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Cinématiques des fluides CHAPITRE 03

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CHAPITRE 03

CINÉMATIQUE DES FLUIDES

1. Définitions:

La cinématique du liquide c'est l'étude du mouvement des liquides sans tenir compte des forces qui lui donnent naissance. On considère donc seulement les relations entre les positions des particules liquides et le temps. Donc l'étude des mouvements des fluides indépendamment des causes qui les provoquent En cinématique des fluides, on considère que le fluide est composé de particules fluides et que l'étude du mouvement de celles-ci constitue l'étude du mouvement du fluide. - On appelle particule fluide un volume de fluide tout à la fois suffisamment grand pour contenir un très grand nombre de molécules et suffisamment petit pour que l'on n'y puisse distinguer aucune inhomogénéité. - A la particule fluide, on attache des grandeurs cinématiques (position (x,y,z), vitesse (u,v,w), accélération (ax, ay, az) et des grandeurs thermodynamiques (masse volumique, température, pression).

2. description du mouvement d'une particule fluide :

Pour décrire le mouvement d'un fluide, on peut distinguer deux méthodes:

2.1 La méthode de Lagrange:

Cette méthode consiste à individualiser une particule déterminée du fluide et à la suivre dans

son mouvement. Pour cela, on considère a un instant initial t0 une particule liquide M de coordonnées M t0 (x0,y0,z0)et on la suit dans son mouvement.

M t0 (x0,y0,z0)

Mt (x,y,z)

x y z z0 x0 y0 trajectoire

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- Le trajectoire de la particule : est la courbe tracée par les positions successives occupées par la particule au cours du temps. On l'obtient expérimentalement en émergeant dans le fluide des granulés colorants de même densité que lui. Chaque granulé dessine alors la trajectoire de la particule fluide qui 'il occupe. La position de cette particule dans le temps t, Mt (x,y,z) est définit à partir des variables indépendantes x0,y0,z0 et t par les fonctions suivantes : x = f1 (x0, y0, z0.t)

M(x,y,z,t) = y = f2 (x0, y0, z0,t)

z = f3 (x0, y0, z0,t) x, y et z sont les variables de Lagrange. - Les composantes de la vitesse :V (u ,v ,w )

V = ݒ=డ௬

- Les composantes de l'accélération: ܽ a= ܽ

2.2 La méthode d'Euler:

Cette méthode consiste à considérer un point fixe de l'espace et à étudier, en fonction du

temps, ce qui ce passe en ce point.

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La méthode d'EULER ne s'intéresse pas à la trajectoire des particules, mais au champ des

vecteurs vitesses c'est à dire en chaque point de l'espace au temps (t) correspond à une vitesse

(V). On déterminera donc ; en fonction du temps la vitesse des particules fluides qui viennent successivement passe par ce point.

L'écoulement est alors décrit par un ensemble de vecteurs appelé " champ de vecteurs

vitesse »

La vitesse ܸ

),,,(1tzyxfu (V)= ),,,(2tzyxfv ),,,(3tzyxfw u,v , w sont les variables d'EULER. La variation totale de la vitesse selon l'axe x est donnée par: dzz udyy udxx udtt udu

L'accélération selon l'axe x est:

dzz uwdyy uvdxx uut u dt duxa

Accélération locale (dépend du temps) accélération convective (dépend de coordonnées)

L'accélération totale = L'accélération locale + accélération convective. - ligne de courant : est une courbe de l'espace décrivant un fluide en mouvement et qui, à tout instant possède en tout point une tangente à la vitesse des particules du fluide. L'équation différentielle des lignes de courant : w dz v dy u dx

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- ligne d'émission : On appelle ligne d'émission l'ensemble de toutes les particules ayant coïncidées en un instant antérieur avec un point fixé E. Pour visualise les lignes d'émission, on peut injecter du colorant de manière continue au point E. les courbes colorées correspondent aux lignes d'émission. Dérivée particulaire d'une fonction scalaire: Soit f(x,y,z,t) une fonction scalaire des coordonnées d'Euler. Sa valeur au point M(x,y,z) à

l'instant t, est par définition liée à la particule fluide qui se trouve en ce point à cet instant. Le

problème est d'exprimer la dérivée particulaire de f(M,t), notée ஽௙ ஽௧ fonction liée, par définition à la variation prise en suivant le déplacement de la même particule en fonction du temps. La différentiation de la fonction f(x,y,z,t) s'écrit : Pour être représentatif de la variation particulaire, le déplacement ܯܯ

celui de la particule fluide qui se trouve en ce point à l'instant t ce qui revient à imposer :

ௗ௧: dérivé particulaire de f (variation de f, dans le temps, liée au déplacement de la particule

fluide) (elle s'écrit souvent஽௙ డ௧: Variation purement temporelle de f ; variation locale. la particule fluide)

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Dérivation particulaire d'une fonction vectorielle :

obtenue en appliquent la formule de la dérivation particulaire scalaire à chacune des ses

composantes, soit :

Après développement, on obtient :

Application au vecteur d'accélération (Vecteur particulaire) z uwy uvx uut u Dt Duax ୈ୲ z vwy vvx vut v Dt Dvay z wwy wvx wut w Dt Dwaz t u ,t v ,t w : l'accélération locale( dépend du temps)

3. Accélération d'une particule fluide :

Soit une particule de fluide en écoulement à un instant t le champs de vitesse est donné par

L'accélération convective (dépend de

coordonnées)

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- Accélération locale : Elles sont définies comme étant le taux d'accroissement de la vitesse

- Accélération convective : C'est le taux d'accroissement de la vitesse due au changement de

Cas particulier :

Si l'écoulement est permanent ֜

డ௧=0

4. Tube de courant :

Un tube de courant est une surface composé de lignes de courant et qui s'appuie sur un contour fermé placé à l'intérieur de l'écoulement.

5. La vitesse :

La vitesse instantanée en un point d'un écoulemnt : est la vitesse observée en ce point à un instant déterminé. La vitesse moyenne V en un point : est la valeur dans le temps des vitesses instantanées.

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La vitesse U dans une section : est la valeur moyenne dans l'espace des vitesses moyennes aux différents points de cette section soit :ܷ

6. Le débit :

6.1. Le débit massique :

Le débit massique qm est la masse de fluide écoulée à travers une section donnée dans l'unité

de temps qmȡܳ : Masse volumique du fluide ds : Élément de surface

Vn: Projection de la vitesse V au centre de l'élément de surface sur la normale à l'élément ds.

Q : le débit volumique.

6.2.Débit volumique :

On appelle débit le volume de fluide écoulé dans l'unités de temps à travers une section

donnée.

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7. Classification des écoulements :

7.1.Ecoulement incompressible et compressible ;

- L'écoulement est incompressible si sa masse volumique est constant (exemple: liquide). - L'écoulement est compressible (exemple : Un gaz qui occupent tout le volume qui l'entour). La majorité des fluides sont incompressibles.

7.2.Ecoulement permanent et non permanent :

- Un écoulement est permanent ou stationnaire si les caractéristiques sont invariables dans le temps mais peuvent varier d'une section à l'autre u=f1(x,y,z); v=f2(x,y,z);w=f3(x,y,z). - Un écoulement est non permanent si les vitesses varient en fonction de l'espace et du temps

7.3.Ecoulement en charge et à surface libre :

- Pour un écoulement en charge la section droite de l'écoulement est constituée par des parois qui limitent cet écoulement.

- Pour un écoulement à surface libre au moins un point de la section droite est en

contact avec l'air libre (donc soumis à la pression atmosphérique)

7.4. Ecoulement uniforme et non uniforme:

- La vitesse V dépend de la section de la conduite et du débit volumique Qv, En effet, ce débit est égal : Qv=V.S, si la section et le débit sont constants alors la vitesse dans toute la conduite sera constante et l'écoulement est dit uniforme. - l'écoulement est non-uniforme Si la section n'est pas constante, la vitesse V sera variable le long de la conduite.

7.5. Ecoulement rotationnel et irrotationnel:

- L'écoulement est rotationnel si les particules tournent autour de leur centre lorsqu'elles sont en mouvement. - L'écoulement est dit irrotationnel si les particules ne tournent pas autour de leur centre lorsqu'elles sont en mouvement et si à chaque instant le rotationnel de champ de vitesse

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7.6.Ecoulement plan : l'écoulement s'effectue dans un plan (oxy) et le vecteur de vitesse a

donc deux composantes U et V.

8. Equation de la continuité:

L'équation de continuité traduit le principe de conservation de la masse, elle exprime que le fluide est continu c'est à dire qu'il ne peut y avoir dans aucune partie du fluide ni un apport

extérieur, ni prélèvement de matière c'est à dire la masse se conserve au cours de

l'écoulement. Soit un parallélépipède élémentaire de liquide de volume dxdydz Pendant le temps dt, la masse liquide qui entre par la face ABCD est égale à : u dy dz dt. (puisque qmȡ.s.v) Pendant le même temps il sort par la face EFGH une masse de fluide égale à celle qui est

entrée, augmentée de sa différentielle partielle par rapport à x et seuls u et ȡ peuvent varier

par rapport à x:

Le parallélépipède perd, pour ces deux faces, la différence entre la masse sortante et la masse

entrante, c'est-à-dire : z x dx y dy dz B A C D E G F (u) dy dz dt. H dx)t

ȡu(

dydzdt.

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Le même calcule peut se faire pour l'ensemble des six faces, la masse perdue est donc : dm=െቀడఘ௨ ப୲dt=ப஡ ப୲dVdt La conservation de la masse du volume dV s'écrit donc : Soit l'équation de continuité qui traduit le principe de conservation de la masse

Que l'on peut écrire :డఘ

Cas d'un écoulement permanant :

Dans ce cas la masse volumique en un point est indépendante du temps. L'équation devient :

Cas d'un fluide incompressible homogène :

La masse volumique est constante en tous points .l'équation devient : Une autre forme facile de l'équation de continuité : Considérons une veine d'un fluide incompressible de masse volumique ȡanimée d'un

écoulement permanent.

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On désigne par :

- S1 et S2 respectivement la section d'entrée et la section de sortie du fluide à l'instant t,

- S'1 et S'2 respectivement les sections d'entrée et de sortie du fluide à l'instant t'=(t+dt),

veine. - dx1 et dx2 respectivement les déplacements des sections S1 et S2 pendant l'intervalle de temps dt, - dm1 : masse élémentaire entrante comprise entre les sections S1 et S'1, - dm2 : masse élémentaire sortante comprise entre les sections S2 et S'2, - M : masse comprise entre S1 et S2, - dV1 : volume élémentaire entrant compris entre les sections S1 et S'1, - dV2 : volume élémentaire sortant compris entre les sections S2 et S'2, A l'instant t : le fluide compris entre S1 et S2 a une masse égale à (dm1+ M) A l'instant t+dt : le fluide compris entre S'1 et S'2 a une masse égale à (M+ dm2). Par conservation de la masse: dm1 + M = M + dm2 en simplifiant par M on aura dm1 = dm2 ȡ1 .dV1 ȡ2 .dV2 ȡ1 .S1 .dx1 ȡ2 .S2 .dx2 ,

En divisant par dt on abouti à :

ȡ1 ȡ2 ȡà l'équation de

continuité suivante :

9. Fonction de courant:

La ligne de courant est une ligne tangente au vecteur de vitesse en chacun de ses points à

l'instant considérée. Les lignes de courant changent d'un instant à l'autre en écoulement non

permanent. Mais dans un écoulement stationnaire elles sont fixes et coïncident avec les

trajectoires des particules fluides. Les lignes de courant satisfont aux équations différentielles suivantes :

Qui donnent udy-vdx= 0

Cette équation est écrite pour un écoulement permanent plan.

Supposant qu'il existe une fonction ߖ

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x z q=Vpdn 2=+

B(x1,z2)

1= u

A(x1,z1)

dn

Lignes de courants

డ௬ et ݒ=െడఅ

La fonction ߖ

l'équation différentielle de la ligne de courant on obtient :

μxdx+μȲ

μydy=dȲ=0

La différentielle totale de ߖ,dߖ, est donc nulle, par conséquent :ߖ courant. Interprétation physique de la fonction de courant : Considérons deux lignes de courant,et voisines et séparées l'une de l'autre par une

distance dn. Le débit unitaire, q, entre ces deux lignes de courant peut être obtenu en

considérant le débit à travers la section AB; alors: 2 1 2 1 z z z z dzzudzq

Et puisque ddzz

d'où )12( 2 1 dq Le débit unitaire q = Vp (dn) entre deux lignes de courant 21,etest Cte et égale à .

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Fig. (a)

Fig. (b)

z x x y z y u w dzzuu)( dxxww)( dzdtzu)( dxdtxw)( y

10. Ecoulement tourbillonnaire:

Soit un élément de fluide de section dx dz qui subit une rotation autour de " y » pendant un temps dt (Fig (a)) Le taux de rotation autour de " y » (fig(b)) de la face dx s'écrit : x w dx wdxxww

Et de la face dz : z

u dz udzzuu Le taux net de la rotation de cet élément de fluide, autour l'axe y représente la moyenne de 02 taux : de même pour les 02 autres axes :

Vrotzyx

2 1),,(

Ecoulement rotationnel : ߗ

)(2 1 x w z u y )(2 1 z v y w x )(2 1 y u x v z

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11. Potentiel des vitesses:

Dans l'écoulement irrotationnel ( = 0), Vpeut être exprimée par une fonction Ɏappelée potentiel des vitesses, telle que: V= ݃ݎܽ

Dont les trois composantes sont: xu

, yv , zw Les lignes où les surfaces d'égal potentiel Ɏéquipotentielles c à d la fonction Ɏ conserve la même valeur en tout point de chacune d'elles. pour un fluide incompressible l'équation de continuité s'écrit :డ௨ డ௭=0 02 2 2 2 2 2 2 zyx C'est l'équation de Laplace pour un écoulement d'un fluide incompressible.quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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