[PDF] Géométrie algébrique plane avec GeoGebra - Sésamath

View - Download Géométrie algébrique plane avec GeoGebra - Sésamath

Previous PDF

Next PDF

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

Extrait du Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques

Géométrie algébrique plane

avec GeoGebra - N°39 - mars 2014 - Date de mise en ligne : mercredi 12 février 2014

Description :

GeoGebra 4 est un excellent outil pour faire de la géométrie algébrique Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 1/31

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

Au fait c'est quoi la géométrie algébrique ? Et bien, c'est un peu comme la géométrie ... sauf

qu'elle est algébrique ! Plus sérieusement, il s'agit d'une branche de la géométrie (plane ici) qui

étudie un objet particulier appelé courbe algébrique. Enfin pas si particulier que ça, puisque les

droites, cercles et coniques sont des courbes algébriques [1]. On en parlera donc ici, mais ma

préférence allant aux cubiques (ou courbes algébriques de degré 3), celles-ci seront les vedettes de

cet article. Ainsi que GeoGebra qui rend leur exploration ridiculement facile.

Cet article peut être librement diffusé et son contenu réutilisé pour une utilisation non commerciale

(contacter l'auteur pour une utilisation commerciale) suivant la licence CC-by-nc-sa ( http://creativecommons.org/licenses...)

Définition

Une courbe est dite algébrique si elle admet une équation cartésienne polynomiale.

Le polynôme qui définit une courbe algébrique est un polynôme de deux variables $x$ et $y$ ; son degré est celui de

la courbe. Les courbes de degré 1 sont les droites et les courbes de degré 2 sont les coniques. Ensuite on parle de

cubiques, de quartiques, de quintiques, de sextiques etc.

Remarque : Ci-dessous les figures manipulables en ligne sont au format DGPad. Ce choix peut paraître étrange dans

un article consacré à GeoGebra, alors que celui-ci permet de poster des figures dans le spip. Mais celles-ci sont

moins légères que celles de DGPad, et ne s'affichent pas sur tablette tactile.

Repères historiques

La naissance de la géométrie algébrique remonte à 1638, avec le folium de Descartes, défini non pas

géométriquement, mais par son équation cartésienne $x^3+y^3=3xy$. On ne connaît pas de caractérisation

géométrique du folium, celui-ci n'est connu que comme courbe algébrique. Ensuite, puisque les droites et coniques

sont des objets d'étude pour la géométrie algébrique, toutes les études menées sur ces objets par la suite peuvent

être considérées comme des études de géométrie algébrique. Un résultat particulièrement important, et représentatif

de la géométrie algébrique plane, est le théorème de Bézout (1764).

Mais si la géométrie algébrique permet aussi de démontrer des résultats connus de la géométrie [2], des outils

spécifiques de la géométrie algébrique sont apparus au début du vingtième siècle, suite aux questions de Hilbert sur

les équations diophantiennes [3]. Le théorème fondamental en géométrie algébrique est le théorème des zéros de

Hilbert, apparu à cette époque, ainsi que le lemme de normalisation de Noether.

Les Nicolas Bourbaki ont vu dans la géométrie algébrique une possibilité de faire de la géométrie sans dessin, et ont

élargi celle-ci à des corps autres que R et C, notamment les corps de Galois et les nombres p-adiques. Parmi eux, le

célèbre Alexandre Grothendieck mais aussi mon professeur Pierre Samuel, à qui je dois mon goût pour les cubiques.

Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 2/31

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

L'étude d'un cas particulier de courbes cubiques, les courbes elliptiques, a mené Andrew Wiles [4] à montrer la

conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, qui a donné lieu au théorème de Wiles, un autre grand classique de géométrie

algébrique]...

Pour représenter le folium de Descartes, il suffit dans GeoGebra 4.0 d'entrer CourbeImplicite[x^3+y^3-3*x*y], et

dans GeoGebra 4.4, d'entrer simplement x^3+y^3=3*x*y. Dans les deux cas on a cet affichage :

Pour attacher un point au folium, on le crée en cliquant à proximité de celui-ci ; on peut aussi créer des points

d'intersection entre le folium et d'autres courbes algébriques, par exemple des droites. Et ainsi, vérifier en les

comptant, le théorème de Bézout...

Cercles

Voici comment la géométrie algébrique permet de démontrer l'existence et l'unicité du cercle circonscrit à un triangle

quelconque ABC : En appelant $x_A$ et $y_A$ les coordonnées de A (avec des notations similaires pour B et C), on

se rappelle qu'un cercle est une courbe algébrique de la forme $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ [5]. Alors le fait que le cercle

passe par A, se traduit par l'équation $x_A^2+y_A^2-2ax_A-2by_A+c=0$ ou $-2ax_A-2by_A+c=-x_A^2-y_A^2$ (pour

rappeler que les inconnues sont a, b et c). De même, le fait que le cercle passe par B s'exprime par l'équation

$-2ax_B-2by_B+c=-x_B^2-y_B^2$, et le fait que le cercle passe par C s'exprime par

$-2ax_C-2by_C+c=-x_C^2-y_C^2$. Alors pour démontrer l'existence et l'unicité du cercle circonscrit, il suffit de

démontrer que le système formé par ces trois équations a une solution (a,b,c) unique. Ce qui est le cas car dans le

cas général, son déterminant est différent de 0.

Définition

On dit que des points sont en position générale si le déterminant du système ci-dessus est non nul.

Dans le cas d'un cercle, la position générale est celle où les points ne sont pas alignés. Et donc, lorsque 3 points ne

sont pas alignés, il existe un unique cercle passant par eux. Cette démonstration est à comparer avec celle vue en

collège (concourance des médiatrices du triangle) mais elle fournit, par résolution du système, l'équation cartésienne

du cercle, qui est utile en géométrie dynamique pour tracer celui-ci. Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 3/31

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

Voici un exemple que l'on peut traiter en Première :

Soit A(-1 ;3), B(5 ;1) et C(1 ;5). Donner l'équation cartésienne du cercle circonscrit à ABC.

Ainsi, on pose cette équation égale à $2xa+2yb-c=x^2+y^2$. Alors on exprime le passage du cercle par A, B et C en

écrivant ces équations :

• $-2a+6b-c=(-1)^2+3^2=10$ • $10a+2b-c=5^2+1^2=26$ • $2a+10b-c=1^2+5^2=26$

C'est un système de trois équations à trois inconnues, mais en soustrayant la première et la troisième équations à la

seconde, on obtient des équations avec seulement a et b : • $12a-4b=16$ • $8a-8b=0$ Ce qui donne rapidement a=b=2. Ce que confirme GeoGebra :

En plus, les coefficients a et b représentant les coordonnées du centre, on a celles-ci directement : O(2 ;2) ce qu'on

peut confirmer avec GeoGebra en entrant O=MilieuCentre[c]. On remarque en passant que l'objet c est une conique

(voir dans la fenêtre algèbre à gauche). Ce point de vue est assez typique de la géométrie algébrique, qui définit une

conique comme courbe de degré 2, ce qui est bien le cas des cercles.

Cercles et distances

Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 4/31

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

En géométrie algébrique, un cercle est défini comme une courbe dont l'équation peut s'écrire $x^2+y^2-2ax-2by=c$.

En réécrivant cette équation sous la forme $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, on peut utiliser le théorème de Pythagore dans un

repère orthonormé pour décrire aussi un cercle comme ensemble des points situés à distance $R$ du centre de

coordonnées $(a,b)$. Mais GeoGebra étant clairement un logiciel de géométrie algébrique plutôt qu'un logiciel de

géométrie euclidienne, la distance calculée par Pythagore n'est pas nécessairement la distance que l'on peut mesurer

à l'écran ; elle n'y est même pas forcément proportionnelle si le repère n'est pas orthonormé :

En plus, dans l'équation cartésienne d'un cercle, le carré du rayon est égal à $c+a^2+b^2$ qui peut être négatif.

Autrement dit, le rayon d'un cercle défini par son équation cartésienne peut être imaginaire ! La nature de la "conique"

est affichée par GeoGebra comme • un cercle si le carré du rayon est strictement positif ; • un point s'il est nul ; • l'ensemble vide s'il est négatif.

Pour le vérifier, il suffit de créer un curseur R2 (comme $R^2$) et de créer le cercle en entrant l'expression x^2+y^2=R2

; alors en animant le curseur, on a la figure suivante : ++++Droites

Pour commencer, on peut démontrer qu'il n'existe qu'une droite passant par deux points $A(x_A;y_A)$ et

$B(x_B;y_B)$. Dans ce cas, "en position générale" veut dire que les deux points sont distincts. Mais si en plus, on

Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 5/31

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

suppose qu'ils n'ont pas la même abscisse, on peut utiliser les équations réduites : Soit donc $y=mx+p$ l'équation

réduite d'une droite passant par $A$ et $B$ ; alors • $y_A=mx_A+p$ car la droite passe par $A$ ; • $y_B=mx_B+p$ car la droite passe par $B$.

Comme ce système est à deux équations et à deux inconnues ($m$ et $p$), et que son déterminant $x_A-x_B$ est

supposé non nul, il a une solution unique. D'ailleurs pour résoudre le système, on peut rapidement soustraire les deux

équations pour retrouver que $m=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}$ qui est un grand classique de Seconde.

Plus généralement, si on admet que A et B peuvent avoir la même abscisse sans perdre en généralité, on cherche les

coefficients a, b et c d'une équation cartésienne $ax+by+c=0$. Dans ce cas, on a trois coefficients à trouver alors qu'il

n'y a toujours que deux équations • $ax_A+by_A+c=0$ • $ax_B+by_B+c=0$

Mais il suffit de trouver une solution du système pour les avoir toutes, puisqu'elles sont toutes proportionnelles entre

elles. La magie de CourbeImplicite est que ce système est résolu à chaque mouvement de A ou B : En entrant

CourbeImplicite[A,B] on a

Mais dans ce cas, il aurait mieux valu entrer Droite[A,B] car GeoGebra ne sait pas que c'est une droite, et ne peut

donc faire de symétrie axiale ou tracer de perpendiculaire à cette droite par exemple.

Intersection

Le fait qu'on trouve l'intersection de deux droites en résolvant le système formé par leurs équations

• $y=mx+p$ • $y=nx+q$ (cette fois-ci avec $x$ et $y$ comme inconnues), permet

1. de démontrer que deux droites "en position générale" n'ont qu'un point commun (la solution du système)

2. de montrer que ce problème est dual du précédent (on échange les rôles des paramètres et des inconnues dans

les équations de droites)

3. d'illustrer sur un premier exemple simple, le théorème de Bézout : Les deux équations étant de degré 1, celui-ci

Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 6/31

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

prévoit que l'intersection est formée d'$1 \times 1 = 1$ point...

Le module de calcul formel d'Xcas, incorporé à GeoGebra 4.4, permet de démontrer algébriquement que les

médianes d'un triangle sont concourantes, ainsi que ses hauteurs, comme vu ici ++++Coniques

L'équation cartésienne d'une conique étant par définition de degré 2, elle comporte 3 coefficients de plus que

l'équation d'une droite (en $x^2$, en $y^2$ et en $xy$). Il faut donc trois points de plus pour définir une conique que

pour définir une droite, soit 5 points en tout. L'équation de la conique se trouve en résolvant un système de 5

équations à 6 inconnues (en imposant par exemple la valeur d'une des inconnues, ou en cherchant une seule des

solutions, celles-ci étant toutes proportionnelles entre elles).

Remarques historiques

Au début du XXIe siècle, Markus Hohenwarter était thésard à l'université de Linz en Autriche. Le sujet de sa thèse

était la mise au point d'un logiciel de géométrie dynamique en Java (langage) permettant de créer et manipuler les

objets géométriques soit à la souris, soit au clavier. D'où le nom de GeoGebra donné au logiciel

(Geometry+Algebra...). On peut donc concevoir que GeoGebra est dès le départ un logiciel de géométrie algébrique.

D'ailleurs l'icône du logiciel représente une conique par 5 points.

Ceci dit, GeoGebra n'est pas seulement, et de loin pas, un logiciel de géométrie : Markus Hohenwarter s'occupe

aujourd'hui uniquement de l'analyse dans GeoGebra. Et pour représenter graphiquement des fonctions, les

graduations du repère peuvent aisément être modifiées indépendamment sur les deux axes. Donc comme son repère

n'est pas forcément orthonormé, GeoGebra n'est pas spécialement adapté à la géométrie euclidienne, mais plutôt à la

géométrie affine. Dans le contexte présent, c'est un atout, puisque en géométrie algébrique, un cercle par exemple

n'est pas défini à partir de la notion d'équidistance, mais simplement comme courbe d'équation

$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$.

La conique par 5 points est apparue dans GeoGebra dès sa création (en 2001 donc), mais elle semble avoir existé

auparavant dans CaR (vers la fin des années 1990) et surtout dans CaBri II en 1994. Ceci dit, il n'est pas nécessaire

de passer par des équations cartésiennes pour tracer la conique par 5 points, on peut aussi utiliser le théorème de

Pascal. C'est le choix fait dans Dr.Geo.

Ceci dit, si on entre CourbeImplicite[A,B,C,D,E] on n'a pas une conique mais une courbe implicite : Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 7/31

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

Certes, on voit bien une conique qui suit les mouvements de A, B, C, D et E, mais c'est tout. Alors que GeoGebra

possède un objet "conique" depuis sa création, et en utilisant cet objet, on peut obtenir de nouveaux objets associés à

cette conique, comme les foyers, les axes, l'excentricité etc. La syntaxe est presque la même : Conique[A,B,C,D,E]

Polarité

Des notions algébriquement importantes sont celles de pôle et polaire, avec l'étude des formes quadratiques. Voici

une figure (DGPad) où l'on voit en vert, la polaire du point P par rapport à la conique (bouger légèrement l'un des

points A, B, C, D ou E pour voir apparaître la conique) :

La syntaxe dans GeoGebra est très simple : Polaire[P,c] où c est la conique. Alors, on peut observer (par exemple

en manipulant la figure ci-dessus), que • Si P est sur la conique, la polaire de P est tangente à la conique ;

• si P est à l'intérieur de la conique, la polaire de P ne coupe pas la conique. Ce qui permet de définir l'intérieur

Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 8/31

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

d'une hyperbole. • Si P est au centre de la conique, sa polaire est à l'infini ; • si P est sur une droite d, sa polaire passe par un point appelé pôle de la droite :

Comme on s'en doute, si P est le pôle de d, la polaire de P n'est autre que d... Et si P et Q sont tels que chacun d'eux

est sur la polaire de l'autre, on dit qu'ils sont conjugués par rapport à la conique. Or être conjugués par rapport à une

conique, c'est être conjugués par rapport à une forme quadratique dont la conique est une ligne de niveau. Par

exemple, si on fait la construction suivante : • entrer x^2+y^2=1 pour construire un cercle • créer un point A libre dans le plan ;

• entrer Polaire[A,c] pour avoir la polaire de A par rapport à c (formée de tous les points conjugués à A),

on constate que pour tout point $B(x_B;y_B)$ de la polaire, on a $x_A \times x_B + y_A \times y_B = 1$ : Pour le

produit scalaire, la conique associée est le cercle de rayon 1.

Statistique

Le lien entre coniques et formes quadratiques a de surprenantes applications en statistique, et c'est à partir d'une

ellipse que Francis Galton a inventé la droite de régression. On suppose qu'on a un nuage de points A à H, de forme

allongée, et on voudrait l'approcher par une ellipse. Pour cela, on construit une matrice de corrélation en entrant dans

GeoGebra

• le point moyen en faisant (A+B+C+D+E+F+G+H)/8 (ce sera le centre de l'ellipse)

• Variance[x(A),x(B),x(C),x(D),x(E),x(F),x(G),x(H)] (GeoGebra appelle b la variable, la lettre a étant déjà prise

pour la droite de régression) • la variance des y de façon analogue (variable c) • la covariance des x et des y avec Covariance[A, B, C, D, E, F, G, H] (variable d) • la matrice {{b,d},{d,c}}

• l'inverse de cette matrice en l'élevant à la puissance -1 ; on a alors la matrice de corrélation M.

• les vecteurs colonne de M avec AppliquerMatrice[M, (1, 0)] et AppliquerMatrice[M, (0, 1)] (pour pouvoir

récupérer les coefficients de la matrice, qui sont les coordonnées des deux points ainsi construits) ; on obtient

ainsi les points nommés J et K par GeoGebra ;

• la conique d'équation (x - x(I))^2*x(J)+(x - x(I))*(y - y(I))*2*y(J)+(y - y(I))^2*y(K)=4 (GeoGebra la

nomme e et c'est bien une ellipse) • enfin, le grand axe de l'ellipse avec GrandAxe[e]

Voici la figure obtenue :

On voit que la droite de régression obtenue par la méthode des moindres carrés n'est pas l'axe de l'ellipse (les

équations diffèrent légèrement) :

Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 9/31

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

L'explication est relativement simple : La somme des carrés minimisés par les deux droites porte sur des objets

différents :

• pour la droite de régression vue au lycée, ce sont les écarts entre les ordonnées qui sont élevés au carré ;

• alors que pour l'axe de l'ellipse, ce sont les distances à l'axe qui sont élevées au carré.

La droite de régression inventée par Galton n'est donc pas celle qu'on étudie au lycée...

Intervalles de confiance

Des ellipses apparaissent également lorsqu'on établit des intervalles de confiance par approximation gaussienne : Si

la fréquence observée est x compris entre 0 et 1, les bornes de l'intervalle de confiance à 95% sont

• f(x) = x - 1.96sqrt(x (1 - x) / N) • g(x) = x + 1.96sqrt(x (1 - x) / N)

(N est la taille de l'échantillon, fixée à 50 ci-dessous). Représentées graphiquement, ces deux fonctions donnent une

ellipse : Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 10/31

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

En écrivant l'équation de cette ellipse sous la forme (y - x)^2= 1.96^2*x*(1 - x)/N, on peut là encore, calculer son

grand axe, et vérifier qu'il n'est pas égal à la première bissectrice $y=x$ (elle aussi construite en écrivant son équation

dans la zone d'entrée) :

Or il se trouve que les intervalles de confiance sont les sections verticales de cette ellipse alors que les intervalles de

fluctuation en sont les sections horizontales : Le fait que l'ellipse n'est pas symétrique par rapport à $y=x$ montre

géométriquement la différence entre intervalles de fluctuation et intervalles de confiance...

Par contre, en Seconde, l'ellipse est approchée par un hexagone, qui lui, est bel et bien symétrique par rapport à la

première bissectrice, ce qui permet d'échanger les rôles des intervalles de fluctuation et de confiance : Par forcément

une bonne idée, cette simplification vue en Seconde : Lieux

En fait, la documentation de GeoGebra est incomplète sur les deux moyens d'obtenir une courbe implicite :

1. soit avec CourbeImplicite[x^2-y^2/4=1] (en écrivant son équation, éventuellement sans "CourbeImplicite")

2. soit avec CourbeImplicite[A,B,C,D,E] (liste des points définissant la courbe algébrique)

en fait il y a un troisième moyen d'obtenir une courbe algébrique : En tant que lieu de points ! Pour cela, on utilise la

syntaxe EquationLieu qui, comme Lieu, dessine le lieu d'un point dépendant d'un autre, mais cette fois-ci sous forme

d'une courbe algébrique, en donnant donc son équation. Celle-ci permet alors de conjecturer la nature du lieu. Par

Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 11/31

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

exemple, si le point C est lié à une droite, le lieu des orthocentres de ABC est une conique.

Pour vérifier cela, on commence par construire une droite (DE) puis A et B libres dans le plan, et C attaché à la droite.

Ensuite évidemment on construit l'orthocentre H, puis on entre EquationLieu[H,C] : Le lieu est alors donné sous forme

de "courbe implicite", mais en observant son équation, on voit que c'est celle d'une conique :

Démonstration

GeoGebra 4.4 étant muni du moteur de calcul formel d'Xcas, peut démontrer ce fait : On pose égales à (a,b) et (c,d)

les coordonnées de A et B, et à (t,mt+p) celles de C (pour exprimer le fait que C est sur une droite), puis on définit

deux hauteurs h1 et h2, et enfin leur intersection H, dont les coordonnées sont du second degré :

Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 12/31

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

Ceci dit, les coordonnées de H sont compliquées, et de la forme "un trinôme divisé par une fonction affine" ; et comme

c'est la même fonction affine pour les deux coordonnées, on peut éliminer t entre x et y pour avoir une équation de

conique.

En fait, la construction de l'orthocentre faisant appel au théorème de Pythagore (à cause des hauteurs), le lieu aura un

degré double de celui de la courbe algébrique sur laquelle évolue C. Ici elle est de degré 1, donc le lieu est de degré

2, soit une conique. Si C était sur une conique, le lieu serait une quartique, et si C était sur une cubique, le lieu serait

une sextique... Un autre exemple de lieu qui est une conique est l'arguésienne d'une droite (diapo 4) ++++Thomson

Pour définir une cubique plane, il faut 4 points de plus que pour définir une conique (pour les termes $x^3$, $x^2y$,

$xy^2$ et $y^3$) ; soit 9 points. Une fois choisis ces 9 points, GeoGebra permet donc de construire la cubique

passant par eux et d'y lier un point, de calculer des intersections etc. avec l'instruction

CourbeImplicite[A,B,C,D,E,F,G,H,I] (en admettant que les 9 points ont été nommés dans l'ordre alphabétique). Sur

les cubiques liées au triangle, le net possède une mine d'informations extraordinaire.

Remarques historiques

Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 13/31

Géométrie algébrique plane avec GeoGebra

La cubique par 9 points est apparue pour la première fois dans le logiciel Kig en 2005. J'ai personnellement réussi à

en construire une macro pour CaRMetal à la fin de l'année 2008. Il est visible dans ce diaporama. Pour aller plus loin

avec des quartiques, il fallait utiliser JavaScript, et je n'en ai eu le courage qu'en 2011 ... pour apprendre que

l'instruction CourbeImplicite venait d'être mise dans GeoGebra, avec une syntaxe plus souple que celle de CaRMetal

(possibilité d'entrer l'équation de la courbe comme dans CaRMetal, ou, ce qui est unique à GeoGebra, la liste des

points [6]), rendant ainsi caduc mon travail... Quoiqu'il en soit, voici le résultat de celui-ci, avec quelques courbes

algébriques issues du site de Bernard Gibert, mais en version animée :

Pour se mettre en appétit, on pourra regarder la cubique de Darboux. Mais voici comment a été construite la cubique

de Thomson postée sur GeoGebraTube : Le choix des 9 points a été fait sur des triplets de points (3 fois 3, ça fait 9) : • Les sommets A, B, C du triangle • les milieux A', B' et C' des côtés • les centres Ja, Jb et Jc des cercles exinscrits Alors il a suffi pour avoir la cubique de Thomson, de faire

CourbeImplicite[A, B, C, A', B', C', Ja, Jb, Jc]

C'est tout !!!

La suite de la construction a consisté à ajouter des points remarquables du triangle qui se trouvent eux aussi sur la

cubique de Thomson : • Le centre de gravité G=(A+B+C)/3 • Le centre du cercle circonscrit obtenu en appliquant MilieuCentre au cercle circonscrit ; • l'orthocentre H et les milieux J, K et M des hauteurs

• le centre I du cercle inscrit (les bissectrices intérieures avaient déjà été construites pour avoir les bissectrices

extérieures au début) ; • et le point de Lemoine L du trianglequotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

[PDF] Initiation à Internet - Médiathèque de Décines - Nouvelles Locales

[PDF] Initiation à Java - Langages De Programmation

[PDF] Initiation à JAVA et à la programmation objet - Espèces En Voie De Disparition

[PDF] Initiation à Javascript - Javascript

[PDF] initiation à la basse walking

[PDF] Initiation à la biologie moléculaire

[PDF] Initiation à la calligraphie japonaise - Anciens Et Réunions

[PDF] Initiation à la Cartomancie Lenormand par Stela 13 Septembre sur - Anciens Et Réunions

[PDF] Initiation à la chanson Yiddish. - France

[PDF] Initiation à la chromatographie d`échange d`ions appliquée à la

[PDF] Initiation à la comptabilité avec Ciel Compta Facile

[PDF] initiation a la comptabilite hospitaliere

[PDF] Initiation à la conception d`un site web dynamique en - Nouvelles Locales

[PDF] Initiation à la construction paille ossature bois - France

[PDF] initiation à la course à pied