Méthodes numériques - Introduction à lanalyse numérique et au

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Méthodes numériques

Introduction à l"analyse numérique

et au calcul scientifique

Guillaume Legendre

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Avant-propos

Ce document est une version augmentée et regroupée des notes de deux cours enseignés à l"université Paris-

Dauphine, respectivement en deuxième année de licence de Mathématiques et Informatique appliquées à l"Éco-

nomie et à l"Entreprise (MI2E) et en première année de master de Mathématiques Appliquées. Ces enseignements

se composent à la fois de cours magistraux et de séances de travaux dirigés et de travaux pratiques.

Leur but est de présenter plusieurs méthodes numériques de base utilisées pour la résolution des systèmes

linéaires, des équations non linéaires, des équations différentielles et aux dérivées partielles, pour le calcul nu-

mérique d"intégrales ou encore pour l"approximation de fonctions par interpolation polynomiale, ainsi que d"in-

troduire aux étudiants les techniques d"analyse (théorique) de ces dernières. Certains aspects pratiques de mise

en oeuvre sont également évoqués et l"emploi des méthodes est motivé par des problèmes " concrets ». La présen-

tation et l"analyse des méthodes se trouvent complétées par un travail d"implémentation et d"application réalisé

par les étudiants avec les logiciels MATLAB®1 et GNU OCTAVE2.

Il est à noter que ce support de cours comporte plusieurs passages qui ne sont pas traités dans le cours devant

les étudiants (ce dernier fixant le programme de l"examen), ou tout au moins pas de manière aussi détaillée.

Il contient également deux annexes de taille relativement conséquente, l"une consacrée à des rappels d"algèbre,

l"autre à des rappels d"analyse, qui constituent les pré-requis à une bonne compréhension des deux premières

parties du cours. Les courtes notes biographiques, qui apparaissent en bas de page à chaque première fois que le

nom d"une personne est cité, sont pour partie tirées de WIKIPEDIA3.

Je tiens enfin à adresser mes remerciements à tous les étudiants ayant décelé des erreurs, à Matthieu Hillairet

pour sa relecture d"une partie du manuscrit et ses remarques, à André Casadevall, Djalil Chafaï, Maxime Chupin,

Olga Mula, Pierre Lissy, Nicolas Salles, Julien Salomon, Anders Thorin et Gabriel Turinici pour leurs suggestions

et enfin à Donald Knuth pour l"invention de T

EX et à Leslie Lamport pour celle de LATEX.

Guillaume Legendre

Paris, janvier 2018.

Quelques références bibliographiques

Pour approfondir les thèmes abordés dans ces pages, voici une sélection de plusieurs ouvrages de référence,

que l"on pourra consulter avec intérêt en complément du cours. Par ailleurs, afin de faciliter l"accès à la littérature

de langue anglaise, des traductions des termes spécifiques à ce cours sont proposées tout au long du manuscrit,

généralement lors de l"introduction de l"objet ou de la notion en question.

Ouvrages rédigés en français

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2. GNU OCTAVEest distribué sous licence GNU GPL,???????????????????????????????????.

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Table des matières

1 Généralités sur l"analyse numérique et le calcul scientifique

1

1.1 Différentes sources d"erreur dans une méthode numérique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Quelques notions d"algorithmique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Algorithme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Codage

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.3 Efficacité et complexité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Arithmétique à virgule flottante

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Système de numération

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Représentation des nombres réels en machine

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Arrondi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.3 Arithmétique en précision finie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Un modèle d"arithmétique à virgule flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Multiplication et addition fusionnées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Perte d"associativité et de distributivité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Soustraction exacte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Arithmétique complexe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.4 La norme IEEE 754

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Propagation des erreurs et conditionnement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Propagation des erreurs dans les opérations arithmétiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Cas de la multiplication

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Cas de la division

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Cas de l"addition et de la soustraction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.2 Analyse de sensibilité et conditionnement d"un problème

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Problème bien posé

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Conditionnement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Quelques exemples

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 Analyse d"erreur et stabilité des méthodes numériques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.1 Analyse d"erreur directe et inverse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Quelques exemples (simples) d"analyse d"erreur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.2 Stabilité numérique et précision d"un algorithme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6 Notes sur le chapitre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Références

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

I Algèbre linéaire numérique

39

2 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires

43

2.1 Exemples d"application

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1 Estimation d"un modèle de régression linéaire en statistique *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.2 Résolution numérique d"un problème aux limites par la méthode des différences finies *

. 45

2.2 Stockage des matrices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Remarques sur la résolution des systèmes triangulaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4 Méthode d"élimination de Gauss

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
iii

2.4.1 Élimination sans échange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.2 Élimination de Gauss avec échange

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.3 Résolution de systèmes rectangulaires par élimination

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4.4 Choix du pivot

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4.5 Méthode d"élimination de Gauss-Jordan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.5 Interprétation matricielle de l"élimination de Gauss : la factorisation LU

. . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5.1 Formalisme matriciel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Matrices des transformations élémentaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Factorisation LU

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.5.2 Condition d"existence de la factorisation LU

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5.3 Mise en oeuvre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.5.4 Factorisation LU de matrices particulières

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Cas des matrices à diagonale strictement dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Cas des matrices bandes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Cas des matrices tridiagonales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Cas des matrices de Hessenberg

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Cas des matrices de Toeplitz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Phénomène de remplissage lors de la factorisation de matrices creuses . . . . . . . . . . . . 74

2.6 Autres méthodes de factorisation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.6.1 Factorisation LDM

>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

2.6.2 Factorisation de Cholesky

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.6.3 Factorisation QR

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.7 Stabilité numérique des méthodes directes *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.7.1 Résolution des systèmes triangulaires *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.7.2 Élimination de Gauss et factorisation LU *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.7.3 Factorisation de Cholesky *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.7.4 Factorisation QR **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.8 Notes sur le chapitre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Références

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires

93

3.1 Méthodes linéaires stationnaires du premier degré

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.1.1 Généralités

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.1.2 Méthode de Jacobi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.1.3 Méthodes de Gauss-Seidel et de sur-relaxation successive

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.1.4 Méthode de Richardson stationnaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.1.5 Méthode des directions alternées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.1.6 Résultats de convergence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Cas des matrices à diagonale strictement dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Cas des matrices hermitiennes définies positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Cas des matrices tridiagonales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1.7 Remarques sur la mise en oeuvre des méthodes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.2 Méthodes de projection

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.2.1 Méthode de Kaczmarz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.2.2 Méthode de Cimmino

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.3 Notes sur le chapitre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Références

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

4 Calcul de valeurs et de vecteurs propres

117

4.1 Exemples d"application **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.1.1 Détermination des modes propres de vibration d"une plaque *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.1.2 Évaluation numérique des noeuds et poids des formules de quadrature de Gauss **

. . . . . 119

4.1.3 PageRank

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.2 Localisation des valeurs propres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3 Conditionnement d"un problème aux valeurs propres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
iv

4.4 Méthode de la puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4.1 Approximation de la valeur propre de plus grand module

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4.2 Déflation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

4.4.3 Méthode de la puissance inverse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.4.4 Méthode de Lanczos **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.5 Méthodes pour le calcul de valeurs propres d"une matrice symétrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.5.1 Méthode de Jacobi pour une matrice réelle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Matrices de rotation de Givens

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Méthode de Jacobi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Méthode de Jacobi cyclique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.5.2 Méthode de Givens-Householder **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.6 Méthodes pour la calcul de la décomposition en valeurs singulières ***

. . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.7 Notes sur le chapitre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Références

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

II Traitement numérique des fonctions

143

5 Résolution numérique des équations non linéaires

147

5.1 Exemples d"applications *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.1.1 Équation de Kepler

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.1.2 Équation d"état de van der Waals pour un gaz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.1.3 Calcul du rendement moyen d"un fonds de placement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.2 Ordre de convergence d"une méthode itérative

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.3 Méthodes d"encadrement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.3.1 Méthode de dichotomie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.3.2 Méthode de la fausse position

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.4 Méthodes de point fixe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.4.1 Principe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

5.4.2 Quelques résultats de convergence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.4.3 Méthode de relaxation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.4.4 Méthode de Newton-Raphson

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.4.5 Méthode de Steffensen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.4.6 Classe des méthodes de Householder **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.5 Méthode de la sécante et variantes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.5.1 Méthode de Muller

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.5.2 Méthode de Brent **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.6 Critères d"arrêt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

5.7 Méthodes pour les équations algébriques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.7.1 Localisation des racines **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.7.2 Évaluation des fonctions polynomiales et de leurs dérivées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Évaluation d"une fonction polynomiale en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Division euclidienne d"un polynôme par un monôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Évaluation des dérivées successives d"une fonction polynomiale en un point . . . . . . . . . 176
Stabilité numérique de la méthode de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.7.3 Méthode de Newton-Horner

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.7.4 Déflation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

5.7.5 Méthode de Bernoulli *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.7.6 Méthode de Gräffe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.7.7 Méthode de Laguerre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.7.8 Méthode de Durand-Kerner **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.7.9 Méthode de Bairstow

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.7.10 Méthode de Jenkins-Traub **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5.7.11 Recherche des valeurs propres d"une matrice compagnon **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5.8 Notes sur le chapitre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
v

Références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6 Interpolation polynomiale191

6.1 Quelques résultats concernant l"approximation polynomiale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.1.1 Polynômes et fonctions polynomiales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.1.2 Approximation uniforme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.1.3 Meilleure approximation au sens des moindres carrés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.2 Interpolation de Lagrange

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.2.1 Définition du problème d"interpolation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.2.2 Différentes représentations du polynôme d"interpolation de Lagrange

. . . . . . . . . . . . . 197

Forme de Lagrange

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Forme de Newton

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Formes barycentriques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Algorithme de Neville

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

6.2.3 Interpolation polynomiale d"une fonction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Polynôme d"interpolation de Lagrange d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Erreur d"interpolation polynomiale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Quelques propriétés des différences divisées associées à une fonction . . . . . . . . . . . . . 209
Convergence des polynômes d"interpolation et contre-exemple de Runge . . . . . . . . . . . 209

6.2.4 Généralisations *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Interpolation de Hermite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Interpolation de Birkhoff *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.3 Interpolation par morceaux

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.3.1 Interpolation de Lagrange par morceaux

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

6.3.2 Interpolation par des fonctions splines

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Généralités

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Interpolation par une fonction spline linéaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Interpolation par une fonction spline cubique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.4 Notes sur le chapitre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Références

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227

7 Formules de quadrature231

7.1 Formules de quadrature interpolatoires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.1.1 Généralités

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.1.2 Formules de Newton-Cotes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

7.1.3 Formules de Fejér

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.1.4 Formules de Clenshaw-Curtis **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

7.1.5 Estimations d"erreur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Cas des formules de Newton-Cotes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Représentation intégrale de l"erreur de quadrature * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

7.2 Formules de quadrature composées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7.2.1 Principe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243

7.2.2 Formules adaptatives **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

7.3 Évaluation d"intégrales sur un intervalle borné de fonctions particulières **

. . . . . . . . . . . . . . 248

7.3.1 Fonctions périodiques **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

7.3.2 Fonctions rapidement oscillantes **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

7.4 Notes sur le chapitre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Références

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

251
III Équations différentielles et aux dérivées partielles 253

8 Résolution numérique des équations différentielles ordinaires

257

8.1 Rappels sur les équations différentielles ordinaires *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

8.1.1 Solutions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

258
vi

8.1.2 Problème de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

8.1.3 Une remarque fondamentale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

8.2 Exemples d"équations et de systèmes différentiels ordinaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

8.2.1 Problème àNcorps en mécanique céleste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.2.2 Modèle de Lotka-Volterra en dynamique des populations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.2.3 Oscillateur de van der Pol

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

8.2.4 Modèle SIR de Kermack-McKendrick en épidémiologie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

8.2.5 Modèle de Lorenz en météorologie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

8.2.6 Problème de Robertson en chimie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

8.3 Méthodes numériques de résolution

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

8.3.1 La méthode d"Euler

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

8.3.2 Méthodes de Runge-Kutta

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Construction d"une méthode de Runge-Kutta explicite pour une équation scalaire . . . . . . 279

Méthodes de Runge-Kutta implicites

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

8.3.3 Méthodes à pas multiples linéaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Principe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

287

Méthodes d"Adams

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Méthodes de Nyström

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Généralisations de la méthode de Milne-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Méthodes utilisant des formules de différentiation rétrograde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

8.3.4 Méthodes basées sur des développements de Taylor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

8.4 Analyse des méthodes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

8.4.1 Rappels sur les équations aux différences linéaires *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

8.4.2 Ordre et consistance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Cas des méthodes à un pas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Cas des méthodes à pas multiples linéaires * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

8.4.3 Zéro-stabilité *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Cas des méthodes à un pas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Cas des méthodes à pas multiples linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

8.4.4 Convergence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Cas des méthodes à un pas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Cas des méthodes à pas multiples linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

8.4.5 Stabilité absolue

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Cas des méthodes à un pas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Cas des méthodes à pas multiples linéaires * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

8.4.6 Cas des systèmes d"équations différentielles ordinaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

8.5 Méthodes de prédiction-correction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

8.6 Techniques pour l"adaptation du pas de discrétisation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

8.6.1 Cas des méthodes à un pas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

8.6.2 Cas des méthodes à pas multiples linéaires *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

8.7 Systèmes raides

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

325

8.7.1 Deux expériences numériques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

8.7.2 Différentes notions de stabilité pour la résolution des systèmes raides *

. . . . . . . . . . . . 329

8.8 Application à la résolution numérique de problèmes aux limites **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

8.8.1 Définition du problème

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

8.8.2 Méthodes de tir

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

8.9 Notes sur le chapitre *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Références

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

335
vii

9 Résolution numérique des équations différentielles stochastiques341

9.1 Rappels de calcul stochastique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

9.1.1 Processus stochastiques en temps continu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

9.1.2 Filtrations et martingales *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

9.1.3 Processus de Wiener et mouvement brownien *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

9.1.4 Calcul stochastique d"It

¯o **. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

Intégrale stochastique d"It

¯o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

Formule d"It

¯o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

Intégrale stochastique de Stratonovich

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

9.1.5 Équations différentielles stochastiques *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

9.1.6 Développements d"It

¯o-Taylor *. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

9.2 Exemples d"équations différentielles stochastiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

9.2.1 Exemple issu de la physique ***

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

9.2.2 Modèle de Black-Scholes pour l"évaluation des options en finance

. . . . . . . . . . . . . . . 353

Options

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

354

Hypothèses sur le marché

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

Stratégie de portefeuille autofinancée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
Principe d"arbitrage et mesure de probabilité risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Réplication et évaluation de l"option

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

Formule de Black-Scholes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

Extensions et méthodes de Monte-Carlo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

9.2.3 Modèle de Vasicek d"évolution des taux d"intérêts en finance **

. . . . . . . . . . . . . . . . . 358

9.2.4 Quelques définitions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

9.3 Méthodes numériques de résolution des équations différentielles stochastiques

. . . . . . . . . . . . 360

9.3.1 Simulation numérique d"un processus de Wiener *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Générateurs de nombres pseudo-aléatoires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Approximation d"un processus de Wiener

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

9.3.2 Méthode d"Euler-Maruyama

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

9.3.3 Différentes notions de convergence et de consistance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

9.3.4 Stabilité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

367

9.3.5 Méthodes d"ordre plus élevé

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

Méthode de Milstein

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Méthodes de Runge-Kutta stochastiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

Méthodes multipas stochastiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

9.4 Notes sur le chapitre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

Références

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

370

10 Méthodes de résolution des systèmes hyperboliques de lois de conservation

373

10.1 Généralités sur les systèmes hyperboliques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

10.2 Exemples de systèmes d"équations hyperboliques et de lois de conservation *

. . . . . . . . . . . . . 374

10.2.1 Équation d"advection linéaire **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

10.2.2 Modèle de trafic routier *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

10.2.3 Équation de Boltzmann en mécanique statistique **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

10.2.4 Équation de Burgers pour la turbulence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

10.2.5 Système des équations de la dynamique des gaz en description eulérienne

. . . . . . . . . . 376

10.2.6 Équations de Barré de Saint-Venant **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

10.2.7 Équation des ondes linéaire *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

10.2.8 Système des équations de Maxwell en électromagnétisme *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

10.3 Problème de Cauchy pour une loi de conservation scalaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

10.3.1 Le cas linéaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

10.3.2 Solutions classiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

10.3.3 Solutions faibles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

10.3.4 Solutions entropiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

10.3.5 Le problème de Riemann

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
viii

10.4 Méthodes de discrétisation par différences finies **. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

10.4.1 Principe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

392

10.4.2 Analyse des schémas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

Consistance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

Stabilité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

398

Convergence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

La condition de Courant-Friedrichs-Lewy

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

10.4.3 Méthodes pour les équations hyperboliques linéaires **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

Méthode de Lax-Friedrichs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

Schéma décentré amont

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

Méthode de Lax-Wendroff

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

Autres schémas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

Cas de l"équation des ondes ***

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

10.4.4 Méthodes pour les lois de conservation non linéaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Extensions des schémas précédemment introduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

Méthode de Godunov

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
méthode de Murman-Roe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

Méthode d"Engquist-Osher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

Autres schémas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

10.4.5 Analyse par des techniques variationnelles **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

10.4.6 Remarques sur l"implémentation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

10.5 Notes sur le chapitre **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

Références

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

410

11 Résolution numérique des équations paraboliques

413

11.1 Quelques exemples d"équations paraboliques *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

11.1.1 Un modèle de conduction thermique *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

11.1.2 Systèmes d"advection-réaction-diffusion **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

Retour sur le modèle de Black-Scholes *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

11.1.3 Systèmes de réaction-diffusion semi-linéaires **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

11.2 Existence et unicité d"une solution, propriétés **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

11.3 Résolution approchée par la méthode des différences finies

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

11.3.1 Analyse des méthodes **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

11.3.2 Présentation de quelques schémas **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

11.3.3 Remarques sur l"implémentation de conditions aux limites **

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

Références

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

420

IV Annexes421

A Rappels et compléments d"algèbre linéaire 423

A.1 Ensembles et applications

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

A.1.1 Généralités sur les ensembles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

A.1.2 Relations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

425

A.1.3 Applications

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

A.1.4 Cardinalité, ensembles finis et infinis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

A.2 Structures algébriques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

A.2.1 Lois de composition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

A.2.2 Structures de base

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

Groupes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

434

Anneaux

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

434
Corps

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

434

A.2.3 Structures à opérateurs externes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

Espaces vectoriels *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

Algèbres *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
ix

A.3 Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

A.3.1 Opérations sur les matrices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
A.3.2 Liens entre applications linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

A.3.3 Inverse d"une matrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

A.3.4 Trace et déterminant d"une matrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

A.3.5 Valeurs et vecteurs propres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

A.3.6 Quelques matrices particulières

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Matrice diagonale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Matrice triangulaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Matrice bande

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Matrice à diagonale dominante

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Matrice symétrique ou hermitienne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

M-matrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

Matrice réductible

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
A.3.7 Matrices équivalentes et matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
A.3.8 Matrice associée à une forme bilinéaire * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

A.3.9 Diagonalisation des matrices *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
A.3.10 Décomposition en valeurs singulières * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

A.4 Normes et produits scalaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

A.4.1 Définitions générales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

A.4.2 Produits scalaires et normes vectoriels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

A.4.3 Normes de matrices *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

A.5 Systèmes linéaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

A.5.1 Systèmes linéaires carrés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
A.5.2 Systèmes linéaires sur ou sous-déterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
A.5.3 Systèmes linéaires sous forme échelonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

A.5.4 Conditionnement d"une matrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

A.6 Note sur l"annexe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

Références

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

469

B Rappels et compléments d"analyse

471

B.1 Nombres réels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

471

B.1.1 Majorant et minorant

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

B.1.2 Propriétés des nombres réels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

Propriété d"Archimède

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

Partie entière d"un nombre réel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

Valeur absolue d"un nombre réel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

Densité deQet deRnQdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474

B.1.3 Intervalles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

B.1.4 Droite numérique achevée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

B.2 Suites numériques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
B.2.1 Premières définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

Opérations sur les suites

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

Suites réelles monotones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

B.2.2 Convergence d"une suite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

Propriétés des suites convergentes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
Propriétés algébriques des suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

B.2.3 Existence de limite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

B.2.4 Quelques suites particulières

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

Suite arithmétique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

Suite géométrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

Suite arithmético-géométrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

Suite définie par récurrence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

B.3 Fonctions d"une variable réelle *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
x

B.3.1 Généralités sur les fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

Opérations sur les fonctions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

Relation d"ordre pour les fonctions réelles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

B.3.2 Propriétés globales des fonctions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

Parité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

488

Périodicité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

Monotonie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

Majoration, minoration

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

Convexité et concavité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

B.3.3 Limites

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

489

Limite d"une fonction en un point

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

Limite à droite, limite à gauche

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

Caractérisation séquentielle de la limite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Passage à la limite dans une inégalité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Théorème d"encadrement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Opérations algébriques sur les limites

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

Composition des limites

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

Cas des fonctions monotones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

B.3.4 Continuité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

Continuité en un point

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
Continuité à droite, continuité à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
Caractérisation séquentielle de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Prolongement par continuité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Continuité sur un intervalle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Continuité par morceaux

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
Opérations algébriques sur les applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
Théorèmes des bornes et des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
Application réciproque d"une application continue strictement monotone . . . . . . . . . . . 497

Continuité uniforme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

Applications lipschitziennes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

B.3.5 Dérivabilité *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

Dérivabilité en un point

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
Propriétés algébriques des fonctions dérivables en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

Dérivée d"une composée de fonctions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

Dérivée d"une fonction réciproque

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

Application dérivée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

Dérivées successives

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
Extrema locaux d"une fonction réelle dérivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

Règle de L"Hôpital

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

Théorème de Rolle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

Théorème des accroissements finis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

Sens de variation d"une fonction dérivable

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

Formules de Taylor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

B.4 Intégrales *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

506

B.4.1 Intégrabilité au sens de Riemann *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

B.4.2 Classes de fonctions intégrables *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
B.4.3 Théorème fondamental de l"analyse et intégration par parties ** . . . . . . . . . . . . . . . . 509

B.4.4 Formules de la moyenne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

Références

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .