5à la sortie de la tuyère, où la vitesse de l"air vautc5. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/15

Exercices de Thermodynamique2008-2009

L"air est assimilé à un gaz parfait de capacité thermique massique à pression constantecP=

1,0kJ.kg-1.K-1et de masse molaireM= 29g.mol-1. On rappelle queR= 8,314J.K-1.mol-1.

1)Soit(Σ)le système ouvert constitué par le gaz contenu dans la tuyère(Ty)et(Σ?)le système

fermé associé constitué à l"instanttpar(Σ)et par la massedmd"air qui va entrer dans la tuyère

entre les instantstett+dt, et constitué à l"instantt+dtpar(Σ)et par la massedmd"air qui est sortie de la tuyère entre les instantstett+dt.

En appliquant le premier principe à(Σ?), calculer la vitessec5de l"air à la sortie de la tuyère.

2)En raisonnant de manière analogue, exprimer les travauxwCpetwTucorrespondant au

transfert d"un kilogramme d"air respectivement dans le compresseur et dans la turbine en fonction

des températuresT1,T2,T3etT4. Sachant que le travail récupéré dans la turbine sert exactement

à entraîner le compresseur, calculerT2.

3)En raisonnant comme à la question 1), calculer le transfert thermiqueqcorrespondant au

transit d"un kilogramme d"air dans la chambre de combustion. En déduire le rendement thermo- dynamique du turboréacteur défini par :r=1 2c 2 5q

Rép :

1)c5=?2cP(T4-T5) = 6,6.102m.s-1;2)wCp=cP(T2-T1);wTu=cP(T4-T3);

T

2= 456K;3)q=cP(T3-T2) = 667kJ.kg-1;r= 33%.

? ???Ex-T3.17G´eom´etrie d"une Tuy`ere (**) Soit une tuyère avec un écoulement permanent adiabatique d"un gazparfait :

1)Montrer que :v2(x)-v20=2γ

γ-1RM(T0-T(x))1?

2)Montrer que :dT

dx=-(γ-1)TSvd(Sv)dx2?

3)Déduire des questions précédentes que :

?v2 c2-1?1vdvdx=1SdSdxavecc=?

γRT

M(vitesse du son).

S xS(x) v(x) v 0 0 O x

Rq :pour un écoulement subsonique (v < c), il faut que la tuyère soit convergente si on veut que la

vitesse augmente avecx.

Indications :

1)Se ramener à un système fermé pour établir le1P Industriel(ÜCfEx-T3.XX);

2)Bien que la vitesse d"écoulement soit élevée en sortie (c"est le rôle d"unetuyère), on peut faire

l"hypothèse que l"écoulement adiabatique se ramène à la transformation adiabatiqueQS*d"une

massedmentre l"état{V0,T0}et l"état{V(x),T(x)}. Le gaz étant supposé parfait, on peut alors

appliquer la loi de LaplaceTVγ-1=Cte, avecV(x) =Sv(x)dtpour la massedmde gaz sortant de la tuyère entretett+ dt;3)Dériver1?par rapport àxet y " injecter »2?.

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2008-2009Exercices de Thermodynamique

" Après chaque cycle, qu"il soit ou non idéal, l"entropie, fonction d"état du système, reprend sa valeur initiale. Mais

c"est seulement dans le cas d"un cycle idéal que la variation d"entropiedS, pendant un temps très courtdt, peut être

définie par une relation d"équivalence entre cette variation et les échanges avec le milieu qui, pendant le tempsdt, la

provoquent. Et c"est dans ce cas seulement qu"une inversion du sens des échanges entre système et milieu se traduit

par une inversion du signe de la variation de l"entropie. Dans lecas de cycle non idéaux, seule une partie dedS, que

nous appelleronsdeS, possède ces propriétés;deSdécrit le "flux" d"entropie entre milieu et système, l"ensemble des

transformations du système déterminées par les flux d"échange avec le milieu, et qui peuvent être annulés par une

inversion de ces flux . Mais les échanges avec le milieu provoquent d"autres transformations à l"intérieur du système,

qui, elles, sontirréversibles: ce sont celles qui entraînent une diminution de rendement dans le cycle deCarnot,

c"est-à-dire des flux qu"une inversion de sens de fonctionnement du cycle ne peut ramener à la source chaude. Le

termediS, qui décrit ces transformations, est toujours positif ou nul; uneinversion des échanges avec le milieu ne

change pas son signe. La variation d"entropiedSest donc la somme des deux termes,deSetdiS, aux propriétés

différentes; le premier est indépendant de la direction du temps puisque son signe dépend seulement du sens des

échanges avec le milieu; le second ne peut que faire croître l"entropie au cours du temps, ou la laisser constante. (...)

Dans un système isolé, le flux d"entropie est, par définition, nul. Seul subsiste le terme de production, et l"entropie du

système ne peut dès lors qu"augmenter ou rester constante.

(...) Le caractère unique de l"énoncé du second principe tient à ce que le terme de production esttoujours positif. La

production d"entropie traduit une évolution irréversible du système.

(...) la croissance de l"entropie traduit uneévolution spontanéedu système. L"entropie devient un "indicateur

d"évolution", et traduit l"existence en physique d"une "flèche du temps" : pour tout système isolé, le futur est la

direction dans laquelle l"entropie augmente." IlyaPrigogine& IsabelleStengers-La Nouvelle Alliance (1979) ?D´etentes T4? ???Ex-T4.1Les deux réservoirs ont le même volumeV0 et l"ensemble est adiabatique. On entrouvre le robinet : le gaz parfait restant dans le compartiment (1) a subit une détente quasi-statique. Déterminer l"état final et décrire le chemin suivi pendant la transformation, dans les deux cas suivants : P T V(1) (2)Vide0 0 0

(a)les deux réservoirs sont thermiquement isolés l"un de l"autre (ce qui revient à négliger le

transfert thermique entre les gaz se trouvant dans (1) et (2) à l"état final); (b)Les deux réservoirs sont en contact thermique.

Rép :

(a)n1=n2-1γ;T2=T0

2(1-2-1γ)

? ???Ex-T4.2D´etente d"un gaz r´eel donn´e parS(U,V) Dans le domaine de températures et de pressions considéré, une mole de gaz monoatomique de sphères dures est décrit par la fonction caractéristique : S m(Um,Vm) =S n=Sm0+32Rln?UmUm0? +Rln?Vm-bVm0-b? oùSm0,Um0etVm0désignent respectivement l"entropie, l"énergie interne et le volume molaires dans un état de référence, et oùb= 2.10-5m3.mol-1etR= 8,314J.K-1.mol-1.

1)Une mole de ce gaz est initialement en équilibre dans un cylindre parfaitement calorifugé de

volumeVIm, à la températureTI= 300K. On réalise une détente réversible faisant passer le

volume du cylindre deVIm= 10bàVFm= 20b.

→Déterminer la pression initiale, la température finale et le travailWmreçu par le gaz.

2)On réalise une détente deJoule-Gay Lussacd"une mole de ce gaz : initialement le gaz occupe

un volumeVIm= 10bet sa température vautTI= 300K. Dans l"état d"équilibre final, le gaz occupe un volumeVFm= 20b.

→Déterminer la température finale, la pression finale et l"entropie molaire créée. Commenter.

Rép :

1)PI= 138,6bars;TF=TI?VmF-bVmI-b?

3

2= 182K;Wm=-1,47kJ.mol-1;

2) cSm=RlnVmF-b

VmI-b= 6,21J.K-1.mol-1.

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Exercices de Thermodynamique2008-2009

? ???Ex-T4.3D´etente de Joule-Gay Lussac de la vapeur d"eau

On réalise une détente deJoule-Gay Lussacdans un récipient calorifugé constitué de deux com-

partiments de volumess respectifsV1etV2-V1reliés par un robinet(R). Initialement, une mole de vapeur d"eau est contenue dans le récipient de gauche dans l"état E

1{P1= 100bars, T1= 773K, V1= 5,90.10-4m3, U1= 54,78kJ, S1= 6,594kJ.K-1}et le

compartiment de droite est vide. On ouvre le robinet(R), la vapeur d"eau occupe le volume totalV2; on mesure alorsT2= 753K.

1)La vapeur d"eau est-elle assimilable à un GP au cours de la détente?

Déterminer les caractéristiques{P2, T2, V2, U2, S2}de l"état final en utilisant l"extrait des tables

de la vapeur d"eau (grandeurs molaires) à la températureT2= 753K:

Penbars404652586470

Vmenm3.mol-11,51.10-31,31.10-31,15.10-31,02.10-39,23.10-48,39.10-4

UmenkJ.mol-155,1455,0454,9654,8054,7054,59

SmenkJ.K-1.mol-16,9636,8906,8256,7666,7126,662

2)Calculer l"entropie créée au cours de l"évolution et commenter.

Rép :

1)P2?59,2bars;V2?1,001.10-3m3;S2?6,755kJ.K-1.mol-1;

2)ΔS=cS?161J.K-1.mol-1.

?Bilans entropiquesT4? ???Ex-T4.4 Les deux compartiments contiennent le même gaz parfait initialement dans le même état{P0,T0,V0}. Les parois sont calorifugées ainsi que le piston. Ce dernier se déplace sans frottement dans le cylindre. On fait passer un courantIdans la résistanceRde telle sorte que la transformation du gaz puisse être considérée comme quasi-statique, et jusqu"à ce que la pression de- viennePf.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

(1)(2) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR E 0

1)Déterminer l"état thermodynamique du gaz dans chaque compartiment.

2)Donner l"expression de l"énergie fournie par le générateur qui alimente la résistance.

3)Calculer la variation d"entropie du système complet (résistance incluse).

Rép :

1)V2=V0?P0Pf?

1

γ;T2=T0?Pf

P0? 1-1

γ;T1=T0?

2 Pf

P0-?PfP0?

1-1 γ? ;

2)Wélec=nCV m(T1+T2-2T0);3)ΔS=nCV mlnT1

T0+nRlnV1V0.

? ???Ex-T4.5Entropie de m´elange

Considérons un cylindre parfaitement isolé, séparé en deux compartiments de volumeV0, par une

paroi escamotable. Initialement, chaque compartiment contient un GP à la même températureT0. Supposons que l"un renferme de l"hélium (n1moles,CV m1=3

2R) et l"autre du dihydrogène (n2moles,CV m2=

5 2R).

Supprimons la paroi escamotable; on atteint un nouvel état d"équilibre caractérisé par :VF=

2V0,PFetTF, les deux gaz, par diffusion, constituant un GP unique.

1)CalculerPFetTF.

2)Effectuer un bilan entropique pour cette transformation.

Rép :

1)TF=T0;PF=12(P1+P2);2)ΔS= (n1+n2)Rln2.?

???Ex-T4.6Syst`eme Glace/Eau liquide dans un calorim`etre Dans un vase parfaitement calorifugé de capacité thermiqueC= 120J.K-1, on versem1= 200g

d"eau de capacité thermique massiquece= 4185J.K-1.kg-1. la température d"équilibre s"établit

àt1= 18◦C.

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2008-2009Exercices de Thermodynamique

On y introduit alors un cube de glace de massem2= 72gpris initialement à la température t

2=-10◦Cet on agite jusqu"à obtention d"un nouvel équilibre thermique.

La capacité thermique massique de la glace estcg= 2090J.K-1.kg-1; et la chaleur latente de fusion est , à0◦Cet sous la pression atmosphérique normale :Lf= 333kJ.kg-1.

1)Déterminer, lorsque l"équilibre est atteint, la température finaleT0et faire un bilanglace/eau.

2)Calculer (littéralement et numériquement) la variation d"entropie, pour le système { eau

liquide + glace + calorimètre }, consécutive à l"introduction de la glace.

Rép :

2)ΔS= (C+m1ce)lnT0T1+m2cglnT0T2+xLfT0.

? ???Ex-T4.7Deux transformations monothermes Un gaz parfait se trouve dans un cylindre à l"intérieur duquel peut coulisser (sans frottement) un piston de masse négligeable. On noteP0etT0la pression et la température de l"atmosphère extérieure. Initialement, le gaz, à la températureT1=T0, occupe un volumeV1. Données :P0= 1bar;V1= 5.10-3m3;R= 8,32J.K-1.mol-1;T0=

293Ketγ=CP

CV= 1,4(supposé indépendant de la température,CPetCV étant les capacités thermiques isobare et isochore). P0 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx T0Gaz

1)La paroi du cylindre est conductrice de la chaleur (paroidiathermane).

En appuyant sur le piston, un opérateur augmente très lentementla pression jusqu"àP2= 10bars.

Dans l"état d"équilibre final, le gaz occupe un volumeV2à la températureT2.

1.a)CalculerV2etT2.

1.b)Exprimer littéralement puis calculer numériquement : la variation d"énergie interneΔU,

la variation d"enthalpieΔH, le transfert thermique chaleurQet le travailWéchangés par le système gazeux avec le milieu extérieur.

1.c)Quelle est la variation d"entropieΔSgdu gaz au cours de l"opération?

1.d)On poseF≡U-TSetG≡H-TS.

Donner la relation entre la variation d"enthalpie libreΔGet la variation d"énergie libreΔFdu

gaz parfait.

2)La paroi du cylindre est toujours diathermane, mais l"opérateur, à l"équilibre initial (P1,V1,

T

1), place sur le piston (de sections) une masseM=(P2-P1)s

g(oùgest l"intensité du champ de pesanteur).

2.a)Reprendre les calculs de la question 1.a), sachant queP2= 10bars.

2.b)On noteΔSala variation d"entropie de l"atmosphère extérieure au cours de l"opération.

→CalculerΔSa. Que représenteΔSg+ ΔSa? Commenter le signe de cette expression.

Rép :

1.a)V2= 5.10-4m3;1.b)Q=-1151J;1.c)ΔS=-3,93J.K-1;2.b)ΔSa=

15,36J.K-1.

? ???Ex-T4.8Compression irr´eversible monotherme Un cylindre vertical de sectionSest fermé par un piston horizontal de masse négligeable, mobile sans frottement. Une massemd"air (considéré comme un gaz parfait de masse molaireM) est enfermée dans le cylindre, à la température initialeT1et la pres- sion initialeP1=Pa(Panote la pression ambiante supposée constante). Rest la constante des gaz parfaits etγnote le rap- port des capacités thermiques à pression et à volume constant. Pa xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx h1P a xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxT2h2V2P2F T 1V1P1 E.I. E.F. Données :S= 100cm2;m= 7,25g;M= 29g.mol-1;R= 8,314J.K-1.mol-1;T1= 300K; P a= 1bar;γ= 1,4. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/19

Exercices de Thermodynamique2008-2009

1)CalculerV1, le volume initial de l"air, et la hauteurh1(distance entre le piston et le fond du

cylindre).

2)Exprimer la variation élémentaire d"entropie d"une massemde gaz parfait, au cours d"une

transormation quasi-satique, en fonction dem,R,M,γ,dT

TetdVV.

3)Les parois du cylindre ainsi que le piston sontdiathermanes, ce qui signifie qu"ils autorisent

les transferts thermiques (ont dit aussi qu"il sont " perméables à lachaleur »). L"ensemble du dispositif se trouve dans une atmosphère maintenue à latempératureTa=T1= 300K.
On appliquebrutalementla forceF= 1000Nsur le piston. On appelleP2etV2la pression et le volume de l"air lorsque celui-ci atteint l"équilibre thermique avec le milieu extérieur.

3.a)Calculer le taux de compressionτ=P2

P1et la hauteurh2finale.

3.b)Calculer le travailWreçu par l"air au cours de l"évolution 1→2.

3.c)Calculer la variation d"entropieΔSairde l"air pour cette évolution. Le signe de cette variation

est-il 'choquant"?

3.d)Calculer, pour cette même évolution, la variation d"entropieΔSextdu milieu extérieur.

En déduire la variation d"entropie de l"'univers" ({air+extérieur}) :ΔS∞= ΔSair+ΔSext. Justifier

son signe.

Rép :

1)h1= 62,4cm;2)dS=mRM?

1γ-1dTT+dVV?

;3.a)h2= 31,2cm;3.b)W12=

624J;3.c)ΔSair=-1,44J.K-1;3.d)ΔS∞=pS∞= 0,64J.K-1.

? ???Ex-T4.9´Evolution adiabatique irr´eversible de vapeur d"eau (*) Dans une machine à vapeur, au cours de la phase motrice, une mole devapeur d"eau se détend dans un cylindre calorifugé et fermé de l"étatA{PA= 40bars, TA= 773K}jusqu"à l"étatB {PB= 1bar, TB= 373K}. On extrait des tables thermodynamiques les valeurs suivantes pourle volume molaireVm, l"énergie interne molaireUmet l"entropie molaire Sm:

Vmenm3.mol-1UmenkJ.mol-1SmenkJ.K-1.mol-1

A1,556.10-355,770,1275

B3,060.10-245,080,1325

1)Calculer le travailWreçu par la vapeur d"eau au cours de l"évolutionA→B. L"évolution

est-elle réversible? On modélise l"évolutionA→B(supposéeQS*) par une évolution polytropique d"indicek (PVk=cste). →Déterminerket en déduire une estimationW?du travailW. Commenter.

2)On réalise une détente réversible entre les mêmes étatsAetB, représentés par une évolution

rectiligne dans le diagramme entropique(T,S). Déterminer le transfert thermiqueQ?et le travailW?au cours de cette détente. ComparerW? et l"estimation polytropiqueW?obtenue en1). Commenter.

Rép :

1)Wm=-10,69jK.mol-1;k= 1,24;W?m=-13,27kJ.mol-1;2)Q?m= 2,87kJ.mol-1;

W ?m=-13,56kJ.mol-1. ? ???Ex-T4.10´Echangeur thermique Dans cet exercice, on utilisera les grandeurs massiques :v,h,w,q, etc...

On considère l"échangeur thermique(ETh)représenté ci-contre. Il est constitué de deux circula-

tions parallèles d"air : dans l"une l"air évolue de l"étatE1à l"étatE2et dans l"autre l"air évolue

de l"étatE3à l"étatE4.

Ces états sont caractérisés par la même pressionP= 1baret des températures respectivesT1,

T

2,T3etT4avecT3?=T1.

L"air est assimilé à un GP de coefficientγ= 1,40.

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2008-2009Exercices de Thermodynamique

On donne :r≡RM= 287J.K-1.kg-1.

Alors l"équation d"état s"écrit :P v=rT.

L"échangeur thermique constitue un système ouvert(Σ)à deux entrées et sorties; l"installation fonctionne en régime stationnaire avec un débit massique identique dans les deux circulations. On néglige les variations d"énergie mécanique. On suppose que l"échangeur thermique est parfaitement calori- fugé et que son fonctionnement est réversible. 12 34
On associe au système ouvert(Σ)le système fermé(Σ?)tel que : - à l"instantt,(Σ?)est constitué de(Σ)et des massesdm1etdm3qui vont entrer dans(Σ)par chacune des entrées pendant la duréedt; -à l"instantt+dt,(Σ?)est constitué de(Σ)et des massesdm2etdm4qui sont sorties de(Σ) pendant la duréedt.

1)En appliquant le premier et le deuxième principe de la thermodynamique au système(Σ?),

établir deux relations entre les températuresT1,T2,T3etT4.

2)En supposant les températuresT1etT3connues, déterminer les températuresT2etT4.

Commenter.

3)Dans un échangeur thermique réel, on aT1= 350K,T2= 290K,T3= 280KetT4= 340K.

Calculer l"entropie massique créée lors du transfert dans chacune des circulations et commenter.

4)En réalité l"échangeur thermique n"est pas parfaitement calorifugé,de telle sorte qu"il cède de

la chaleur à l"atmosphère, considérée comme un thermostat dont la température estT0= 293K.

On a alorsT1= 350K,T2= 290K,T3= 280KetT4= 330K.

En appliquant le premier principe de la thermodynamique au système(Σ?), calculer le transfert thermique massique dans chacune des circulations et commenter. Calculer l"entropie massique créée correspondante et commenter.

Rép :

1)T2-T1=T3-T4etT1T3=T2T4;2)T3=T2etT4=T1;3)Δs=cs=γrγ-1lnT2T4T1T3=

6,13J.K-1.kg-1;4)q=γr

γ-1(T2+T4-T1-T3) =-10,0kJ.kg-1.

" Lathermodynamique, dont le nom associe les deux mots grecsthermonetdynamis(chaleur et puissance), est alors

née du désir - et de la nécessité technique - d"analyser ce que SadiCarnotappela, en 1824, la "puissance motrice

du feu" : il s"agissait de rechercher les conditions optimales dans lesquelles la chaleur fournie par une chaudière peut

être transformée en travail mécanique par une machine thermique. Il est assez remarquable du point de vue

épistémologique, que ces préoccupations essentiellement techniques, voireutilitaires, aient donné naissance à une

théorie physique subtile, extrêmement élaborée, fondée sur des concepts particulièrement abstraits (restés longtemps

mystérieux) tels que l"énergie et l"entropie." BernardDiu-Les Atomes Existent-ils Vraiment? - Odile Jacob (1997) ?Machines thermiques T5? ???Ex-

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