Calculus 1 en 2

776_6calc12.pdf

Calculus

1en2 vooreerstejaarswiskunde-ennatuurkundestudenten docent:HansMaassen

September2004

MathematischInstituut

RadboudUniversiteitNijmegen

Inhoudsopgave

1Dereelegetallen1

Denatuurlijkegetallen1

Negatievegehelegetallenenbreuken2

Degetallenlijn3

Deonvolledigheidvanderationalegetallen3

Dereelegetallen4

Desupremum-eigenschap6

Rekenenmetreelegetallen7

Deaxioma'svoordereelegetallen8

Opgaven10

2Decomplexegetallen11

Structuurvandecomplexegetallen11

Lichaamseigenschappenenconsistentie12

Betekenisvandecomplexegetallen12

Rekenenmetcomplexegetallen13

Opgaven16

3Functies17

Deafgeleidevaneenfunctie(kort)17

Stijgenendalen18

Deexponentielefunctie18

Denatuurlijkelogaritme20

Defunctiescosinusensinus21

Hyperbolischefuncties23

Arcsinus,arccosinusenarctangens24

Berekeningvaninversefuncties24

Opgaven25

4Decomplexeexponentielefunctie26

Decomplexelogaritme27

Complexewortels28

Complexemachten28

Lineairedierentiaalvergelijkingen28

Opgaven31

5Veeltermfuncties32

Dehoofdstellingvandealgebra32

Reeleveeltermfuncties34

Opgaven35

{i{

6Rijenenreeksen36

Convergentie36

Limietensupremum38

`Oneindige'limieten39

Standaard-limieten40

Rekenregelsvoorlimieten40

Bewijzen40

Reeksen42

Convergentievanreeksen43

Vergelijkingvanreeksen44

Alternerendereeksen45

Absoluteconvergentie45

Opgaven46

7Limietenendierentiatie48

Rekenregels48

Continuteit50

Dierentiatie50

Denitievan`afgeleide'52

Enkelebewijzen54

Analytischefuncties55

Opgaven57

8Maximaenminima59

Demiddelwaardestelling60

Stijgenendalen61

Destellingvandel'H^opital61

Opgaven63

9DeTaylor-reeks64

DedriehoekvanPascal64

HetbinomiumvanNewton66

Taylor-veeltermen66

Opgaven69

10Machtreeksen70

Voorbeelden70

Hetdierentierenvanmachtreeksen71

Toepassingen71

Deconvergentiestraal72

Voorbeelden72

Opgaven75

11Integratie76

DehoofdstellingvandeCalculus78

Hetbestaanvanintegralen79

Riemann-sommen79

Oneigenlijkeintegralen80

Opgaven81

{ii{

12Primitiveren82

Hetvindenvanprimitieven82

Partieleintegratie82

Substitutievanvariabelen83

Substitutie-adviezen84

Hetgebruikvanhyperbolischefuncties85

Opgaven86

13Breuksplitsen87

Recept87

Voorbeelden87

Opgaven91

14Dierentiaalvergelijkingen92

Lineairedierentiaalvergelijkingenvanorde192

Niet-lineairedierentiaalvergelijkingen94

Opgaven95

Referenties

[Fri]:AvnerFriedman:Foundationsofmodernanalysis.DoverPublications,NewYork1970. [Kor]:R.A.Kortram:Detheorievancomplexefuncties.EpsilonUitgaven13,Utrecht,1989. [Len]:H.Lenstraetal.:EscherandtheDrosteEect.WebsiteUniversiteitLeiden: http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/ [Rud1]:W.Rudin:PrinciplesofMathematicalAnalysis.Mc.Graw-Hill1953. [Rud2]:W.Rudin:RealandComplexAnalysis.Mc.Graw-Hill1966. {iii{

1Dereelegetallen

Methetwoord`calculus'wordtinhetEngelsdedierentiaal-enintegraalrekeningaangeduid,endeze iseenonderdeelvandeanalyse,destudievangetallen,functiesenlimieten.Vooreengoedbegripvan calculusbeginnenwedaarommeteenbehandelingvangetallen.

Denatuurlijkegetallen

Degetallendiebijhettellenwordengebruikthetennatuurlijkegetallen. Webeginnentetellenbijhetnatuurlijkegetal0.Elknatuurlijkgetalheefteenopvolger,dieniet0is,en geenenkelnatuurlijkgetalisopvolgervanmeerdaneennatuurlijkgetal. Alswevan0deopvolgernemen(datis1),endandaarvanweerdeopvolger(datis2),etcetera,komt elknatuurlijkgetalopdenduuraandebeurt.Wezijnechternooitklaarmettellen:erzijnoneindigveel natuurlijkegetallen. DeverzamelingvanallenatuurlijkegetallenduidenweaanmetdeletterN:

N:=f0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;


g:

Denatuurlijkegetallenmetuitzonderingvan0gevenweaanmetN. Natuurlijkegetallenkunnenwordengebruiktvoorhettellenvanvoorwerpen:hetaantalelementenvan eeneindigeverzamelingiseennatuurlijkgetal.Wekunnennatuurlijkegetallenoptellenenvermenigvul- digen: Alseenverzamelingvanaelementeneneenverzamelingvanbelementendienietmetelkaaroverlappen, wordensamengevoegd,danontstaateenverzamelingvana+belementen. Alsaverzamelingenvanbelementenelk,dieelkaarnietoverlappen,wordensamengevoegd,danontstaat eenverzamelingvana
belementen.Weschrijvena
bvaakkortwegalsab. Denatuurlijkegetallenvormende`grondstof'vanderekenkunde.Zevoldoenaandevolgenderekenregels. a+b=b+aenab=ba, optellingeenvermenigvuldigingzijnbeidecommutatief, (a+b)+c=a+(b+c)en(ab)c=a(bc), beidebewerkingenzijnassociatief, a(b+c)=ab+ac, devermenigvuldigingisdistributiefoverdeoptelling, a+0=aena
1=a, deoptellingheeftneutraalelement0 endevermenigvuldigingheeftneutraalelement1. (1) Ookisereenordening:vanelktweetalnatuurlijkegetallenisereenhetgrootste.Weschrijven`ab' voor`aisgroterdanbofgelijkaanb'.Uithetbovenstaandevolgt:Alsabenba,danisa=b. Bovendiengeldtvoorelktweetalnatuurlijkegetallenaenb: {1{

Alsabenbc,danookac.

Alsab,dangeldtvoorallecdata+cb+c.

Alsabenc0,danisa
cb
c.

(2) (Indelaatsteregelisdevoorwaardedatc0eigenlijkoverbodig,maarhijstaaterbijvoorlatergebruik.)

Negatievegehelegetallenenbreuken

Getallenwordennietalleengebruiktomaantallenelementenvanverzamelingenuittedrukken,maarook voordebeschrijvingvanafstanden,hoogten,hoeveelheden,krachten,banktegoeden,ennogveelmeer. HierbijtreedtalgauweenzekereonvolledigheidvanhetstelselNaanhetlicht.SomsisinNaftrekking mogelijk.Zowordtbijvoorbeeldonder`85'verstaan:hetantwoordopdevraag:`Hoeveelmoetik aaneenverzamelingvan5elemententoevoegenomeenverzamelingvan8elemententekrijgen?'.Dit antwoordluidt:3,want3isinderdaaddeoplossingvandevergelijking5+x=8. Hoezitditechtermet`58'?Wezoekennueenoplossingvandevergelijking

8+x=5:(3)

Maardezevergelijkingheefthelemaalgeenoplossing!

Tochiservaakbehoefteaanzo'ngetal,bijvoorbeeldalswepratenoverdewaterstand:`Opwelkehoogte staathetwateralseenstijgingvan8meterhetopeenniveauvan5meterbovendegrondzoubrengen?'.

Ietsdergelijksdoetzichvoorbijbanktegoeden.

Latenwedaaromingedachtenzo'ngetalmaken,enlatenwehetgewoon`58'noemen.Hetzelfdedoen wevoorelkpaarnatuurlijkegetallen.Wewillengraagdatonzerekenregelsinbox(1)blijvengelden.

Danmoet:

(03)+8=(03)+(3+5)=((03)+3)+5=0+5=5: Weziendusdat03hetzelfdegetalmoetzijnals58.Weduidenhetgetal03aanmet3.

ZokomenwetotdeverzamelingenZvandegehelegetallen:

Z:=f


;4;3;2;1;0;1;2;3;4;


g:

InZisaftrekkingaltijdmogelijk.

Ietsdergelijksdoetzichvoortenaanzienvandevermenigvuldiging:SomsisinN(eninZ)het`omgekeerde vanvermenigvuldiging',namelijkdeling,mogelijk:Onder12

3verstaatmenbijvoorbeelddatgetal,dat

12oplevertnavermenigvuldigingmet3.Metanderewoorden,12

3isperdenitiedeoplossingvande

vergelijking3x=12.Dezeoplossingis4.Dus12

3isgewooneenanderenaamvoorhetnatuurlijkegetal

4.

Maarsomsgaathetniet:devergelijking

7x=3(4)

heeftgeenoplossing.Tochzoujezo'ngetalwelwillenhebben,natuurlijknietalsaantalelementenvan eenverzameling,maarbijvoorbeeldwelalshoeveelheidvloeistof,wanneerje3literdrankonder7personen wiltverdelen. Alspenqgehelegetallenzijn,enqisniet0,danverstaanweonderp qdeoplossingvandevergelijking qx=p. {2{

Opgaafje1.Laatziendat614=37.

Trouwens,waaromzoudenwedatalleendoenalsq6=0?Alswetochgetallenaanhetbijmakenzijn,wat iserdantegenomookgetallenals1

0en20temaken?Wel,indatgevalkomenweineenakeligdilemma

terecht:Immers,alsweeengetal1

0bijmaken,danzeggenonzerekenregelsdat

1=1

0
0=10
(0+0)=10
0+10
0=1+1=2:

Meteenbeetjeextramoeitetonenweaandatook2=3en3=4,etcetera.Dus,ofwelwerakenonze rekenregelskwijt,ofwelwehoudennogmaareengetalover!Ditvondenwezoerg,datwelievergeen getallenvanhettypep

0bijmaken.(`Delendoor0gaatniet'.)Ook00denierenweniet.

Optellingenvermenigvuldigingvanrationalegetallengaanalsvolgtinhunwerk: p q
rs=prqsenpq+rs=ps+qrqs: Opgaafje2.Bewijsdezeformuleszelfuitderekenregels,dieweookvoorrationalegetalleneisen.

ZokomenwetotdeverzamelingQvanderationalegetallen.

Q:=p q   p2Z;q2N : InQgeldendezelfderekenregelsdiewevoorNhebbengezien(commutativiteit,associativiteit,distribu- tiviteit,neutraleelementen),enbovendienzijninQaftrekkingendeling,behalvedoor0,altijdmogelijk.

Ookdelineaireordeningblijftbestaan.

Eengetallenverzamelingmetbovenstaandeeigenschappenwordteenlichaamgenoemd.Voldoethijook nogaandeeigenschappeninbox(2),danheethijeenlineairgeordendlichaam. Opgaafje3.Laatziendatdegetallenverzamelingf0;1;2;3;4;5;6gmetoptellingenvermenigvuldiging modulo7eenlichaamis.Isditlichaamlineairgeordend?

Degetallenlijn

Aldezegetallenkunnenwordenafgezetopeenlijn;Datgaatzo:

012-1-2

Derationalegetallen

Jekiest0opdelijnenverdereenpunt1.Vervolgenslaatjedegehelegetallen:::;2;1;0;1;2;3;


corresponderenmetpuntenmetopeenvolgendgelijkeafstanden.Vervolgenstekenjedegetallenp=2 metp2Zin,methalfzogrotetussenafstanden,voorzoverjedienietalgehadhebt.Dankomende getallenp=3metp2Zaandebeurt.Etcetera.Inhetplaatjehebbenwemaarenkeleeenvoudigebreuken aangegeven,maardelijnligtermeebezaaid:tussenelkpaarrationalegetallenliggenertelkensweer oneindigveelandere.

Deonvolledigheidvanderationalegetallen

Totgroteverbazingvandeantiekewiskundigenzijnderationalegetallentochnietinstaatdegetallenlijn helemaaloptevullen:hetismogelijkpuntenopdegetallenlijnaantewijzenwaargeenrationaalgetal bijhoort.Onderstaandeguurwijstzo'npuntaan.(Dekrommeiseencirkelboogmetmiddelpunt(0,0).) {3{ (0,1)(2,1) 01x 23

EengaatjeinQ

Immers,volgensdestellingvanPythagorasmoetditgetalxvoldoenaan x

2=12+22=5:(5)

Maar: Stelling1.Erbestaatgeenrationaalgetaldat5alskwadraatheeft. Metanderewoorden:devergelijkingx2=5heeftgeenrationaleoplossing.

Bewijs.Stelx=p

qenx2=5.Wekunnenpenqzokiezendatzegeenfactorengemeenhebben.Dan zijninelkgeval penqnietbeidedeelbaardoor5.(6)

Numoetgelden:p

q 2 =5;dusp2=5q2: Datwilzeggen:p2isdeelbaardoor5.Maardanispdeelbaardoor5.(Gazelfnadatalspbijdeling door5eenrestvan1,2,3of4oplevert,ookp2nietdeelbaardoor5kanzijn.)Zegp=5k.Danis p

2=25k2endusq2=5k2.Maaralsq2deelbaarisdoor5,danookqzelf.Ditisinstrijdmet(6).Uit

dezetegenspraakvolgtdathetgesteldeonmogelijkis:erisgeenrationaalgetalmetkwadraat5.

Dereelegetallen

OmdegetallenlijnhelemaaloptevullengaanweoveropeennotatiebedachtdoorSimonStevin:de tiendeligebreuken.Ditzijnbreukenwaarvandenoemereenmachtisvan10,enweschrijvenzein decimalenotatie:

Met17;3702bedoelenwebijvoorbeeld173702

10000,wathetzelfdeisals17+3
110+7
1100+0
11000+2
110:000.

Bekijknueenshetgetal1

7.Hetiszelfgeendecimalebreuk,maarwekunnenhetweltussendedecimale

breukeneenplekgeven:hetligtomtebeginnenergensopdegetallenlijntussen0en1.Zijnplaatsis nauwkeurigerbepaalddooraantegevendathetligttussen1

10en210.Datishetbestteziendoorhet

segment[0;1]

100,10,20,40,30,50,60,70,80,9

1/7 {4{ met10tevermenigvuldigen:

0123456789

10/710

Hetgetal1

7gaatdannaar107=1+37,eengetaltussen1en2.Wehebbendan

0;11

70;2:

Alsjewiltwetenwaar1

7ligttenopzichtevandeveelvoudenvan1100,dankunjedaartoe37met10

vermenigvuldigenenkijkenwaarhetresultaatligttenopzichtevandegetallen0t/m10.Jekrijgtdan

0;141

70;15

Eigenlijkzijnwemeteenstaartdelingbezig:

7=1;000000:::n0;1428571:::7

30
2820
14

6017=0;142857142857142857142857:::=0;14285756

40
3550
49107
3(7)

Daarmeebedoelenwe:

1

7ligttussen0en1,verdelenwehetsegment[0;1]in10gelijkedelenennummerenwedievan0toten

met9,danligt1

7insegmentjenummer1,verdelenweditsegmentjeopdezelfdemanier,danligt17in

segmentjenummer4,etc.Hetgetal1

7kandusgeschrevenwordenalseenoneindigvoortlopendedecimale

breuk.Dezeprocedurekunnenwetoepassenopelkpuntopdelijn. Deschrijfwijzevanoneindigedecimalebreukenisnietaltijdeenduidig.Somshebjeeenkeuzetussen tweesegmentjes,namelijkalshetgetaleenuiteindevaneensegmentjeis,datwilzeggenalsheteen tiendeligebreukis.Zokan1

4optweemanierendecimaalwordengenoteerd:als0;250000000:::enals

0;24999999:::.

(Vooralsjehetnietgelooft:stela=0;009999:::,dan10a=0;09999:::=0;09+aendus9a=0;09, ofwela=0;01,zodat0;2499999:::=0;24+a=0;24+0;1=0;25.) Gewoonlijkvermijdtmenstaartenmetalleennegens,datwilzeggen:alsereenkeuzeuittweesegmentjes is,danwordtaanderechterkantvan0steedshetrechtersegmentjegekozen,aandelinkerkantsteeds hetlinker.Alswenegenstaartenvermijden,enookdeoneindigedecimalebreuk0;00000:::,danisde decimalenotatievaniederpuntopdelijnuniek.

Zokomenwetotdevolgendedenitie.

Denitie.Ondereenreeelgetalverstaanweeenuitdrukkingvanhettype n;d1d2d3d4d5:::; {5{ waarbijneennatuurlijkgetalis,endedecimalend1;d2;d3;d4;d5;:::gekozenwordenuitdeverzame- lingf0;1;2;3;4;5;6;7;8;9g.Hierbijstellenverschillendeuitdrukkingenverschillendereelegetallenvoor, metdienverstandedat0;000000:::hetzelfdegetalvoorsteltals+0;000000:::,enn;d1:::dk99999::: hetzelfdeals(n;d1:::dk+10k)000000:::. Meetkundiggesprokenhebbenwenudelijnhelemaalopgevuld,enzohebbenwedeverzamelingRvan dereelegetallengeconstrueerd.

012-1-2

Dereelegetallen

Desupremum-eigenschap

Latenwenueenskijkennaarverzamelingenvanreelegetallen.Eindigeverzamelingen,zoalsbijvoorbeeld f2;3

7;(1;121121112:::)g,hebbenaltijdeenmaximum(eengrootsteelement).Inditvoorbeeldisdat2.

Maaroneindigeverzamelingenreelegetallenhoevengeenmaximumtehebben:Nbijvoorbeeldheeftgeen maximum,wanterzijn,hoehoogjeookklimt,altijdnoggroterenatuurlijkegetallenaantewijzen.Maar ookeenverzamelingalsV:=f11 njn2Ngheeftgeenmaximum,ookalkomtgeenenkelelement vanVbovende2uit.Wenoemen2eenbovengrensvanV.Trouwens,ook1en3

2zijnbovengrenzenvan

V.Jezietvastwelindat1dekleinstebovengrensis:elkgetaldatkleinerisdan1wordtdoorsommige elementenvanVovertroen.Hetgetal1isdaaromeensoortvan`maximum'vanV,maarhetisniet echteenmaximum,omdathetzelfnietinVzit.Wenoemenhetgetal1hetsupremumvanV.Meer algemeendenierenwe: Denitie.ZijVeenverzamelingreelegetallen.WezeggendatVnaarbovenbegrensdisalsereengetal a2Rbestaatzodatvoorallev2Vgeldt:va. asV IndatgevalheetaeenbovengrensvoorV.Eengetals2RheethetsupremumvanValssdekleinste bovengrensisvanV. NaarbovenbegrensdedeelverzamelingenvanRofvanQhoevengeengrootsteelementtehebben.Denk bijvoorbeeldaanhetinterval (0;3):=fx2Rj0VoorhetbewijsverwijzenwenaarhetcollegeAnalyse. WeduidenhetsupremumvaneenverzamelingVaanmetsup(V).Degrootsteondergrensvaneen verzamelingVRwordtzijninmumgenoemdenaangeduidmetinf(V). Opgaafje4.BewijsuitStelling2datelkeniet-legevanbenedenbegrensdeverzamelingreelegetallen eeninmumheeft. {6{

Rekenenmetreelegetallen

Wewetenhoewemoetenrekenenmetnatuurlijkegetallen,gehelegetallenenrationalegetallen,maarhoe jereelegetallenmoetoptellenenvermenigvuldigen,aftrekkenendelen,moetenwenogpreciesvastleggen. Bedenkweldatrekenmachientjesditnietkunnen,omdatzemaareindigveeldecimalenkunnenbevatten. Wezoudennuheelpreciezealgoritmenkunnengaanvastleggenvoordegenoemdeoperatiesmetreele getallen,maardatdoenweniet.Wemakenonservanafdoortezeggenhoesommen,productenen dergelijkeinprincipegedenieerdzijn.Desupremumstellingkomtonshierbijtehulp. Elkpositiefreeelgetala:=n;d1d2d3d4:::kanwordenopgevatalshetsupremumvandeverzameling rationalegetallenfa0;a1;a2;a3;:::g,waarbijwemetajdetiendeligebreukn;d1d2:::djaanduiden,(en a

0=n).Alswenutweepositievegetallena=supfa0;a1;a2;:::genb=supfb0;b1;b2;b3;:::gwillen

optellen,dannemenwehetsupremumvandeverzamelingvansommen: a+b:=supfaj+bkjj;k2Ng: Opdezelfdemanierkunnenwehetproductvanpositievereelegetallendenieren: ab:=supfajbkjj;k2Ng; endeinversevaneenpositiefgetal: a 1:=inffa1 jjj2Ng: Metdezedenitiesvormendereelegetallenookweereenlineairgeordendlichaam. Intervallen.Deordeningvandereelegetallenleidttotdeinvoeringvanintervallen: [a;b]:=deverzamelingvanallereelegetallenxmetaxb; (a;b):=deverzamelingvanallereelegetallenxmeta2=sup(W)metW:=fabja;b2Q;a25enb25g: Webewerendatditsupremum5is.Inderdaadis5eenbovengrens: a

2;b25=)(ab)225=)ab5:

Maaralsy<5,danisereenx2Vmetkwadraatgroterdany.(Tussenelktweetalpositievereelegetallen liggenoneindigveelkwadratenvanrationalegetallen,nietwaar?)Dus5isdekleinstebovengrensvanW, datwilzeggens2=sup(W)=5.Weduidensaanmetp 5. {7{ Wehebbennudusgeziendatp5reeelis,maarnietrationaal.Zulkegetallenhetenirrationaal. Machtsverheen.Doorherhaaldevermenigvuldigingismachtsverhenggedenieerdmetnatuurlijke exponent: a

0:=1;an:=a
a
a
a


a(nmaal,n1):

Ishetgrondtalaniet0,dankandezemachtsverhengtotnegatieveexponentenwordenvoortgezet: a n:=1 an(n2N): Voorpositievegrondtallenisverderworteltrekkinggedenieerdalsdeomgekeerdebewerkingvanmachts- verheng: w=np aalsw>0enwn=a: De 1 n-demachtwordtgedenieerdalsden-dewortel.Zokomenwetotmachtsverhengmetpositief grondtalenrationaleexponent. Tenslottekunnenweabdenierenvoorwillekeurigepositieveaenbdooreerstbalssup(V)teschrijven, endantestellen a b:=supfayjy2Vg:

DitsupremumhangtnietafvandekeuzevanV.1

Deaxioma'svoordereelegetallen

Onzekennisvanreelegetallenkunnenweinenkelekortesloganssamenvatten.

I:Riseenlineairgeordendlichaam

II:InRgeldtdesupremumstelling

Webewijzennogeenderdeeigenschapvanreelegetallen.

Stelling3.(Archimedes-Eudoxos).Voorelkreeelgetalxisereennatuurlijkgetalndatgroteris danx. Bewijs.Alsxnegatiefis,kiesdann=0.Alsxnietnegatiefis,zegx=m;d1d2d3d4:::,kiesdan n=m+1.

Wevoegendit

auwestellinkjeaanonzelijsttoe:

III:InRgeldtdestellingvanArchimedes-Eudoxos

Zijnwenouhelemaalgekgeworden?

Nee.DeeigenschappenI,IIenIIIzijneenvolledigstelaxioma'svoordereelegetallen.Datwilzeggen datjealleswatjeooitoverreelegetallenzultkunnenbewijzen,uitdezedrieregelsbewijzenkunt. VooronswarendeeigenschappenI,IIenIIIbeweringen,diewehebbenafgeleiduitonzeconstructievan dereelegetallenalsoneindigvoortlopendedecimalebreuken.Eenanderzoueenheelandereconstructie kunnenmaken,endaaruitI,IIenIIIbewijzen.EenderdezouI,IIenIIIvoetstootskunnenaannemen. Tochzoudenwehetmetonsdrieensteedseenszijnoverwatwaarisenwatonwaarisvoorreelegetallen.

1Hierisnogwelheteenenandertebewijzen.

{8{ HetisgeblekendateigenschapIIInietuitIenIIkanwordenafgeleid.ZoudenweeigenschapIIIuitons lijstjeweglaten,danzoudenerookzogenaamde`niet-standaard'constructiesvanRmogelijkzijnwaarin anderewettengelden.Hetvakgebiedvandeniet-standaardanalysehandelthierover.Menkentdaar oneindiggroteenoneindigkleinegetallen.Wijniet.Inditcollegebeperkenwijonstotdestandaard- analyse;wezullengebruikmakenvanonzeconstructiemetdecimalebreuken.Vooronsiselkreeelgetal eendecimalebreuk.Oneindiggrotegetallenofoneindigkleinegetallenbestaanvooronsniet. Wezoudeninditstadiumonzeconstructiemetdecimalenweermogenvergeten:deaxioma'sI,IIenIII implicerenalleswatwenodighebben. {9{

OpgavenbijHoofdstuk1

Opgave5.AlseenverzamelingVReengrootsteelementgheeft,danisg=sup(V).Hetomgekeerdeis nietwaar.Toondezetweebeweringenaanmetbehulpvandedenitievan`supremum'.

Opgave6.Bepaalhetsupremumvandeverzameling

x2R   x jxj+1<13 .

Opgave7.Isp

6eenrationaalgetal?Enp27?Enp121?Voorwelken2Ndenkjedatpnrationaalis?

Zoujejeantwoordkunnenbewijzen?

Aanwijzing:Elkpositiefnatuurlijkgetalkanopprecieseenmanierinpriemfactorenwordenontbonden.

Opgave8.Schrijf24

37als(oneindige)decimalebreuk.

Opgave9.ZijRdeverzamelingrationalegetallen

35

100;353510000;3535351000000;35353535100000000;:::

: BepaalhetsupremumvanR.Isditsupremumrationaalofirrationaal? Opgave10.Toonaandatelkrationaalgetalwordtvoorgestelddooreenrepeterendedecimalebreuk(d.w.z. eenwaarinvanafzekermomenthetzelfdeblokjedecimalensteedsherhaaldwordt). Opgave11.Toonaandatelkerepeterendedecimalebreukeenrationaalgetalvoorstelt. Opgave12.Onderdestaartperiodevaneenrationaalgetalverstaanwedelengtevanhetblokjedecimalen datinzijndecimaleontwikkelingsteedsherhaaldwordt.Bewijsdatvoorallen2Ngeldt: 1 nheeftstaartperiode2=)nisdeelbaardoor11: Opgave13.Vormendegehelegetallenmodulo12(`klokrekenen')eenlichaam? {10{

2Decomplexegetallen

Metreelegetallenkunnenwenuallevergelijkingenvandetypes7x=3,x+8=5enx2=5op- lossen.Maarerisnogeenheelstelalgebraschevergelijkingendiehetzonderoplossingmoetenstellen: `valse'vierkantsvergelijkingenenookveleveeltermvergelijkingenvanhogeregraad.Dezebeperkingwordt opgehevendoordeuitbreidingvanRtothetlichaamCvandecomplexegetallen.

Structuurvandecomplexegetallen

Eentypischvoorbeeldvaneenvalsevierkantsvergelijkingis x

2=1:(9)

Ingedachtenmakenweeenoplossingvoordezevergelijking,ennoemendeze:i(voor`imaginair',denk- beeldig).Perdenitiegeldtdus:i2=1.Wevoegenitoeaanhetstelselvandereelegetallen,enwe kijkenwatwenogmeermoetentoevoegenomweereengetallenlichaamtekrijgen. (a)Wemoetenookdegetallenib,metbreeel,inonsstelselopnemen.Immersvermenigvuldigingmoet voorelkpaargetalleninonsnieuwestelselgedenieerdzijn.Opgrondvandeassociativiteitende commutativiteitvandevermenigvuldiging,(diewegraagweergeldigzien)moetnu: (ib)2=(ib)(ib)=((ib)i)b=(i(ib))b=((i2)b)b=(i2)(b2)=(1)b2=b2: Hieruitzienwedat(voorb6=0)hetkwadraatvanibnegatiefis.Omdatwenoggeengetallenhadden metnegatievekwadraten,moetibduseennieuwgetalzijn.Dezenieuwegetallen ib(b2R;b6=0) wordenweldezuiverimaginairegetallengenoemd.Wevoegenzeaanonsstelseltoe. Merkopdatdevergelijkingx2=1nualdirecttweeoplossingenheeft:ieni:=(1)
i,omdat (1)2=1. (b)Wewillenalleskunnenoptellen,duswillenweookdegetallen a+ib;(a;b2R) inonsstelselhebben.Voorb6=0isa+ibgeenreeelgetal.Immers,zoua+ib=:c2R,danmoest ib=caeenreeelgetalzijn,maaronder(a)zagenwealdatibnieuwwas.Dusisooka+ib nieuwalsb6=0.Ookdezegetallenvoegenwetoe.Zoontstaatdeverzamelingvandecomplexe(= samengestelde)getallen

C:=fa+ibja;b2Rg:

Nuzijnweklaar!Dezecomplexegetallenkunnenweoptellen: (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d); (associativiteitencommutativiteitvandeoptelling).Maarookbijvermenigvuldiging (a+ib)(c+id)=ac+iad+ibc+i2bd=(acbd)+i(ad+bc)(10) komenergeennieuwegetallenmeerbij. {11{

Lichaamseigenschappenenconsistentie

Wemoetennunogtweedingendoen.

(i)Latenziendatdeaannamedateengetalibestaatmetkwadraat1niettottegensprakenleidt. (ii)Latenziendatderekenregelsvaneenlichaamookweergeldenvooronzenieuwgeconstrueerde getallen. Heteerstedoenwedooreenconstructie:WebeschouwenhetvlakR2:=f(a;b)ja;b2Rgmet daaropdevectoroptelling (a;b)+(c;d):=(a+c;b+d) endevermenigvuldiging (a;b)
(c;d):=(acbd;ad+bc): Hierinvindenwedereelegetallenterugalsdepunten(a;0)meta2R,enhetgetalialshetpunt(0;1). Debovenafgeleidestructuurisdusrealiseerbaar,enkanniettottegensprakenleiden. HetvlakR2metdezeoptellingenvermenigvuldigingwordthetcomplexevlakgenoemd,enweidenticeren hetmetdegetallenverzamelingC.Dex-asdiedereelegetallenvoorstelt,enwordtinditverbandde reeleasgenoemd;dey-asheetdeimaginaireas.Weduidenhetpunt(a;b)inhetcomplexevlakaanmet a+ib. Voorpunt(ii)lopenwederekenregelsvooreenlichaamallemaalna: Optellingenvermenigvuldigingzijncommutatiefenassociatief(gana!). 0(=0+i
0)ishetneutraalelementvandeoptelling. 1(=1+i
0)ishetneutraalelementvandevermenigvuldiging. Devermenigvuldigingisdistributiefoverdeoptelling. Elkgetala+ibheefteentegengestelde:(a)+i(b). O,pasop!Heeftelkgetala+ib6=0weleenomgekeerde??? Gezocht:bijgegevena+ibmetaenbnietallebei0,eencomplexgetalc+idzodat (a+ib)(c+id)=1:

Zo'ngetalbestaatinderdaad!Eerstmerkenweopdat

(a+ib)(aib)=a2(ib)2=a2+b2>0:(11) Dusalswenouvoorcnemen:a=(a2+b2)envoord:b=(a2+b2),danvindenwedat (a+ib)(c+id)=(acbd)+i(ad+bc)=a2+b2 a2+b2+ia(b)+baa2+b2=1+i0=1:

Wehebbeneenomgekeerdevana+ibgevonden:

1 a+ib=aa2+b2iba2+b2:(12) enCiseenlichaam!

Betekenisvandecomplexegetallen

Waaromzoueenmensgenteresseerdzijnindezemerkwaardigegetallen?Metaantallenhebbenzeheel weinigmeertemaken. Wel,complexegetallenwordenbijvoorbeeldgebruiktindeelectrotechniek,waarzijdeamplitudeende fasevaneenwisselstroomsignaaltegelijkaangeven.Eenenkelecomplexe`weerstand'kandandecapaciteit ofdezelnductie,endegewoneweerstandvaneenelectronischecomponentbeschrijven. {12{ Eenanderbelangrijktoepassingsgebiedisdequantummechanica:degolunctiesdiehetgedragvan materieenlichtbeschrijvennemencomplexewaardenaan.Ditisessentieelvoordeinterpretatievande quantummechanica:alleenvoorcomplexegolunctiesgeldtdezogenaamde`spectraalstelling',diezorgt voorvoldoendeobserveerbaregrootheden. Weerietsgeheelandersisdemeetkundevanconformeafbeeldingentussenoppervlakken.Dezeworden gegevendoordierentieerbarecomplexefuncties.(ZiehetslotvanHoofdstuk7.) Cryptosystemenvanbankenzijngebaseerdopdezogenaamde`elliptischekrommen',diefeitelijkcomplexe functieszijnmeteenbijzondereperiodiciteit. Indezuiverewiskundezijncomplexegetallenessentieel.Zohandeltbijvoorbeeldeenklassiekprobleem alshetRiemann-vermoedenoverdenulpuntenvaneencomplexefunctie:Riemann's-functie.Oplossing hiervanzoumerkbaarzijntotindeversteuithoekenvandewiskunde. Bijovergangnaareennieuwgetalstelselmoetaltijdeenzekereweerstandoverwonnenworden.Ditis nogtehorenaandenaamgevingvandenieuwegetallen:`negatieve'getallen,`irrationale'getallenen `imaginaire'getallen.Hetisverstandigdezeweerstandmaarzosnelmogelijktelatenvaren.

Rekenenmetcomplexegetallen

Blikkenwenueventerugnaardeaxioma'sI,IIenIIIvoorR,danzienwedatinCalleenheteerste axiomageldt.Deordeningisverlorengegaan:hetisnietmeeruittemakenwelkvantweecomplexe getallenhetgrootsteis.(Schrijfdusnooit:u>zvoorcomplexegetallen!) Alsz=x+iy,danwordtxhetreeledeelvanzgenoemd,enyhetimaginairedeel.Notatie:x=Rez; y=Imz.Hetgetalxiygevenweaanmet z(`z-streep').Ditwordtdecomplexgeconjugeerdevan z=x+iygenoemd;hetishetspiegelbeeldvanztenopzichtevandedereeleas. Deabsolutewaardejzjvaneencomplexgetalz=x+iy,isgedenieerdalsdeafstandinhetcomplexe vlakvanztot0: jzj=jx+iyj:=p x2+y2: Deabsolutewaardevaneencomplexgetalzisdusaltijdpositief(ofnulvoorz=0).Absolutewaarden zijnwelvergelijkbaar:hetheeftzinomteschrijven:juj>jzj.

Degevierdevergelijking(11)kunnenwenuschrijvenals:

z z=jzj2; endeinversevanz6=0laatzichuitdrukkenals 1 z= z jzj2: Rekenregelsvoorcomplexgeconjugeerdeenabsolutewaarde. (i) z+u=z+u;zu=zu; (ii)j zj=jzj;jRezjjzj;jImzjjzj; (iii)z+ z=2Rez;zz=2iImz; (iv)jzuj=jzj
juj;

Bewijs:jzuj2=(zu)(

zu)=(zz)(uu)=jzj2
juj2. (v)jz+ujjzj+juj(driehoeksongelijkheid).

Bewijs:jz+uj2=(z+u)(

z+u)=zz+uu+zu+uz=jzj2+juj2+2Rezujzj2+juj2+2jzj
juj= (jzj+juj)2. {13{

Vermenigvuldigingvancomplexegetallen:meetkundig.

2+i1+3i

2i2i3i

-1+7i 2

3210-1

VermenigvuldiginginC:(2+i)(12+32i)=12+72i.DeoptellinginCkomtovereenmetdevectorop- tellinginR2.Vermenigvuldigingvancomplexege- tallengaatalsin(10).Datisprecieswatjezou verwachtenopgrondvandegewonerekenregelsdie jevangetallengewendbentplushetnieuweregeltje i

2=1.Maarmeetkundigzienweietsheelnieuws

gebeuren:vermenigvuldigenheeftmetdraaiente maken!(Ziedeguurhiernaast.) Denitie.Onderhetargumentvaneencomplexgetalzverstaatmendehoektussendepositievereeleas endevectorwijzendnaarhetpuntz,steedsgekozeninhetinterval(;].Dusalsz=jzj(cos'+isin'), en<',danis'hetargumentvanz.Hetpaar(jzj;argz)vormtdebeschrijvinginpoolcoordinaten vanhetpuntzinhetcomplexevlak. Dewetvanargumentenabsolutewaarde.Bijvermenigvuldigingvancomplexegetallenworden deargumentenopgeteld(modulo2)endeabsolutewaardenvermenigvuldigd. 0 cy fzu z u 1 VermenigvuldiginginCBewijs.Deabsolutewaardenwordenvermenigvuldigd opgrondvanregel(iv)hierboven.Daaruitvolgtweerdat dedriehoekmethoekpunten0,zenzugelijkvormigismet dedriehoekmethoekpunten0,1enu,wantdelengten vancorresponderendezijdenschelensteedseenfactorjzj. Duszijncorresponderendehoekengelijk,inhetbijzonder is'= (zieplaatje).Hieruitvolgt: arg(zu)=+ =+'=arg(z)+arg(u): DeregelvanDeMoivre.Eendirectgevolgvandewetvanargumentenabsolutewaardeisdatvoor allen2Nen'2Rgeldt: (cos'+isin')n=cosn'+isinn':

Toepassing.WelossendevolgendevergelijkingopinC:

z 3=1: Direct:Eenoplossingzienwemeteen:z=1.Dezeisvooronsredenomeenfactorz1uitz31af tesplitsen.(Datgaatzekergoed,zoalsweinHoofdstuk5zullenzien.)Alswedeveeltermz31delen {14{ doorz1,danhoudenwez2+z+1over: z

31=(z1)(z2+z+1):

Denulpuntenvanz2+z+1vindenwemetdemethodevan`kwadraatafsplitsen': z

2+z+1=0()(z+1

2)2=34

()z+1

2=i2p3

()z=1

2i2p3:

MetderegelvanDeMoivre:Omdatdeoplossingenvanz3=1zekermoetenvoldoenaanjzj3=1,dus aanjzj=1,kunnenwezalvastschrijvenalscos'+isin'.MetderegelvanDeMoivrekunnenwenu onzevergelijkingschrijvenals

1=z3=(cos'+isin')3=cos3'+isin3':

Ditisequivalentmet

cos3'=1ensin3'=0: Dus3'moeteenveelvoudzijnvan2.Datwilzeggen'=2k,'=2=3+2kof'=4=3+2k.

Kortom:z=1

ofz=cos2

3+isin23=12+i2p3

ofz=cos4

3+isin43=12i2p3:

{15{

OpgavenbijHoofdstuk2

Opgave14.Schrijfdevolgendecomplexegetallenindevorma+ibmetaenbreeel. (a)(2+i)3; (b)(1i)7; (c) 1 73i; (d) 5+4i 2+i; (e) 1+i (1i)2; (f)1

2(p3+i)
100.

Opgave15.Drukcos4'uitincos'ensin'metbehulpvanderegelvanDeMoivre. Opgave16.Voorwelkecomplexegetallenz=x+iyisRe(z2)>0? Opgave17.Inwelkdeelvanhetcomplexevlakligthetgetal1

1z,wanneerzindeopeneenheidsschijf

ligt(d.i.deverzamelingvangetallenz2Cwaarvoorjzj<1)?

Opgave18.Bekijkdevierkantsvergelijking

z 2+ z+=0 meten reeel.Laatziendat,alsdezevergelijkinggeenreeleoplossingenheeft,eraltijdtwee complexeoplossingenvandevorma+ibenaibbestaan.Drukaenbuitinen . {16{

3Functies

LatenCenDwillekeurigeverzamelingenzijn.Metf:D!Cbedoelenwe:fiseenvoorschriftdataan iederelementxuitDprecieseenelementf(x)uitCtoevoegt.Metf:x7!y(letopdepijl!)bedoelen wedaty=f(x),enwenoemenyhetbeeldvanxonderf.DeverzamelingDwordthetdomeinvanf genoemd,enChetcodomein.Onderhetbereikvanfverstaanwedeverzamelingff(x)jx2Dg vanelementenuithetcodomeindieechtalsbeeldoptreden.Verderdenierenwevooreenfunctiefvan

DnaarC:

fisinjectief:=vooriedertweetalx;yuitDmetx6=ygeldtf(x)6=f(y); fissurjectief(opC):=vooriederey2Cbestaatereenx2Dmetf(x)=y; (bereik=codomein) fisbijectief:=fisinjectiefensurjectief; deinversevanf:=defunctief1:C!Dmetf1f(x)
=xvoorallex2D. (Alleengedenieerdalsfbijectiefis.)

Tenslottedenierenwe,alsf:D!Ceng:C!B:

desamenstellingvangmetf:=defunctiegf:D!Bdievastgelegdwordtdoorgf
(x)=gf(x)
voorallex2D Indithoofdstukbeschouwenwebijzonderefunctiesdiealsdomeinencodomeinverzamelingenvanreele ofcomplexegetallenhebben.

Deafgeleidevaneenfunctie(kort)

ZijfeenfunctievaneengebiedDinR(ofC)naarR(ofC).Wenoemenfdierentieerbaaralsinelk puntxvanDdevolgendelimietbestaat lim h!0f(x+h)f(x) h: Alsdithetgevalis,danduidenwedelimietaanmetf0(x).Zokrijgenweeennieuwefunctief0:D!C, dieweookwelschrijvenalsdf dx: Deoperatiedievanfzijnafgeleidef0maaktheetdierentiatie.Ophethierbovengebruiktebegrip`limiet' zullenwelateruitgebreidingaan,zieHoofdstuk7.Indithoofdstukleunenweopjeschoolervaringmet limietenendierentiatie. {17{

Stijgenendalen

VooreengebiedDReneenfunctief:D!Rdenierenwe:

fisstijgend:=voorallex;y2Dgeldt:xf(y); fisconstant:=voorallex;y2Dgeldt:f(x)=f(y): Vooreendierentieerbarefunctiefopeenintervalgeldt: f

0(x)0voorallex()fisstijgend;

f

0(x)0voorallex()fisdalend;

f

0(x)>0voorallex=)fisstriktstijgend;

f

0(x)<0voorallex=)fisstriktdalend;

f

0(x)=0voorallex()fisconstant.

(Letopderichtingvandepijlen!)Dezeeigenschappenkunnenbewezenwordenmetdemiddelwaarde- stellingdieweinHoofdstuk8zullenbewijzen.Maarzezienerzogeloofwaardiguitdatjezehopelijk voorlopigwelwiltaannemen.Welmerkenwehieropdatzenietopgaanalshetdomeinvanfgeen intervalis.

Deexponentielefunctie

WebeginnenmeteenheelbijzonderefunctieR!R,dieonderdierentiatienietverandert.Omhem helemaalvastteleggeneisenwedathijdewaarde1aanneemtinhetpunt0. Zokomenweaandegrondeigenschappenvandezogenaamdeexponentielefunctie,kortwegexpge- noemd: exp0=exp exp(0)=1 (13) Bewering4.Erbestaateenfunctieexp:R!Rmetdeeigenschappen(13).

HetbewijshiervanstellenweuittotHoofdstuk10.

Bewering5.Erbestaatnietmeerdaneenfunctiemetdeeigenschappen(13). Bewijs.Eerstbewijzenwedatexpdewaarde0nietaanneemt:ZijhdefunctieR!R:x7! exp(x)exp(x).Danis h

0(x)=exp0(x)exp(x)exp(x)exp0(x)=0:

(Wemakenhierbijalvastgebruikvandeproductregelendekettingregelvoordierentiatie.)Dusish eenconstantefunctie,enomdath(0)=1,ish(x)=1voorallereelex,endaaromkanexp(x)niet0zijn. Stelnudatf:R!Rvoldoetaan:f0=fenf(0)=1.Wewillenbewijzendatdanf=exp. Zijg:R!Rzodatvoorallex2R:f(x)=g(x)exp(x).(Zo'ngbestaatomdatexp(x)6=0.)Dangeldt, waarbijweweergebruikmakenvandeproductregel, g(x)exp(x)=f(x)=f0(x)=g0(x)exp(x)+g(x)exp0(x)=g0(x)exp(x)+g(x)exp(x): {18{ Dusisg0=0engmoeteenconstantefunctiezijn,zegg(x)=c.Wevindendatf(x)=cexp(x):alle oplossingenvandedierentiaalvergelijkingf0=fzijnveelvoudenvandeexponentielefunctie.Enalswe ooknogeisendatf(0)=1,danmoetf=exp.

Denitie.Wedenierenhetgetaledoor:e:=exp(1).

Enkeleeigenschappenvandeexponentielefunctie.Voorallex;y2Rgeldt: (1)exp(x+y)=exp(x)exp(y); (2)exp(x)>0; (3)exp(x)1+x; (4)exp(x)1

1xvoorx<1;

(5)exp(x)=ex:(14) Bewijs.(1):KiesxenyuitR.Zijhdefunctieu7!exp(x+u)exp(yu).Danisweerh0=0omdat exp

0=exp,dushisconstant.Inhetbijzonderish(y)=h(0),datwilzeggenexp(x+y)=exp(x)exp(y).

(2)volgthieruit:exp(x)=exp(x=2)2>0.(Wehaddenalgeziendatexp(x)6=0.) (3)kunnenwezoinzien:Omdatexp(x)>0voorallex,moetookexp0(x)>0voorallex.Dusexpis eenstriktstijgendefunctie.Omdatexp(0)=1,moetexp(x)<1voorx<0enexp(x)>1voorx>0. Hetzelfdegeldtookvoordeafgeleide.Omdatdefunctiex7!x+1afgeleide1heeft,ishetverschil f(x):=exp(x)(1+x)dalendvoorx<0enstijgendvoorx>0.Dusneemtfin0zijnminimale waardeaan,enweldewaarde0.Dusisf(x)0voorallex2R: exp(x)(1+x)0: Hieruitvolgtdeongelijkheid(3).Deongelijkheid(4)kunjehieruita eidendooreerstxdoorxte vervangen: exp(x)1x; endantebedenkendatexp(x)=1=exp(x),zodat: exp(x)1 1x: Dezeomkeringisnatuurlijkalleenjuistzolang1xpositiefis.

Nubewijzenwe(5):Uit(1)volgtdatvoorp2Nenq2Ngeldt:

 expp q q =exppq+pq+


+pq =exp(p)=exp(1)p=ep; zodatwe(5)bewezenhebbenvoorx=p q.Bovendienis exp  p q =1exppq =1ep=q=ep=q: Dusgeldt(5)voorallerationalex.Metbehulpvandesupremumstellingendecontinuteitvande exponentielefunctiebewijstmenderelatie(5)tenslottevoorallereelex.Ditlaatsteargumentlatenwe overaanhetcollegeAnalyse. {19{ Toepassing1.Benaderhetgetaleindriedecimalenachterdekomma,alleenmetbehulpvande bewerkingen+,,en

vanjerekenmachine. Oplossing.Uiteigenschappen(1)en(3)volgtdatvoorn1: e=np e
n=exp1n n  1+1n n :

Uiteigenschappen(1)en(4)volgtdatvoorn2:

e=exp1 n n 111n n =nn1 n =

1+1n1

n : Wemogenindetweedeongelijkheidnweldoorn+1vervangen.Samenvattend:voorn1geldtdat  1+1 n n e 1+1n n+1 : Vulnuin:n=213=8192.Hetberekenenvanden-demachtisdanhetzelfdealsdertienmaalkwadra- teren.Wevinden:

LeonhardEuler2;7181:::e2;7184:::

Hetgetaleisontdektdoor,envernoemdnaardeachttiende-eeuwsewiskundigeLeonhardEuler.

Denatuurlijkelogaritme

DeexponentielefunctieiseenstriktstijgendecontinuefunctieR!(0;1)dieallepositievewaarden aanneemt.2GezienalsfunctieR!(0;1)iszedusinjectiefensurjectief.Wedeniereneenfunctie log:(0;1)!Ralsdeinversevandeexponentielefunctie: log=exp1: Dezefunctiewordtdenatuurlijkelogaritmeoflogaritmemetgrondtalegenoemd.Integenstellingtot watjewaarschijnlijkgewendbent,gevenwedenatuurlijkelogaritmemet`log'aan,nietmet`ln'.Ditis indewetenschappelijkeliteratuurgebruikelijk. Eigenschappen.Voorallepositievegetallenaenbenreelegetallenxgeldt: (1)log(ab)=loga+logb (2) a1 alogaa1 (3)ax=exloga Dezeeigenschappenvolgenuitdeeigenschappen(14)vandeexponentielefunctie.

Opgaafje19.Gaditna.

2Ditisnietzovanzelfsprekendalshetlijkt.

{20{ Voorbeeld1.Onderalogbverstaatmendemacht(alsdezebestaat)waartoewehetpositievegrondtal amoetenverheenomerhetpositievegetalbuittekrijgen.Drukalogbuitinlogaenlogb.

Oplossing.Wezoekeneenoplossingvandevergelijking

a x=b: Wegenseigenschap(3)vandenatuurlijkelogaritmeisditequivalentmet e xloga=b;datwilzeggenxloga=logb:

Dushetantwoordis:

alogb=logb loga:

Defunctiessinusencosinus

(1,0)(cos t , sin t) (-sin t , cos t) t Devolgendeeeuwigdurendedraaibewegingdientalswiskun- digmodelvoorrotatiesenharmonischetrillingenindena- tuur: eenpuntbeweegtzichlangsdeomtrekvandeeenheidscir- kel|decirkelinR2metmiddelpunt(0,0)enstraal1| metconstantesnelheid1tegendewijzersvandeklokin.

Optijdstip0bevindthetzichinhetpunt(1,0).Decom-

ponentenvandezebewegingzijntweefunctiesR!R.

Ditzijndecosinusendesinus.

Ineenanalytischebeschrijvingvandezefunctiesgaatmentewerkalsbijdeexponentielefunctie:men postuleert(eist)eersteenpaareenvoudigeeigenschappen,enleidtdaaralleverderekennisoverdefuncties cosinusensinusuitaf.Inditcollegezijnwenietzoconsequent:zoafentoeleidenweookweleens ietsafuithetplaatje.Dusalsweietsoverdefunctiescosensinwillenbewijzen,dankunnenwekiezen uiteenmeetkundigbewijs,gebaseerdophetplaatjevandeeenheidscirkel,eneenanalytischbewijs,dat we`metdeogendicht'kunnenbaserenopdegrondeigenschappen.Zulkebewijzenzienermeestalheel verschillenduit.

Grondeigenschappen.

cos0=1sin0=0 cos

0=sinsin0=cos

(15) Bewering6.Degrondeigenschappen(15)leggendefunctiescosensinhelemaalvast. {21{ Bewijs.SteldattweefunctiesCenS:R!RookvoldoenaanC(0)=1,S(0)=0,C0=Sen S

0=C.Danmoetvoordefunctie

f:R!R:t7!(cos(t)C(t))2+(sin(t)S(t))2: hetvolgendegeldenopgrondvandeproductregelvoordierentatie: f

0(t)=2(cos(t)C(t))(sin(t)+S(t))+2(sin(t)S(t))(cos(t)C(t))=0:

Dusf(t)=f(0)=0voorallet2R,datwilzeggenC=cosenS=sin.

Stellinkje7.Voorallet2Rgeldt

cos

2t+sin2t=1:

Bewijs.Meetkundig:Hetpunt(cost;sint)ligtopdeeenheidscirkel.Hetstellinkjevolgtdaaromuitde stellingvanPythagoras. Analytisch:Denieerf(t)=cos2t+sin2t.Uitdeproductregelvoordierentiatieenuitdegrondeigen- schappenvolgtdat f

0(t)=2costcos0t+2sintsin0t=2cost(sint)+2sintcost=0:

Dusfiseenconstantefunctie.Omdewaardevanftevinden,berekenenwehaarvoort=0: f(0)=cos20+sin20=1+0=1: Optelformulesvoorsinencos.Voorallereelegetallensentgeldt: cos(s+t)=cosscostsinssint sin(s+t)=sinscost+cosssint(16) twv s(-sin t, cos t)(cos t, sin t) (cos(s+t), sin(s+t))

Bewijs.Meetkundig:Devector~vinhetplaatje

heeftcomponenten(cost;sint),endevector~wwordt verkregendoor~vovereenrechtehoeklinksomte draaien:~w=(sint;cost):Uithetplaatjelezen wenuafdat: (cos(s+t);sin(s+t))=coss
~v+sins
~w=coss(cost;sint)+sins(sint;cost) =(cosscostsinssint;cosssint+sinscost): Opgaafje20.Geefzelfeenanalytischbewijs.Aanwijzing:kiess;t2Rvastendenieer {22{ g:R!R:u7!cos(s+u)cos(tu)sin(s+u)sin(tu), h:R!R:u7!sin(s+u)cos(tu)+cos(s+u)sin(tu). Laatvervolgensziendatg0=h0=0,enconcludeerhieruitdatg(0)=g(t)enh(0)=h(t). Hetgetal.Deomtrekvandeeenheidscirkelwordt2genoemd.Deeeuwigdurendecirkelbeweging istelkensnaeentijd2inzijnuitgangspuntterug:hijheeftperiode2.Dusookdecosinus-ende sinusfunctiehebbendezeperiode.Datwilzeggen:voorallex2Renvoorallegehelegetallenk: cos(x+2k)=cosxensin(x+2k)=sinx: (Ditzoudenweookuitdegrondeigenschappenvandesinusendecosinuskunnena eiden,maardatdoen wehierniet.)Hetgetaliseentranscendentgetal.Datwilzeggen:hetisgeenbreuk,maarooknietde oplossingvaneenvierkantsvergelijking,derdegraads-vergelijking,vierdegraads-vergelijking,ofhoehoog ook,metgeheeltalligecoecienten.Erzijnvelemiljardendecimalenvanberekend,maarindezerij decimalenisgeenregelmaatontdekt.Menvermoedtdatzeallestatistischeeigenschappenheeftvaneen toevalsrij.

Tangens.Defunctietg,gedenieerddoortgx=sinx

cosxvooraldiereelegetallenxwaarvoorcosx6=0, voldoetaan: tg

0x=1+(tgx)2=1

(cosx)2 tg(x+y)=tgx+tgy

1tgxtgy

Hyperbolischefuncties

Defunctiessinh(spreekuit:sinushyperbolicus)encoshzijngedenieerddoor sinh(x):=exex 2; cosh(x):=ex+ex 2: Zezijnnauwverwantaandesinusendecosinus,zoalsblijktuitdevolgendeeigenschappen: cosh0=1sinh0=0 cosh

0=sinhsinh0=cosh

Verdergeldtnog:

cosh

2xsinh2x=1:(17)

Netalsbijdegoniometrischefunctiesdenieertmen:

tghx:=sinhx coshx; dieookweervoldoetaan tgh

0x=1(tghx)2=1

(coshx)2; tgh(x+y)=tghx+tghy

1+tghxtghy:(18)

{23{ Watdesinusendecosinuszijnvoordedraaiingeninhetvlak,zijndehyperbolischefunctiesvoorde Lorentz-transformatiesuitdespecialerelativiteitstheorie.Detangenshyperbolicusspeelthierbijderol vanv=c:desnelheidgemetenalsfractievandelichtsnelheid.

Arcsinus,arccosinusenarctangens

arcsin:[1;1]![

2;2]isdeinversevansin:[2;2]![1;1]

arccos:[1;1]![0;]isdeinversevancos:[0;]![1;1] arctg:R!(

2;2)isdeinversevantg:(2;2)!R

Berekeningvaninversefuncties

Somskunjedeinversevaneengegevenbijectievefunctiefexplicietberekenen:beginmety=f(x), endrukxuitiny.Helaasluktditnietaltijd.Welkunjealtijddegraekvanf1tekenen,wantdie ontstaatuitdegraekvanfdoorverwisselingvanderollenvanxeny.Of,andersgezegd:degraek vanf1ishetspiegelbeeldvandegraekvanfomdelijnx=y.

Voorbeeld2.Berekendeinversevandefunctiesinh:R!R.

Oplossing.Alsy=sinhx,danisex=coshx+sinhx=p

y2+1+y;dus x=log y+p y2+1 : Hiermeehebbenwevoorsinh1eenfunctievoorschriftgevonden:sinh1(x)=log x+p x2+1 . {24{

OpgavenbijHoofdstuk3

Opgave21.Zijf:R!Rgedenieerddoorf(x)=7+5p

3x2.

Berekendeinversevanf.

Opgave22.Zijxeenreeelgetalmettgx=7.Berekentg3xexact. Opgave23.Zijf:[0;3)![1;5]gedenieerddoorf(x)=1+4xx2. a)Isfinjectief? b)Isfsurjectiefop[1;5]?

Opgave24.Berekensin

12exact.

Opgave25.Bewijsdatvoorallex2(0;1)geldt:logx2p

x2. Opgave26.WedenierenfunctiesfengvanRnaarRdoorf(x)=logx2+1
eng(x)=e3x.

Berekengfenfg.

Opgave27.Tekengraekenvandefunctiesarcsin,arccosenarctg.

Opgave28.Tekengraekenvandefunctiescoshensinh.

Opgave29.Wedenierenf:(5;1)!Rdoorf(x)=p

x5.Bepaal(logf)1

Opgave30.Bepaalarctgp

3enarctg(1).

Opgave31.Tekeneengraekvandefunctiex7!arcsinx+arccosx(x2[1;1]).

Verklaarhetsaaiekaraktervandezegraek.

Opgave32.Tekeneengraekvandefunctiex7!arctgx+arctg1 x(x2R;x6=0).

Verklaarhetsaaiekaraktervandezegraek.

Opgave33.Bepaaldeinversevandefunctiex7!arctgex(x2R) Opgave34.Geefeenformulevoordeinversevandefunctiecosh:[0;1)![1;1). {25{

4Decomplexeexponentielefunctie

Wehebbendereeleexponentielefunctiegedenieerddoortweegrondeigenschappenteeisen (i)exp0=exp, (ii)exp(0)=1. Doorinverterenwerdvervolgensdelogaritmegedenieerd.Opdezelfdemaniergaanwetewerkom complexefunctiesexpenlogteconstrueren:latenweeenskijkenofweeenfunctieexp:C!Ckunnen vindendieaandeeisen(i)en(ii)voldoet. Inhetreelegevalkwamenweuitopeenfunctiemetdevermenigvuldigingseigenschap (iii)exp(+)=exp()exp():

Datzalooknuweerhetgevalblijkentezijn.

Latenwevoorhetmomentde`oude'exponentielefunctieaanduidenmetex.Wezijnopzoeknaareen nieuwefunctieexp:C!Cmetdegrondeigenschappen(i)en(ii).Voorx2Rvindenwenatuurlijk directweer: exp(x)=ex:(19) Maarwatgebeurteralshetargumenteenimaginairdeelkrijgt?Latenweeenseenx2Rvastkiezenen danvoorwillekeurigey2Rhetreeleenimaginairedeeleennaamgeven: exp(x+iy):=f(y)+ig(y):(20) Vergelijking(19)levertdan:f(0)=exeng(0)=0.Doornurelatie(20)linksenrechtstedierentieren vindenwedat f

0(y)+ig0(y)=d

dyexp(x+iy)=iexp0(x+iy)=iexp(x+iy)=i(f(y)+ig(y))=g(y)+if(y): Hierhebbenwedegewonedierentiatieregelsgebruikt,dievoorcomplexwaardigefunctiesnetzoopgaan. Weconcluderendatf0=geng0=f.Afgezienvandefactorexzijnditpreciesdevergelijkingen waardoorwedecosinus-endesinusfunctiegedenieerdhebben!Dusmoetf(y)=excosyeng(y)= e xsiny.Wehebbenonzecomplexeexponentielefunctiegevonden.

Denitie.

exp(x+iy):=ex(cosy+isiny) yexexp(x+iy) {26{ Stelling8.Dezefunctieexpvoldoetaan(i),(ii)en(iii). Bewijs.Hetbewijsvan(i)stellenweuittotHoofdstuk7.(ii)isduidelijk:e0(cos0+isin0)=1. Eigenschap(iii)volgtuitdewetvanabsolutewaardeenargument: exp(x+iy)exp(s+it)=ex(cosy+isiny)es(cost+isint) =ex+scos(y+t)+isin(y+t)
=exp(x+s)+i(y+t)
: Voortaanzullenweezschrijvenvoorexp(z),ookalsznietreeelis,ookalishetverbandmetmachtsver- heennuwelergvaaggeworden.Raadselachtigisinhetbeginvooralhet`ronddraaiende'karaktervan deexponentielefunctieindeimaginairerichting: ei'=cos'+isin' Zobrengtdevergelijkingei=1dedriebijzonderegetallene,ienvande`hogerewiskunde'op onverwachtewijzesamen.

Decomplexelogaritme

Struikelblokbijhetdenierenvaneencomplexelogaritme,endaardoorookbijcomplexemachten,isdat decomplexeexponentielefunctiehelemaalnietinverteerbaaris!Defunctieezheeftimmersperiode2i: e z+2ik=ez;(k2Z): Alsnuw=ez=ez+2i=ez+4i=:::,welkgetalmoetenwedanlogwnoemen:zofz+2iofz+4i of:::?Hiermoetietsafgesprokenworden,enzo'nafspraakheeftonvermijdelijkietswillekeurigs:Van allekandidatendieinaanmerkingkomenomlogwgenoemdteworden,ligterprecieseenindestrook

S:=fx+iyj

Dezenoemenwe:logw.

Denitie.Defunctielog:Cnf0g!SisdeinversevandebijectieS!Cnf0g:z7!ez. Kortom,alsw6=0,dankunnenwewschrijvenalsex+iy=ex(cosy+isiny),metx+iyindestrookS, datwilzeggen:Informule:

logw=logjwj+iargw Waarschuwing.Metdekunstmatigeconventiedathetimaginairedeelvaneenlogaritme,ofeenargu- ment,altijdtusseneninmoetliggen,omzeilenwehetniet-inverteerbaarzijnvandeexponentiele functie.Hiervoorbetalenweeenprijs:nietvoorallecomplexegetallenvenwgeldt log(vw)=logv+logw: Linker-enrechterlidkunnengelijkzijn,maarookeenverschilvan2ivertonen. {27{

Complexewortels

Ookvoorhetbepalenvandeworteluiteencomplexgetalziseenconventienodig.Erzijnimmersaltijd tweecomplexegetallenwaarvanhetkwadraatzis(tenzijz=0).Wesprekenafdatwehetgetalnemen waarvanhetargumentinhetinterval(

2;2]ligt.Andersgezegd:

pz:=exp12logz

Meerinhetalgemeendenierenwe

npz:=exp1nlogz

Complexemachten

Dronkenvanhetsuccesproberenwenuwillekeurigecomplexemachtentedenieren: z :=exp(logz)voorz2Cnf0g;2C! Ditisechtereengevaarlijkebezigheid.Doordeindedenitievandelogaritmebinnengeslopenwillekeur zijnbijnaallemooieeigenschappenvanmachtenverlorengegaan.Zogeldendevolgendeformulesniet meeralgemeen: (uz)=uzaenz=(z):

Bijvoorbeeld:(1)
(4)

1

26=(1)12(4)12

i (4
1

2)6=(i4)12:

Lineairedierentiaalvergelijkingen

Eendierentiaalvergelijkingiseenvergelijkingwaarindeonbekendeeenfunctievoorstelt,enwaarin haarafgeleideofeenafgeleidevanhogereordevoorkomt.(Deafgeleidef0vaneenfunctiefheetde afgeleidevaneersteorde,f00deafgeleidevantweedeorde,etcetera.)Eenfunctieiseenoplossingvanzo'n dierentiaalvergelijkingalshetinvullenvandiehelefunctiedevergelijkingwaarmaakt.Zoisdefunctie expeenoplossingvandedierentiaalvergelijkingf0=f. Exponentielegroeiofverval.Dezetreedtopinsituatieswaardetoe-ofafnamevaneengrootheid evenredigismetdewaardevandiegrootheidzelf.Voorbeelden: -detoenamevaneenongeremdgroeiendebacteriekolonie, -detoenamevankapitaalondereenvastrentepercentage, -deafnamevanderadioactiviteitvaneenhoeveelheidmateriaalonderradioactiefverval. Ditexponentieleverloopwordtbeschrevendoordedierentiaalvergelijking f

0(t)=f(t):

Hetisnietmoeilijkhiereenoplossingvoortevindendooreenbeetjeaandeexponentielefunctiete morrelen: f(t)=exp(t)=et:

Ditisnietdeenigeoplossing:ookdefunctie

f(t)=c
et voldoet.Meerzijnerniet.(ZiehetbewijsvanBewering5inHoofdstuk3.) {28{ Voorbeeld3.AtomenvanstofAvallenspontaanuiteen.Iederatoomheeftpertijdseenheiddezelfde kansomuitelkaartevallen.Hetaantaldathetdandoetisevenredigmethettotaalaantaldateris, latenwezeggenA0(t)=1

100A(t).BerekendehalfwaardetijdT.

Oplossing.UitdedierentiaalvergelijkingvolgtA(t)=A(0)e1 100t.

DusuitA(T)=1

2A(0)volgtT=100log2.

Gedemptetrillingen.

Latenwenueenskijkennaardelineairedierentiaalvergelijkingvantweedeorde f

00(t)+

f0(t)+f(t)=0 metcomplexeconstantenen .Omdatrechtseen0staat,wordtzehomogeengenoemd.

Alsen

beidepositiefzijn,isditdebewegingsvergelijkingvooreenvoorwerpmetmassa1datdooreen veermetveerconstantenaarzijnnulpositiewordtgetrokken,enwaarvandebeweginggedemptwordt meteen`dempingscoecient' . Weprobereneerstweereenseenfunctievanhettypef(t)=et.Zo'nfunctieisinderdaadeenoplossing vanonzedierentiaalvergelijkingals  2et+ et+et=0; dusalsvoldoetaandevierkantsvergelijking  2+ +=0:

Inhetalgemeenzijnervoortweeoplossingen(metsom

),  :=1 2 p 24 : Aandedierentiaalvergelijkingvoldoennietalleendefunctiese+tenet,maarookallelineairecom- binaties f(t)=Aet+Be+t

Bewering.Als

26=4,danzijnditalleoplossingen.Als

2=4,danisdemeestalgemeneoplossing

f(t)=(At+B)e12 t Bewijs.WepassenweerdemethodetoeuithetbewijsvanBewering5inHoofdstuk3:steldatf(t)= e +tg(t)aandedierentiaalvergelijkingvoldoet.Dangeldt: g

00(t)+(+)g0(t)=0:(Rekenna!)

Alsnu

26=4,danis+6=,zodat

g

0(t)=Ce(+)t;endusg(t)=Ae(+)t+B:

Hieruitvolgtdat

f(t)=g(t)e+t=Aet+Be+t:

Anderzijds,als

2=4,danmoetgvoldoenaang00(t)=0,zodatg(t)=At+B.

{29{

Reeleoplossingen.

Latenweevenapartkijkennaarhetgevaldat;

0,enalleenlettenopreelef.Ditisdefysische situatievaneengedemptetrilling.

Weonderscheidendriegevallen:

>Superkritischedemping:Als

2>4,danzijn+enbeidereeel,enwevindenallereele

oplossingenfdoorAenBreeeltekiezen. =Kritischedemping:Als

2=4,danvindenweallereeleoplossingenfdoorAenBreeeltekiezen.

2<4,danis  =1 2 i!; waarbij!:=1 2p4

2.IndatgevalisfalleenreeelalsB=A.Wekunnendeoplossingdan

schrijvenals f(t)=e1 2 tCcos!t+Dsin!t); waarbijC=A+B=2ReAenD=i(AB)=2ImA.

Voorbeelden.

1.Deoplossingvanf00(t)+5f0(t)+6f(t)=0isf(t)=C1e2t+C2e3t.

2.Deoplossingvanf00(t)+4f0(t)+5f(t)=0isf(t)=C1e2tsint+C2e2tcost.

3.Deoplossingvanf00(t)+4f0(t)+4f(t)=0isf(t)=C1te2t+C2e2t.

DoorextravoorwaardenvoordeoplossingkunnenC1enC2vastliggen.Inhetlaatstevoorbeeld:als voldaanmoetzijnaanf(0)=f0(0)=1,danmoetenC1enC2voldoenaan1=C2en1=C12C2.De oplossingisdanf(t)=3te2t+e2t=(3t+1)e2t. Voorbeeld4.Zoekdeoplossingvanf00(t)+9f(t)=0dievoldoetaanf(0)=5enf0(0)=3. Oplossing.Ditishetgevalzonderdemping.Dealgemeneoplossingisf(t)=Ccos3t+Dsin3t. Invullingvande`randvoorwaarden'leidttotC=5enD=1,endusf(t)=5cos3t+sin3t.

±0.200.20.40.60.81

0.511.522.53

t

Oplossingvanf00+

f0+5f=0voor =2;2p

5en6metbeginconditiesf(0)=1enf0(0)=1

{30{

OpgavenbijHoofdstuk4

Opgave35.Schrijfdevolgendecomplexegetallenindevorma+ib. (a)p i; (b) 3p 1; (c)(3p i)5; (d) 3p i5; (e)ei=2; (f)log(1+i); (g)log2+i 2i.

Opgave36.Bepaalallefunctiesfdievoldoenaan:

(a)f00(t)=3f(t)+2f0(t) (b)f00(t)=2f0(t) (c)f00(t)=4f(t)+2f0(t)

Opgave37.

(a)Zij!eenvastreeelgetal.Voorwelke(complexe)waardevanAisdefunctiet7!Aei!teen oplossingvandedierentiaalvergelijkingf00(t)+2f0(t)+5f(t)=ei!t? (b)Noemdein(a)gevondenwaarde:A(!).Voorwelkewaardevan!isjA(!)j2maximaal? (Ditwordtderesonantiefrequentievandegedempteharmonischoscillatormetparameters2en5 genoemd.jA(!)j2isderesonantie-intensiteitbijfrequentie!.) {31{

5Veeltermfuncties

Deeenvoudigstefunctieszijnveeltermfuncties.Ditzijndefunctiesdiejekuntberekenenmetalleende operaties+en. Denitie.Eenveeltermfunctiep:R!Rofp:C!Cvandegraadniseenfunctiedieerzouitziet: p(z)=a0+a1z+a2z2+a3z3+


+anzn;(an6=0):(21) Hierbijzijna0;a1;a2;:::;anreelerespectievelijkcomplexeconstanten.Eenveeltermfunctievandegraad

0iseenconstantefunctie,nietgelijkaan0.Eenveeltermvandegraad1iseenlineairefunctiez7!az+b,

eenveeltermfunctievandegraad2eenkwadratischefunctiez7!az2+bz+c,etcetera.Denulfunctie heeftgeengraad,ofalsjewiltgraad1.

Dehoofdstellingvandealgebra

Hetbelangrijkstewatjemoetwetenoverveeltermenishoejezedoorhetbepalenvanhunnulpuntenin factorenkuntontbinden.Webeginnenmeteenvoorbeeld. Voorbeeld5.Zoekdenulpuntenvandekwadratischeveeltermz28z+25.

Oplossing.

z

28z+25=0()z28z+16=9

()(z4)2=9 ()z4=3i ()z=43i: Alseenveeltermpeennulpuntheeft,(d.w.z.alsp()=0),dankunjeeenfactorzuitdelen,enzo degraadvanjeveeltermverlagen.Ditisdeeerstestellingvandithoofdstuk. Inhetvoorbeeldkunnenwedittweemaaldoen,enkrijgenwedeontbindinginfactoren: z

28z+25=z(4+3i)
z(43i)
:

(Rekennadatditinderdaadklopt.) NuishetmooievanhetlichaamCvandecomplexegetallen,dathierinelkeveeltermvangraad1 minstenseennulpuntheeft.Ditresultaat,datwealaangekondigdhebbenindeaanhefvanHoofdstuk

2,vormtdetweedestellingvanditHoofdstuk.

DoordebeidebovengenoemdestellingentecombinerenkomenwetotdeHoofdstellingvandeAlgebra, diezegtdatjeelkecomplexeveeltermhelemaalinfactorenvanhettypezkuntontbinden.

Daargaat-ie!

Denitie.Zijpeenveeltermfunctievandegraadn1.Wezeggendatpdeelbaarisdoorzalser eenandereveeltermqbestaat(vandegraadn1)zodatvoorallezgeldt: p(z)=(z)q(z): Stelling9.Als2Ceennulpuntisvaneenveeltermfunctiep,danispdeelbaardoorz. {32{ Bewijs.Eerstmerkenweopdatvoork1deveeltermzkkdeelbaarisdoorz.Immers: z kk=(z)zk1+zk2+2zk3+:::+k2z+k1
:(22) Zijnup(z)=a0+a1z+a2z2+:::+anzn,enneemaandatp()=0.Dangeldtvoorallez(bedenkdat z

0=0=1):

p(z)=p(z)p()=nX k=0a k(zkk)=nX k=1a k(zkk):

Omdatzkkvoork1deelbaarisdoorz,isphetook.

Voorbeeld6.Ontbinddevolgendeveelterminfactoren:

p(z)=z34z2+9z10: Oplossing.Eenderdegraadsveeltermfunctiemetreelecoecientenmoetminstenseenreeelnulpunt hebben.Meteenbeetjezoeken(p(0)=10<0,p(1)=4<0,p(3)=8>0,aha!p(2)=0)vindenwe zo'nnulpunt:2.Dusmoetpdeelbaarzijndoorz2.Dooruitdelenvindenwedat p(z)=(z2)(z22z+5):

Maarvoordiekwadratischveeltermhebbenweeenmethode:

z

22z+5=(z1)2+4=(z1+2i)(z12i):

Dus p(z)=(z2)(z1+2i)(z12i): Stelling10.Elkeveeltermvangraad1heeftinCminstenseennulpunt. Menzegtookwel:decomplexegetallenzijnalgebraschvolledig.Metdeinvoeringvandecomplexe getallenhebbenweineenklapeensoorteindstadiumbereikt:omveeltermvergelijkingenoptekunnen lossenhoevenweonzegetallennietverdermeeruittebreiden.Dezealgebraschevolledigheidvande complexegetalleniseendiepzinnigestellinguitdeAnalyse.Erzijnhonderdenjarenverlopenvanafde eerstenotievancomplexegetallenbijCardanototheteerstebewijsvandezestellingdoorGauss.Het bewijsvindjeinboekenovercomplexefunctietheorie.(Ziebijvoorbeeld[Kor]of[Rud2].) Alsgevolgvandevoorgaandestellingen9en10wetenwenudatelkeveeltermfunctiepmetcomplexe coecientenzoinfactorenkanwordenontbonden: Stelling11:HoofdstellingvandeAlgebra.Zijpeencomplexeveeltermvandegraadn1.Dan bestaanercomplexegetallenc;1;2;


;nzodat p(z)=c(z1)(z2)(z3)


(zn): Bewijs.OpgrondvanStelling10heeftpeennulpunt,zeg1.OpgrondvanStelling9kunnenwep delendoorz1.Hetquotientiseenveelterm|zegp1|vandegraadn1.Alsn1=0,danis dezeconstant,enzijnweklaar.Alsn11,danheeftookp1weereennulpunt,zeg2.Deelz2 uit:p2(z):=p1(z)=(z2).Etcetera.Deprocedurestoptnanstappen;danstuitenweopeenveelterm vandegraad0,eenconstante,diewecnoemen.(Ganadatfeitelijkc=an.) Hetisnietzomoeilijkinteziendatpmaaropeenmanierinfactorenvandevormzkanworden ontbonden,afgezienvandevolgordevandezefactoren. {33{ Gevolg.Eenveeltermvandegraadnkannooitmeerdannnulpuntenhebben.Welminder:hetis mogelijkdatsommigevandegetalleninhetrijtje1;2;:::;nsamenvallen.Hetaantalkerendateen nulpuntinditrijtjevoorkomtwordtzijnmultipliciteitgenoemd.Desomvandemultipliciteitenvanalle nulpuntenisn. Waarschuwing.Datdenulpuntenerzijnbetekentnognietdatjezekuntvinden!Explicieteformules voordenulpuntenvanwillekeurigeveeltermenintermenvanwortelfunctiesbestaanalleenvoorn4.

Numeriekebenaderingenzijnnatuurlijkwelmogelijk.

Toepassing2.Ontbinddevolgendeveelterminfactoren:z816. Oplossing.Wezoekeneerstdenulpuntenvanz816.Alsz8=16,danisjzj=p

2enmogenwe

schrijven:z=p

2ei'.VolgensderegelvanDeMoivrewordtonzevergelijking

16e8i'=16()8'=2k;(k2Z)()'=0;

4;2;34;;54;32;74(mod2):

Dusdenulpuntenzijnp

2;1+i;ip2;1+i;p2;1i;ip2;1i;

endeontbindingis z

816=(zp

2)(z1i)(zip2)(z+1i)(z+p2)(z+1+i)(z+ip2)(z1+i):

Maarhetkannatuurlijkookzo:

z

816=(z44)(z4+4)=(z22)(z2+2)(z22i)(z2+2i)

=(zp

2)(z+p2)(zip2)(z+ip2)(z(1+i))(z+(1+i))(z(1+i))(z+(1+i)):

Reeleveeltermfuncties

Alsdecoecientenvaneenveeltermpreeelzijn,danisvoorallez2C: p(z)=p(z),envolgensde HoofdstellingvandeAlgebramoetdusvoordeontbindinginfactorengelden (z1)(z2)(z3)


(zn)=p(z)=c= p(z)=c=(z1)(z2)(z3)


(zn) =(z 1)(z2)(z3)


(zn):

Hieruitvolgt:

Lemma12.Alseennulpuntisvaneenveeltermpmetreelecoecienten,danis ookeennulpunt vanp,metdezelfdemultipliciteit. Gevolg13.Alsnonevenis,moetminstenseenvandenulpuntenopdereeleasliggen. Ditwistenwenatuurlijkal,maarnuzienwehetnogeensopeenanderemanier. {34{

OpgavenbijHoofdstuk5

Opgave38.Losdevolgendevierdegraadsvergelijkingopindecomplexegetallen: z

44z3+6z24z=0:

Opgave39.Ontbinddevolgendeveelterminfactoren:

z 6+1:

Opgave40.Zoekreeleconstantenaenb,zodat

1

1+x2=a1+ix+b1ix:

Opgave41.Doorbovenstaandevergelijkinglinksenrechtsteprimitiverenkrijgjeeenverbandtussende reelefunctiearctgendecomplexelogaritme.Schrijfditop.Kunjeditverbandookmeetkundig begrijpen? Opgave42.Bepaaldesomvandeoplossingenvandevergelijking z

5+13z4=11z+87:

Aanwijzing:Dezevergelijkingheeftvijfverschillendeoplossingen;gebruikdeHoofdstelling. {35{

6Rijenenreeksen

Inveelsituatieskrijgjetemakenmetoneindigvoortlopenderijenvanreeleofcomplexegetallen.We geveneenpaarvoorbeelden: (a)1,1

2,13,14,15,16,:::

(b)0,1,4,9,16,25,36,::: (c)1,i,1,i,1,i,1,i,::: (d) 1

10,14100,1421000,142810000,14285100000,1428571000000,:::

(e)1,5

6,2536,125216,6251296,:::

(f)1,1,2,3,5,8,13,21,54,85,::: Denotatiemet`:::'suggereertdathetgegevenbeginstukdehelerijvastlegt.Datisnatuurlijknietzo. Maarwelkunjeindegevallena,b,c,eneeenformuletjegokkenvoorden-determ,waarmeejezelfde rijkuntvoortzetten.Ookindegevallen(d)en(f)springteenregelmaatinhetoog,aliseenformule voorden-determaanzienlijkmeerwerk.Daarnaastbestaanernatuurlijknogheelveelrijenzonder regelmaat.

Convergentie

Vaakishetnuttigvaneenrijtewetenhoezijn`staart'zichgedraagt.Groeiendetermenonbeperktaan? Blijvenzeineenbepaaldgebiedopenneerspringen?Ofkomendetermenergdichtindebuurtvaneen bepaaldeconstante?M.a.w.:heeftderijeen`limiet'? Wegaannuspeciaalopdelaatstevraagin.Wezullenereenheelpreciezeinterpretatievanmaken.

Stelwehebbeneenrijgetallen

a

0;a1;a2;a3;a4;a5;a6;:::

Ondereenstaartvandezerijverstaanweeenrijvandevorm

a

N;aN+1;aN+2;aN+3;aN+4;:::

Zo'nstaartwordtuitdeoorspronkelijkerijverkregendoordeeersteNtermenteschrappen.

Stelnu,iemandlegtonseengetallvoorenvraagt:

Isereenstaartvanderijtevindenwaarinalletermendichtbijlliggen? Hetantwoordzalerwelvanafhangen,wathijbedoeltmet`dichtbijl'.Nemenwederij(c)hierboven, enl=1,danishetantwoordbevestigendals`dichtbijl'betekent:`binneneencirkelmetstraal100', maarontkennendalshetbetekent`binneneencirkelmetstraal1 2'. Wezullenzeggendatderija0;a1;a2;a3;:::naarlconvergeertalshetantwoordopdevraag`ja'isvoor elkeinterpretatievanhetbegrip`dichtbij'. Andersgeformuleerd:Alsikbeweerdatderijnaarlconvergeert,dandaagikdehelewerelduit:`Zeg mijmaarwatjemet`dichtbijl'bedoelt;Danzalikeenstaartaanwijzendielouterbestaatuitgetallen dichtbijl.'Iemanddieopdeuitdaginginwilgaanzegtbijvoorbeelddat`dichtbijl'moetbetekenen: `minderdan1

1000vanlaf'.Ikhebmeverplicht,daneenrangtelnummerNaantewijzen,zodatde

getallenaN;aN+1;aN+2;aN+3;


allemaalinhetschijfje(inhetcomplexevlak)metmiddelpuntlen straal 1

1000liggen.Maarikhebdeverplichtingaangegaanzondertewetendatmenmethetgetal11000

aanzoukomen;ikwasookvoorbereidop1

12345,1012of16.Kortom:als"zomaareenpositiefgetal

{36{ is,dankaneriemandkomendie`dichtbijl'uitlegtals`minderdan"vanlaf';endanmoetikhemvan repliekkunnendienendooreengeschikteNtenoemen.

Zokomenwetotdevolgendeformeledenitie.

Denitie.Derija1;a2;a3;:::convergeertnaarhetgetallalshetvolgendegeldt: Voorelkpositiefgetal"datmenonsvoorlegtkunnenweeenstaartvanderij vindenwaarvandetermenallemaalinhetschijfjefz2Cjjzlj<"gliggen.

Compactgeformuleerd:Deuitdrukking

lim n!1an=l betekent

Vooralle">0isereenA2Rzodatvoorallen>A:janlj<".

Dezedenitievanhetlimietbegripgaatovereencomplexerij.Maaromdatdereelegetallenopeenlijn inhetcomplexevlakliggen,kanzijongewijzigdopeenrijreelegetallenwordentoegepast.Wiegeenzin heeftomaancomplexegetallentedenken,maghetschijfjefz2Cjjzlj<"gindeeerstedenitie vervangendoorhetinterval(l";l+").Detweededenitie(met\janlj<"")verandertniet.

Totslot:

Eenrijdieergensnaarconvergeertheetconvergent.

Eenrijdienietergensnaarconvergeertheetdivergent.

Calculusiseendeelvandeanalyse,endegrondslagvandeanalyseishetlimietbegrip.Ditisvoorhet eerstpreciesvastgelegddoorA.Cauchy.

A.Cauchy(1789{1857)

Toepassingopdevoorbeelden(a){(f).

(a)Ikbeweerdatderij1;1

2;13;14;15;:::naar0convergeert.M.a.w.:ikdurftewedden:alsjemeeen

positiefgetal"noemt,dankanikdaareenNbijmakenzodatdegetallen1

N;1N+1;1N+2;1N+3;:::

minderdan"van0afliggen.Waarhaalikdemoedvandaan?

Wel,ikhebeenrecept:

NeemA:=1

";

N:=deafrondingvanAnaarboven.

Alsjenumetje"aankomt,enikmaakmijnAvolgensmijnrecept,dangeldtvoorallenmetnA (dusvanafn=N)dat0<1 n<1A=".Dus1n2(";").Endatiswatikwilde. {37{ (b)Ditiseendivergenterij.Geenenkelestaartervanpastineencirkelschijf,hoegrootdezeookgekozen wordt. (c)Ookdezerijdivergeert.Immers,alsikbeweerdatderijconvergeerteniemandgeeftmijeen" kleinerdan1,dankomikinmoeilijkheden,wantelkestaartbevatsteedsweerdepunten1,i,1en i.Dezepuntenpasseningeenenkeleschijfmetstraalkleinerdan1. (d)Dezerijconvergeertnaar1

7,tevenshetsupremumvanderij.(ZieHoofdstuk1.)Voorstijgenderijen

zijndelimietenhetsupremumhetzelfde.

Limietensupremum

Weformulerenditlaatstenuietspreciezer.Eerstietsoverhetstijgenendalenvanrijen. Hetwiskundiggebruikvandewoorden`stijgend'en`dalend'voorrijenis,netalsvoorfunctiesinHoof- dstuk3eenbeetjeongewoon:

Denitie.Wenoemeneenrija0;a1;a2;:::

stijgendalsan+1anvoorallen2N;enstriktstijgendalsan+1>anvoorallen2N; dalendalsan+1anvoorallen2N;enstriktdalendalsan+1Elkedalendebegrensderijconvergeertnaarzijninmum. Bewijs.Hetisvoldoende,alleendeeerstebeweringtebewijzen.Zija0a1a2:::,enzijshet supremum.Geefmijmaareen">0.Omdatsdekleinstebovengrensis,iss"geenbovengrens.Dus isereenterminderij,zegaN,datgroterisdans".Enomdatderijstijgendis,enseenbovengrens, geldtvoorallenN: s"Terugnaardevoorbeeldrijen. (e)Dezerijheeftalsformuleen=5 6
n:Hijisconvergent.

Voorhetbewijshiervanhebbenwehulpnodig:

Lemma15:DeongelijkheidvanBernoulli.Laatxeenreeelgetalzijnmetx>1.Dangeldtvoor allen2N: (1+x)n1+nx:

Bewijs.Ergeldt

(1+x)0=1=1+0
x (1+x)1=1+x=1+1
x (1+x)2=1+2x+x21+2x (1+x)3=(1+x)2(1+x)(1+2x)(1+x)=1+3x+2x21+3x (1+x)4=(1+x)3(1+x)(1+3x)(1+x)=1+4x+3x21+4x . . . {38{

Bewering.limn!1

56
n =0: Bewijs.Geefmijmaareen">0.Ikkies:A:=5=".Dangeldtvoorallen2N,vanwegedeongelijkheid vanBernoulli: n>A=)6 5 n = 1+15 n 1+n5>15A=1": Dus 5 6 n <": Wiskundigenhebbendeirritantegewoonte,alleeneenbeweringeneenbewijstegeven.Zevertellener meestalnietbij,langswelkedwaalwegenzeopdatbewijsgekomenzijn.Ookinditbewijskomthet receptvoorAuitdeluchtvallen.Hetiseigenlijkopeenkladpapiertjeuitgerekend:

Ikwil:56

n <".

Wordt6nveelgroterdan5n?Ofwel:wordt6

5
nheelgroot?

Erkomtnatuurlijkwelsteedsminstens1

5bij.

Wiezeidatookweer?Oja,Bernoulli!

( 6

5)n=(1+15)n>1+n5:Ikbenklaarals

1+n 5>1"

Ookalgoed:n

5>1":

Datwilzeggen:

n>5 ":

DitismijnA.

Krijgdezetruconderdeknieenverbaasjevrienden!

`Oneindige'limieten Zija1;a2;a3;:::eenrijvanreel

Politique de confidentialité -Privacy policy