Calculs de déterminants PDF Permuter les lignes et les

LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

Déterminants de matrices carrées de dimensions 4x4 et plus rangée (la ie) et une colonne (la je) de . Exemple. Calculer le déterminant de la matrice.

MVA101 – CNAM Paris- Nathalie Zanon ED 11 : Matrices et

Exercice 1 : déterminant 4x4. Calculer de deux manières différentes le 3◦) Calculer le déterminant de A − λ I et trouver les valeurs de λ qui l ...

Rang et déterminant des matrices

4 sept. 2019 La suppression d'une colonne nulle ou d'une ligne nulle préserve le rang. Page 17. Calcul pratique du rang d'une matrice : pivot de Gauss ...

fic00056.pdf

et trouver une matrice P inversible telle que A = PBP−1. 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B (justifier). 5. Pour t ∈ R calculer exptB. 6

On consid`ere lapplication linéaire : f : R 4 → R2 (x1

Cours - TD: Mathématiques appliquées 2 (semestre 2) U.F.R.

C'est par un exemple que vous comprendrez mieux comment se fait le produit de matrices. Déterminant de matrice carrée - Méthode de calcul de déterminants. `A ...

∣x1 z3∣

La formule pour calculer un déterminant d'ordre 3 est difficile à retenir. 3x3 : 6 produits et 5 additions. 4x4 : 24 produits et 23 additions nxn : n ...

Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices

Si elles ont un sens calculer les matrices AB

LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

7- Expansion par cofacteurs - méthode de calcul des déterminants . Déterminants de matrices carrées de dimensions 4x4 et plus .

Calculs de déterminants

Calculer les déterminants des matrices suivantes : On a utilisé le fait que le déterminant d'une matrice diagonale (ou triangulaire) est le produit des ...

?x1 z3?

Attention ! La règle de Sarrus ne marche que pour des déterminants d'ordre trois. La formule pour calculer un déterminant d

12. Matrices symétriques et matrices définies positives - Sections 6.4

Si A est une matrice symétrique alors ses valeurs propres sont Vecteurs propres d'une matrice symétrique 2x2 ... déterminant = produit des pivots.

II. Les Matrices

L'élément de base de Matlab est une matrice de dimension n x m composée de valeurs numériques (n = lignes m = colonnes) [1]. Une matrice de dimension 1 x 1

TP3 R - Matrices et suites

déterminant de v et w. B %*% v. # produit matrice-vecteur. Matrices et suites : Soit V0 un vecteur initial. – Calculer An avec une boucle for et calculer

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chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices

calcul des puissances d'une matrice diagonalisable et la résolution des syst`emes matrice tels que sa trace et son déterminant

Exo7

Calculs de déterminants

Fiche corrigée par Arnaud Bodin

Exercice 1Calculer les déterminants des matrices suivantes : 7 11 8 4 0 @1 0 6

3 4 15

5 6 211

A0 @1 0 2 3 4 5

5 6 71

A0 @1 01 2 3 5

4 1 31

A 0 B

B@0 1 2 3

1 2 3 0

2 3 0 1

3 0 1 21

C CA0 B

B@0 1 1 0

1 0 0 1

1 1 0 1

1 1 1 01

C CA0 B

B@1 2 1 2

1 3 1 3

2 1 0 6

1 1 1 71

C CA 1. Calculer l"aire du parallélogramme construit sur les v ecteurs~u=2 3 et~v=1 4 2. Calculer le v olumedu parallélépipède construit sur les v ecteurs ~u=0 @1 2 01 A ,~v=0 @0 1 31
A et~w=0 @1 1 11 A 3.

Montrer que le v olumed"un parallélépipède dont les sommets sont des points de R3à coefficients entiers

est un nombre entier. Calculer les déterminants des matrices suivantes : 0 @a b c c a b b c a1 A0 B

B@1 0 0 1

0 1 0 0

1 0 1 1

2 3 1 11

C CA0 B

B@1 1 1 1

11 1 1

1 11 1

1 1 111

C CA0 B

B@10 05 15

2 7 3 0

8 14 0 2

021 111

C CA 0 B

B@a a b0

a a0b c0a a

0c a a1

C CA0 B

BBB@1 0 3 0 0

0 1 0 3 0

a0a0 3 b a0a0

0b0 0a1

C CCCA0 B

BBB@1 0 0 1 0

04 3 0 0

3 0 032

0 1 7 0 0

4 0 0 7 11

C CCCA 1

Calculer les déterminants suivant :

a 1a2an a

1a1......

.........a2 a 1a1a1 1 1

1 1(0)

(0)1 1 a+b aa a a+b...... .........a aa a+b

Soit(a0;:::;an1)2Cn,x2C. Calculer

D n= x0a0

1.........

...x an2

01x+an1

Soitaun réel. On noteDnle déterminant suivant : D n= a00n1

0a.........

.........0 2 00a1 n12 1a 1.

Calculer Dnen fonction deDn1.

Démontrer que : 8n>2Dn=anan2n1å

i=1i2.

1t1t21:::tn111t2t22:::tn12::: ::: ::: ::: :::

1tnt2n:::tn1n

16i Indication pourl"exer cice3 N1.Règle de Sarrus. 2. Dév elopperpar rapport à la deuxième ligne. 3. F aireapparaître des 0 sur la première colonne. 4.
Utiliser la linéarité par rapports à chaque ligne et chaque colonne pour simplifier les coef ficients.
5.
F aireapparaître des 0...
6.
F aireapparaître des 0...
7.
Permuter les lignes et les colonnes pour f aireapparaître une matrice triangulaire par blocs. Indication pourl"exer cice5 NDévelopper par rapport à la dernière colonne.

Indication pour
l"exer cice
6 NDévelopper par rapport à la première colonne pour obtenirDn1et un autre déterminant facile à calculer en

développant par rapport à sa première ligne.Indication pourl"exer cice7 NFaire les opérations suivantes sur les colonnesCn CntnCn1, puisCn1 Cn1tnCn2,...,C2 C2tnC1.

Développer par rapport a la bonne ligne et reconnaître que l"on obtient le déterminant recherché mais au rang
n1.3 Correction del"exer cice1 N1.Le déterminant de la matrice a b c d esta b c d =adbc. Donc7 11 8 4 =7411(8) =116. 2. Nous allons v oirdif férentesméthodes pour calculer les déterminants.
Première méthode.Règle de Sarrus.Pour le matrice 33 il existe une formule qui permet de calculer
directement le déterminant. a
11a12a13
a
21a22a23
a
31a32a33
Donc 1 0 6
3 4 15

5 6 21
=1421+0155+36654661513021=18 Attention ! La règle de Sarrus ne s"applique qu"aux matrices 33.
3.Deuxième méthode.Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire.

Si dans une matrice on change un ligneLienLilLjalors le déterminant reste le même. Même chose
avec les colonnes. L
11 0 2
L
23 4 5
L
35 6 7=1 0 2
L
2 L23L10 41L

3 L35L10 63=1 0 2
0 41L
3 L332

L20 032=14(32
) =6 sur la diagonale.
4.Troisième méthode.Développement par rapport à une ligne ou une colonne.Nous allons développer
par rapport à la deuxième colonne. 1 01 2 3 5 4 1 3 = (0)2 5 4 3 +(+3)11 4 3 +(1)11 2 5 =0+3717=14 Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maximum de 0 par les
opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Puis on développe en choisissant la ligne ou la
colonne qui a le plus de 0. 5.
On f aitapparaître des 0 sur la première colonne puis on dév eloppepar rapport à cette colonne.
D=L
10 1 2 3
L
21 2 3 0
L
32 3 0 1
L
43 0 1 2=0 1 2 3

1 2 3 0
L
3 L32L2016 1L

4 L43L2068 2=1 2 3

16 168 2Pour calculer le déterminant 33 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe.
D=L
11 2 3
L
216 1L

368 2=1 2 3
L
2 L2+L104 4L

3 L3+6L10 4 20=14 4
4 20 =96
DoncD=96.
4
6.La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en f aireapparaît reda vantagesur la dernière colonne, puis
on développe par rapport à la dernière colonne. D 0=L
10 1 1 0
L
21 0 0 1
L
31 1 0 1
L
41 1 1 0=0 1 1 0

1 0 0 1
L
3 L3L20 1 0 0

1 1 1 0=0 1 1
0 1 0 1 1 1 On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne : D
0=0 1 1
0 1 0
1 1 1=11 1
1 0 =1 7.
T oujoursla même méthode, on f aitapparaître des 0 sur la première colonne, puis on dév eloppepar
rapport à cette colonne. D 00=L
11 2 1 2
L
21 3 1 3
L
32 1 0 6
L
41 1 1 7=1 2 1 2
L
2 L2L10 1 0 1
L
3 L32L1032 2L

4 L4L101 0 5=1 0 1

32 21 0 5On développe par rapport à la deuxième colonne :
D
00=21 1
1 5 =12Correction del"exer cice2 N1.L "aireAdu parallélogramme construit sur les vecteurs~u=a c et~v=b d est la valeur absolue du déterminant a b c d doncA=jadbcj. Ici on trouveA=abs2 1 3 4 = +5 où abs désigne la fonction valeur absolue. 2.
Le v olumedu parallélépipède construit sur trois v ecteursde R3est la valeur absolue du déterminant de
la matrice formée des trois vecteurs. Ici V=abs 1 0 1 2 1 1 0 3 1 =abs +11 1 3 1 +12 1 0 3 =4 où l"on a développé par rapport à la première ligne. 3.
Si un parallélépipède est construit sur trois v ecteursde R3dont les coefficients sont des entiers alors le

volume correspond au déterminant d"une matrice à coefficients entiers. C"est donc un entier.Correction del"exer cice3 N1.P arla règle de Sarrus :
D 1= a b c c a b b c a =a3+b3+c33abc: 5
2.On dév eloppepar rapport à la seconde ligne qui ne contient qu"un coef ficientnon nul et on calcule le
déterminant 33 par la règle de Sarrus : D 2=
1 0 0 1

0 1 0 0

1 0 1 1

2 3 1 1
= +1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 =1: 3. D 3=L
11 1 1 1L

211 1 1L

31 11 1L

41 1 11=1 1 1 1L

2 L2+L10 0 2 2
L
3 L3+L10 2 0 2
L
4 L4+L10 2 2 0
On développe par rapport à la première colonne : D
3= (1)0 2 2
2 0 2
2 2 0=16
4.
Le déterminant est liné airepar rapport à chacune de ses lignes et aussi chacune de ses colonnes. P ar
exemple les coefficients de la première ligne sont tous des multiples de 5 donc D 4=
10 05 15

2 7 3 0

8 14 0 2

021 11
=5
2 01 3

2 7 3 0

8 14 0 2

021 11
On fait la même chose avec la troisième ligne : D 4=52
2 01 3

2 7 3 0

4 7 0 1

021 11

Et enfin les coefficients la première colonne sont des multiples de 2 et ceux de la troisième colonne sont
des multiples de 7 donc : D 4=522
1 01 3

1 7 3 0

2 7 0 1

021 11
=5227
1 01 3

1 1 3 0

2 1 0 1
03 11 Les coefficients sont plus raisonnables ! On faitL2 L2+L1etL3 L32L1pour obtenir : D 4=140
1 01 3

0 1 2 3

0 1 25
03 11 =140 1 2 3 1 25 3 11 =14056=7840 5. D 5=L
1a a b0L

2a a0bL

3c0a aL

40c a a=a a b0L

2 L2L10 0b bc0a aL

4 L4L3c c0 0On fait ensuite les opérations suivantes sur les colonnes :C2 C2+C1etC3 C3C4pour obtenir une
dernière ligne facile à développer : D
5=a2a b00 02b bc c0ac0 0 0= +c2a b002b bc0a=bc(bc4a2)
6
6.On f aitd"abord les opérations C1 C1C3etC2 C2C4et on développe par rapport à la première
ligne : D 6=
1 0 3 0 0

0 1 0 3 0
a0a0 3 b a0a0
0b0 0a

2 0 3 0 0

02 0 3 0

0 0a0 3
b0 0a0
0b0 0a
= (2)
2 0 3 0
0a0 3 0 0a0 b0 0a +3
02 3 0

0 0 0 3
b0a0 0b0a par rapport à la première colonne : D
6= (2)a
2 3 0 0a0quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Calculs de déterminants

Fiche corrigée par Arnaud Bodin

3 4 15

5 6 211

5 6 71

4 1 31

B@0 1 2 3

1 2 3 0

2 3 0 1

3 0 1 21

B@0 1 1 0

1 0 0 1

1 1 0 1

1 1 1 01

B@1 2 1 2

1 3 1 3

2 1 0 6

1 1 1 71

B@1 0 0 1

0 1 0 0

1 0 1 1

2 3 1 11

B@1 1 1 1

11 1 1

1 11 1

1 1 111

B@10 05 15

2 7 3 0

8 14 0 2

021 111

B@a a b0

0c a a1

BBB@1 0 3 0 0

0 1 0 3 0

0b0 0a1

BBB@1 0 0 1 0

04 3 0 0

3 0 032

0 1 7 0 0

4 0 0 7 11

Calculer les déterminants suivant :

1a1......

1 1(0)

Soit(a0;:::;an1)2Cn,x2C. Calculer

1.........

01x+an1

0a.........

Calculer Dnen fonction deDn1.

Démontrer que : 8n>2Dn=anan2n1å

1t1t21:::tn111t2t22:::tn12::: ::: ::: ::: :::

1tnt2n:::tn1n

F aireapparaître des 0...

F aireapparaître des 0...

Indication pour

6 NDévelopper par rapport à la première colonne pour obtenirDn1et un autre déterminant facile à calculer en

11a12a13

21a22a23

31a32a33

3 4 15

5 6 21

3.Deuxième méthode.Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire.

11 0 2

23 4 5

35 6 7=1 0 2

2 L23L10 41L

3 L35L10 63=1 0 2

3 L332

L20 032=14(32

4.Troisième méthode.Développement par rapport à une ligne ou une colonne.Nous allons développer

10 1 2 3

21 2 3 0

32 3 0 1

43 0 1 2=0 1 2 3

1 2 3 0

3 L32L2016 1L

4 L43L2068 2=1 2 3

16 168 2Pour calculer le déterminant 33 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe.

11 2 3

216 1L