[PDF] LES DÉTERMINANTS DE MATRICES 7- Expansion par cofacteurs - mé

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LESDÉTERMINANTSDEMATRICES

Sommaire

Utilité...............................................................................................................................................1

1ͲRappelͲDéfinitionetcomposantesd'unematrice.................................................................1

2ͲLedéterminantd'unematrice.................................................................................................2

3ͲCalculdudéterminantpourunematrice૛ൈ૛......................................................................2

4ͲExercice

....................................................................................................................................3

5ͲDéfinitiond'unmineur............................................................................................................3

6ͲDéfinitiond'uncofacteur.........................................................................................................4

7ͲExpansionparcofacteursͲméthodedecalculdesdéterminants..........................................4

8ͲCalculdudéterminantpourunematrice૜ൈ૜......................................................................5

9ͲMéthodealternativepourcalculerlesdéterminants.............................................................6

10ͲExercice................................................................................................................................7

11ͲDéterminantsdematricescarréesdedimensions4x4etplus...........................................8

Utilité

Ledéterminantseraunoutil

essentielpouridentifierlespointsmaximumetminimum

oulespointsdeselled'unefonctiondeplusieursvariables.1Ǧ RappelǦDéfinitionetcomposantesd'unematrice

Unematriceestuntableaurectangulairedelaforme

Unematrice

estditededimension݉ൈ݊lorsquecelleͲcipossède݉rangéeset݊ colonnes.Cettefaçondedécrirelatailled'unematriceestnécessaireafind'évitertoute

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confusionentredeuxmatricescontenantlemêmenombred'entrées.Parexemple,une matricededimension͵ൈͶpossède3rangéeset4colonnes.CelleͲciseraitdistincte d'unematriceͶൈ͵quia4rangéeset3colonnes,quoiqu'ellecompteégalement

12entrées.Unematriceestditecarréelorsqu'ellealemêmenombre

derangéesetde colonnes. Onappelleélémentslesentréesdelamatrice,ܽ ,quisontidentifiésparleurposition.

L'élémentܽ

seraitl'entréesituéàla3 e rangéeet2 e colonnedelamatriceܣ nouveau,cettenotationestessentielleafindedistinguerlesélémentsdelamatrice entreeux.L'élémentܽ ,distinctdeܽ ,estsituéàla2 e rangéeet3 e colonnedela matriceܣ

2Ǧ Ledéterminantd'unematrice

Àtoutematricecarréeܣcorrespondunevaleurappeléeledéterminantdeܣ dénotepar

݀݁ݐሺܣሻ ouencore ȁܣ

Nouséviteronsladéfinitionformelledudéterminant(quiimpliquedesnotionsde permutations)maisallonsplutôtnousconcentrersurlecalculceluiͲci.

3Ǧ Calculdudéterminantpourunematrice૛ൈ૛

Considéronslamatriceܣ

Ledéterminantdelamatriceܣ

Lerésultatestdoncobtenueneffectuantleproduitdesélémentsopposéseten calculantladifférenceentrecesdeuxproduits...unerecetteenquelquesortequ'ilvous faudraretenir

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Exemple

Soitlamatrice

LedéterminantdeAestainsi

4Ǧ Exercice

Calculezledéterminantdesmatricesʹൈʹsuivantes:

Solutions:a)Ͳ17b)0c)5d)11

Avantdenepouvoirévaluerledéterminantd'unematrice͵ൈ͵(outouteautrematrice dedimensionsupérieure),ilnousfautd'abordvoirquelquesconcepts quis'y rattachent...

5Ǧ Définitiond'unmineur

Lemineurܯ

estledéterminantdelamatriceobtenueenéliminantla1èrerangéeet la2 e colonnedeܣ

Lemineurܯ

estledéterminantdelamatriceobtenueenéliminantla2 e rangéeetla 2 e colonnedeܣ

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6Ǧ Définitiond'uncofacteur

Lecofacteur,ܥ

,d'unematriceܣ Vousconstaterezquelecofacteuretlemineuronttoujourslamêmevaleurnumérique,

àl'exceptionparfoisdeleursigne.

Considéronsànouveaulamatrice

Nousavonsdéjàmontréquelemineurܯ

ൌെͻ.Ainsi,lecofacteurcorrespondant, ,est

Ils'avèrequelemineur,ܯ

,etlecofacteur,ܥ ,sontdesignesdifférents.

Lemineurܯ

ൌെʹ͸.Soncofacteurcorrespondant,ܥ ,est

Cettefois,lemineur,

,etlecofacteur, ,sontidentiques. Évaluerledéterminantd'unematrice͵ൈ͵seramaintenantpossible.Nous procéderonsenréduisantceluiͲcienunesériededéterminantsʹൈʹ,pourlesquelsle calculestnettementplusfacile.Ceprocessusestappeléuneexpansionparcofacteurs.

7Ǧ ExpansionparcofacteursǦméthodedecalculdes

déterminants

Soitܣunematricecarréeetܥ

sescofacteurs.Ledéterminantestobtenuensuivant uneexpansionparcofacteurscommesuit:

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

rangéeoulacolonnedeܣ

Multiplierchacundeséléments

delarangée(oucolonne)choisieparson cofacteur,ܥ ,correspondant...

Fairelasommedecesrésultats.

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8Ǧ Calculdudéterminantpourunematrice૜ൈ૜

Pourunematrice͵ ൈ ͵,celavoudraitdirequ'enchoisissantdefaireuneexpansionle longdelapremièrerangée,ledéterminantserait Sil'onavaitchoisidefaireuneexpansionlelongdeladeuxièmecolonne,alorsil faudraitcalculer Quoiquelechoixderangéeoudecolonnepuissedifférer,lerésultatdudéterminant seralemêmequelquesoitcechoix.Vérifionsparunexemple.

Exemple

Quelestledéterminantdelamatriceܣ

Solution

Suivonsleprocessusproposéplushaut(expansionparcofacteurs):

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

rangée. Multiplierchacundesélémentsdecetterangéeparleurscofacteurs

correspondants...Lesélémentsdelapremièrerangéesontͳͳ ൌ ʹǡͳʹ ൌ

ͳǡͳ͵ ൌ ͵quel'onmultipleaveclescofacteurscorrespondants,c'estͲàͲdire quisont

Finalement,ils'agitdefairelecalcul

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Vérifionssiuneexpansionlelongdeladeuxièmecolonneappuieraitlerésultat précédent.Notezquelechoixdeladeuxièmecolonneestnettementlaplusefficace puisqueledéterminantseraobtenuducalcul etdeuxdestroisélémentsdela2ecolonnesontnuls.Eneffet,ܽ ൌͲ.Ilestainsiinutiledecalculerlescofacteursܥ etܥ .Poursapart,le cofacteurcorrespondantàܽ est

Ledéterminantdeܣ

cequicorrespondeffectivementàlaréponseobtenueparuneexpansionlelongdela premièrerangée.

9Ǧ Méthodealternativepourcalculerlesdéterminants

Cettesecondeméthodeestentoutpointéquivalenteàl'expansionparcofacteursmais vouspermettrad'éviterl'utilisationdescofacteurs. Octroyeràchacundesélémentsunsigne൅Ȁെensuivantlarèglesuivante:on associeunsignepositifàlapositionܽ ,puisonalternelessignesensedéplaçant horizontalementouverticalement.

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

rangéeoulacolonnedeܣ

Multiplierchacundesélémentsܽ

delarangée(oucolonne)choisieparsonmineur correspondant,i.e.ledéterminantqu'ilrestelorsqu'onéliminelarangéeetla colonnedanslesquellessetrouveܽ Fairelasommeouladifférencedecesrésultatsselonlesigneaccordéauxéléments lorsdelapremièreétape. Vérifionsquecetteméthodeproduiralemêmerésultatquedansl'exempleprécédent:

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Exemple

Soitdonclamatriceܣ

Choisissonsla3

e colonne(cen'estcertespaslemeilleurchoixpuisquela2 e rangée possèdeplusd'élémentsnulsmais...) Nousmultiplionsensuitechaqueélémentparsonmineurcorrespondant: Finalement,lessignesrespectifsdesélémentsdela3 e colonnenousindiquentles opérationsquidoiventêtreeffectuéesentrescesvaleurspourobtenirle déterminant:

10Ǧ Exercice

Calculerledéterminantdesmatricessuivantes:

Solutions:a)24b)Ͳ12c)Ͳ66d)0

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11Ǧ Déterminantsdematricescarréesdedimensions4x4etplus

Lesméthodesprésentéesdanslecasdesmatrices͵ൈ͵demeurentvalidespourtoutes lesdimensionssupérieures.Ils'agitànouveaudesuivrelesétapesd'uneexpansionpar cofacteurs:

Soitܣunematricecarréeetܥ

sescofacteurs.Ledéterminantestobtenuensuivant uneexpansionparcofacteurscommesuit:

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

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