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Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que : 1 Pour tout entier naturel n 1 ? vn ? 2 Nathalie Arnaud - Lycée Théophile Gautier - Tarbes
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c) Prouver alors cette conjecture à l'aide d'un raisonnement par récurrence Exercice no 6 Somme télescopique a) Justifier la relation ? ? ? ? {0 ?1} 1
Comment expliquer le raisonnement par récurrence ?
Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n. C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques. L'ensemble des entiers naturels est noté N, il contient l'ensemble des entiers qui sont positifs.Quelles sont les étapes du raisonnement par récurrence ?
Dans le raisonnement par récurrence, il y a 3 étapes: l' initialisation, l' hérédité et la conclusion.Comment démontrer une proposition par récurrence ?
On suppose que pour un entier n quelconque n > n 0 n > n_0 n>n0, (Pn) est vraie, et sous cette hypothèse (dite de récurrence) on démontre que la proposition ( P n + 1 ) (P_{n+1}) (Pn+1) est vraie. On a ainsi prouvé que l'hypothèse de récurrence « (Pn) vraie » est héréditaire.Les étapes du raisonnement par récurrence sont :
initialisation ;hypothèse de récurrence ;hérédité ;conclusion.
Terminales S
Modèle de rédaction d'un raisonnement par récurrenceDans le modèle ci-dessous, vous pouvez recopier "texto" ce qui est écrit en caractère noir (ou
normal) et adapter à chaque exercice ce qui est écrit en caractère italique ou rouge.1: Soit Pn la propriété définie, pour n∈ℕ par:
Pn: " Énoncez ici la propriété à démontrer »2: Montrons que la propriété Pnest initialisée au rang :
n=0( Parfois on initialisera pour n=1 et il faudra alors adapter la rédaction de la suite!!!)Comme pour n=0 on a:
d'une part calculs élémentaires de la première partie de P(n) et d'autre part calculs élémentaires de la deuxième partie de P(n) On vérifie l'égalité des deux calculs précédents donc P0 est vérifiée.3: Montrons que la propriété Pnest héréditaire à partir du rang: 0
Supposons que pour UN entier
n0, Pnsoit vérifiée. On a alors: Établissez ici que P(n+1) est vérifiée en utilisant P(n)On a donc prouvé que la propriétéPnest initialisée au rang 0 , ET est héréditaire.
4 : Du principe de raisonnement par récurrence, on déduit que :
pour tout n0, Pn est vérifiée.C'est-à-dire que:
Pour toutn0, Énoncez et encadrez ici la propriété démontréeLycée Antonin Artaud Page 1/1
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