[PDF] Modèle mathématique. Ne pas hésiter à consulter le fichier daide

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3ème Chapitre A3 1

I)

1) Définition .

Il existe deux nombres tel que si on les multiplie par eux même le résultat est 36 : 6 et 6 En effet : 6 ² = 6 6 = 36 et ( 6 ) ² = ( 6 ) ( 6 ) = 36 On choisit le nombre positif pour définir la " racine carrée » de 36.

On décide que 36 = 6

Df : Soit a un nombre positif. La racine carrée du nombre a est le nombre positif noté a dont le carré est a. Quel que soit a positif ou nul, ( a ) ² = a ! Remarque

Exemples :

81 = 9 car 9 ² = 81 ; 1.44 = 1.2 car 1.2 ² = 1.44

! Remarque : Les racines carrées entières sont les racines carrées des " carrés parfaits

1 ² = 1 ; 2 ² = 4 ; 3 ² = 9 ; 4 ² = 16 ; 5 ² = 25

6 ² = 36 ; 7 ² = 49 ; 8 ² = 64 ; 9 ² = 81 ; 10 ² = 100

11 ² = 121 ; 12 ² = 144 ; 13 ² = 169 ; 14 ² = 196 ; 15 ² = 225

16 ² = 256 ; 17 ² = 289 ; 18 ² = 324 ; 19 ² = 361 ; 20 ² = 400

! Remarque : droite ou vers la gauche pour que la racine carrée du nombre obtenu soit un nombre décimal ( dont la partie décimale soit finie.)

3ème Chapitre A3 2

Exemples :

169 = 13 16900 = 130 1.69 = 1.3 0.0169 = 0.13

1690000 = 1300 par contre 16.9 ou 1690 ne sont pas

des nombres décimaux.

Compléter le tableau suivant :

a 25
25
1 4 900 25
49

0.16 6

a 5 1 2 30
5 7 0.4 6 2a

225 225

1 (5 9) ²

810000

225
2401

0.0256

36

2) Avec la calculatrice :

On utilise la touche .

576 = 24 valeur exacte

575 23.979158 valeur approchée par défaut.

3) Propriété de base .

Quel que soit nombre positif a, a ² = a

! Remarque : donc ( a ) ² = a a = a ² = a a

Exemple :

( 5 ) ² = 5 1.2 1.2 = 1.2 7 7 = 7

10 6 = ( 10 3 ) ² = 10 3

3ème Chapitre A3 3

II) Equation du second degré de la forme x ² = a. Je cherche toutes les valeurs possibles de x pour que x = 49.

Il y en a deux : 7 et : 49 et 49

Je cherche toutes les valeurs de x pour que x = 0. : 0 ( ou 0 ) Je cherche toutes les valeurs possibles de x pour que x = 64 n carré est toujours positif

Récapitulatif :

Si a est positif :

x ² = a a pour solutions : x = a et x = a

Si a est nul :

x ² = 0 a pour solution : x = 0

Si a est négatif :

Exemples :

Résoudre les équations suivantes :

x ² = 256 cette équation admet deux solutions : x = 256 et x = 256 x = 16 et x = 16 x ² = 11 cette équation admet deux solutions : x = 11 et x = 11 x ² = aucune solution, car un carré est toujours positif.

3ème Chapitre A3 4

3 x ² 8 = 5

3x ² = 5 + 8

3x ² = 3

x ² = 3 3 x ² = 9 cette équation admet deux solutions : x = 9 et x = 9 x = 3 et x = 3 : x = 0

III) Propriétés et règles de calcul.

1) .

Quels que soient les nombres positifs a et b,

ab = a b ou a b = ab deux nombres positifs est égale au

Exemples :

3 5 = 3 5 = 15

12 = 4 3 = 4 3 = 2 3

5 20 = 5 20 = 100 = 10

2) .

Quels que soient les nombres positifs a et b,

a b = a b ou a b = a b La racine carrée du quotient de deux nombres positif est égale au quotient

3ème Chapitre A3 5

Exemples :

10

2 = 10

2 = 5

25

81 = 25

81 = 5

9 75

3 = 75

3 = 25 = 5

3

4 = 3

4 = 3

2 ! Remarque : sommes et les différences. a + b a + b et a b a b

Exemples :

16 + 9 = 25 = 5 et 16 + 9 = 4 + 3 = 7

100 64 = 36 et 100 64 = 10 8 = 2

IV) Comparaison de racines carrées.

Règle : Deux racines carrées sont toujours rangées dans le même ordre que leurs carrés.

Quels que soient les nombres positifs a et b,

Si a b alors a b et si a b alors a b

Exemples :

Comparer 56 et 57

56 < 57 donc 56 < 57

3ème Chapitre A3 6

Comparer 3 2 et 27

( 3 2 ) ² = 3 ² 2 ² = 9 2 = 18

27 ² = 27 donc 3 2 < 27

V) .

1) Simplifier une racine carrée.

Mettre sous la forme a b où a et b sont deux entiers avec b le plus petit lifier ! )

50 = 25 2 = 25 2 = 5 2

24 = 4 3 = 4 3 = 2 3

64 = 8

6 45 = 6 9 5 = 6 9 5 v = 6 3 5 = 18 5

2) Simplifier un produit, quotient ou carré de racines carrées.

Mettre sous la forme a b où a est une fraction ou un entier et b un

45 5 = 9 5 5 = 9 5 5 = 3 5 = 15

21 15 = 7 3 3 5 = 3 3 7 5 = 3 35

12

27 = 4 3

9 3 = 4 3

9 3 = 2

3

3) Simplifier une somme.

Mettre sous la forme a b où a et b sont deux entiers avec b le plus petit

4 5 + 125 = 4 5 + 5 25

= 4 5 + 5 25 = 4 5 + 5 5 = 9 5

3ème Chapitre A3 7

75 4 27 + 2 48 = 25 3 4 9 3 + 2 16 3

= 25 3 4 9 3 + 2 16 3 = 5 3 4 3 3 + 2 4 3 = 5 3 12 3 + 8 3 = 3

200 + 4 50 7 32 = 100 2 + 4 25 2 7 16 2

= 100 2 + 4 25 2 7 16 2 = 10 2 + 4 5 2 7 4 2 = 10 2 + 20 2 28 2 = 2 2

4) Développer et réduire un produit contenant des racines carrées.

Mettre sous la forme a + b c où a, b et c sont des entiers avec c le plus ( 2 + 3 ) ( 5 2 ) = 5 2 2 ² + 15 3 2 = 2 2 2 + 15 = 13 + 2 2 ( 3 5 2 ) ² = ( 3 5 ) ² 2 3 5 2 + 4 = 9 5 12 5 + 4 = 45 + 4 12 5 = 49 12 5 ( 2 7 + 5 ) ( 2 7 5 ) = ( 2 7 ) ² 5 ² = 4 7 25 = 28 25 = 3 ! Remarque : Dans le sens développement, la troisième égalité remarquable supprime les radicaux.

3ème Chapitre A3 8

5) .

Supprimer la racine au dénominateur :

5

2 = 5 2

2 2 = 5 2

2 3

3 = 3 3

33 = 3 3

3 = 3

Supprimer la racine au dénominateur en utilisant la troisième égalité remarquable dans le sens développement. 6

2 5 = 6 ( 2 + 5 )

( 2 5 ) ( 2 + 5 ) = 12 + 6 5

4 5 = 12 + 6 5

1 = 12 6 5 2

3 2 1 =

VI) Application à la géométrie.

1) . Soit un triangle équilatéral de côté a, et sa hauteur issue de C qui coupe [AB] en H. Calculer la valeur exacte de la hauteur [CH].

Dans un triangle équilatéral, les hauteurs

sont aussi médianes, donc (CH) est la médiane issue de C dans le triangle ABC et H est le milieu de [AB]. Donc AH = a 2

Dans un triangle équilatéral, les trois

angles valent chacun 60 °, donc

CAH =

CAB = 60 °

(CH) étant la hauteur issue de C dans le triangle ABC, on peut dire que le triangle

ACH est rectangle en H

AB C H a a 2 a

3ème Chapitre A3 9

Dans le triangle ACH, rectangle en H, je peux appliquer le théorème de

Pythagore :

AC ² = AH ² + HC ² HC ² = 4 a ²

4 a ²

4 HC ² = AC ² AH ² HC ² = 3 a ² 4

HC ² = a ² ( a

2 ) ² HC = 3 a ²

4

HC ² = a ² a ²

2 ² HC = 3 a ²

4

HC ² = a ² a ²

4 HC = a 3

2 Propriété : Dans un triangle équilatéral de côté a, la mesure des hauteurs est a 3 2 2)

Soit un carré MNPR de côté a.

MP = 2 a ² donc MP = 2 a ² donc MP = a 2 N R P M a a Dans le carré MNPR, les 4 angles sont droits, donc le triangle MNP est rectangle en N. Je peux y appliquer le théorème de Pythagore :

MP ² = MN ² + NP ²

MP ² = a ² + a ²

MP ² = 2 a ²

3ème Chapitre A3 10

Propriété 2

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