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Universit´e Claude Bernard-Lyon I

Agr´egation de Math´ematiques : Alg`ebre & g´eom´etrie

Ann´ee 2004-2005Dimension et rang

Commentaire g´en´eral

Pr´ecautions d"usage : ces notes ne sont certainement pas la meilleure le¸con possible, loin de l`a.

Le plan de J. Contessa me paraˆıt tr`es bien, pour autant qu"on y ajoute •l"algorithme de Gauss, sous une forme ou sous une autre : preuve du th´eor`eme du rang et/ou calcul du rang d"une matrice ; •au moins une m´ethode de calcul du rang, par exemple par l"algorithme de Gauss (oui, c"est un peu la mˆeme chose que ci-dessus, mais c"est si important !) ; •une discussion "abstraite" de l"ensemble des solutions d"un syst`eme lin´eaire.

Compl´ement au d´eveloppement propos´e

Le d´eveloppement propos´e par J. Contessa ´etait : PropositionSoitΦ : Matn(C)→Matn(C)une application lin´eaire telle que?(GLn(C))? GL n(C). AlorsΦpr´eserve le rang. On trouvera dans la premi`ere ´epreuve du concours d"entr´ee `a l"´ecole Polytechnique 1988

(´editions Dunod, collection "J"int`egre", disponible `a la biblioth`eque et `a faire glisser dans

la malle) une preuve du r´esultat suivant, qui constitue un heureux compl´ement : PropositionSoitΦ : Matn(C)→Matn(C)une application lin´eaire qui pr´eserve le rang.

Alors il existePetQinversibles telles que

?X?Matn(C),Φ(X) =PXQou?X?Matn(C),Φ(X) =PtXQ. Au bilan, on constate que les seuls endomporphismes lin´eaires de Mat n(C) qui pr´eservent

l"inversibilit´e (ou le rang) sont les applications "´evidentes". Ce fait est assez classique pour

avoir fait l"objet d"un probl`eme de concours, mais pas assez pour figurer dans les sources agr´egatives usuelles : sans doute rentable.

Autres ajouts

•deux autres preuves du "th´eor`eme de la dimension" ; •rang d"une matrice et de ses sous-matrices ; •rang (et signature) d"une forme quadratique (r´eelle), qui peut constituer un heureux d´eveloppement possible. On fixe un corpsK. On note Matm,n(K) l"espace des matricesm×n`a coefficients dansK. On d´esigne parE,F,...des espaces vectoriels et par?,θ,...des applications lin´eaires. On ne consid`erera que des espaces de type fini, i.e. des espaces qui sont engendr´es par un nombre fini de vecteurs. 1

I Dimension d"un espace vectoriel

0 ◦Pr´eliminaires D´efinition d"une famille libre, d"une famille g´en´eratrice, d"une base. Truismes : toute famille libre maximale/g´en´eratrice minimale est une base. 1 ◦Th´eor`eme de la base incompl`ete Th´eor`emeSoitLune famille libre etGune famille g´en´eratrice. On supposeL?G. Alors il existe une baseBtelle queL?B?G.

Id´ee de la d´emonstration : prendre un ´el´ement maximal pour l"inclusion dans l"ensemble des

famille libresFtelles queL?F?G. CorollaireTout espace vectoriel poss`ede une base. 2 ◦Dimension (a) D´efinition de la dimension Th´eor`emeToutes les bases d"un espace vectoriel de type fini ont le mˆeme cardinal. D´efinitionLa dimension d"un espace vectoriel (de type fini) est le cardinal de n"importe laquelle de ses bases. Notation : la dimension d"un espaceEest not´eedimE. Une preuve du th´eor`eme: Il suffit de montrer que si (e1,...,en) et (e?1,...,e?n?) sont deux

¸ca lui chante. Cl´e : le "lemme d"´echange" suivant (qui prouve le th´eor`eme en prenantk=n) :

LemmeQuitte `a renum´eroter, pourk= 1,...,n,(e1,...,en-k,e?n-k+1,...,e?n)est une base. Remarque : corollaire de la preuve du th´eor`eme : on a en fait montr´e un peu plus : CorollaireSoitGune famille g´en´eratrice form´ee denvecteurs (n?N). Alors toute famille contenantn+ 1vecteurs est li´ee. Une deuxi`eme preuve du th´eor`eme: Soit (e1,...,em) et (f1,...,fn) deux bases deE. Par hypoth`ese, pour toutj= 1,...,net touti= 1,...,m, il existe des scalaires (uniquement d´etermin´es) (ajk)k=1,...,met (bji)j=1,...,ntels que ?j= 1,...,n, fj=m? k=1a jkeket?i= 1,...,m, ei=n? j=1b jifj. Supposonsm?=n, par exemplem > n. En substituant une expression dans l"autre, on voit que ?i= 1,...,m, ei=n? j=1m k=1b ijajkek. En d"autres termes, le produitBAest l"identit´e, o`uBetAsont les matrices carr´ees suivantes (il y am-ncolonnes nulles dansBetm-nlignes nulles dansA) : B=( ((((b

11···b1n0···0

b m1···bmn0···0) )))), A=( ((((((((a

11··· ···a1m......

a n1··· ···anm

0··· ···0

0··· ···0)

2

Ceci n"est gu`ere raisonnable : en effet, le d´eterminant est multiplicatif, on devrait donc avoir :

detBdetA= detBA= 1, alors que les d´eterminants deBetAsont ´evidemment nuls. D"o`um=n.

Vous allez objecter que le d´eterminant n"arrive que beaucoup plus tard dans la th´eorie et tutti

quanti. Je balaye cette objection d"un revers de main, •en prenant pour d´efinition de d´eterminant d"une matrice carr´ee (bij)i,j=1,...,m: detB=?

σ?Smε(σ)m?

i=1b i,σ(i); •en constatant sa multiplicativit´e, ce qui est tr`es facile (v´erifiez !) ;

•en constatant que le d´eterminant de l"identit´e est 1, et que le d´eterminant s"annule s"il y

a une rang´ee nulle, ce qui est ´evident.

Int´erˆet de cette preuve: elle fonctionne sans modification pour un module libre sur un anneau

quelconque. (b) Premi`eres applications Dimension du produit direct de deux espaces, dimension de la somme et de l"intersection, dimension du quotient par un sous-espace.

Crit`ere d"´egalit´e pour un sous-espace : le lemme suivant est `a pr´esent trivial mais utile :

3 ◦Isomorphisme "coordonn´ees" et classification des espaces vectoriels (a)Etant donn´e un espace vectorielEde dimensionn?Nmuni d"une baseB= (e1,...,en) l"application lin´eaire suivante est un isomorphisme : c

B:Kn-→E

(xi)i=1,...,n?-→?n i=1xiei.

Par cons´equent, tous les espaces vectoriels de dimension donn´ee sur un corps donn´e sont iso-

morphes. (b)Inversement : LemmeUn isomorphisme d"espaces vectoriels envoie une base sur une base. En particulier, les espaces de d´epart et d"arriv´ee ont la mˆeme dimension.

(c)Ainsi, "les espaces vectoriels de type fini sur un corps donn´e sont class´es `a isomorphisme

pr`es par un invariant, la dimension." 4 ◦Dualit´e Voir le paragraphe correspondant de Julien Contessa. 5 ◦Applications (a)On sait que tout corps est un espace vectoriel sur son sous-corps premier (le corps engendr´e par 0 et 1). En particulier, un corps fini est un espace vectoriel surFp=Z/pZpourpsa caract´eristique. D"apr`es 3 ◦, notre corps est, en tant qu"espace vectoriel surFp, isomorphe `a F do`udest sa dimension. Donc le cardinal d"un corps fini est toujours une puissance de sa caract´eristique.

Il se trouve, mais c"est plus difficile, que les corps finis sont class´es `a isomorphisme pr`es par un

invariant, leur cardinal. 3 (b)Etant donn´es deux corpsK?L, on note [L:K] la dimension deLvu comme espace vectoriel surK. Etant donn´e trois corpsK?L?M, on montre que [M:K] = [M:L] [L:K]. En effet, si (ei) est une base deLsurKet (fj) est une base deMsurL, alors (eifj) est une base deMsurK. On l"a d´emontr´e sous l"hypoth`ese [M:L] et [L:K] finis, mais c"est en fait vrai (avec les conventions ´evidentes) en toute g´en´eralit´e. Application : sachant queπetesont transcendants, alorsπ eouπ+eest transcendant. On ne sait pas lequel, mˆeme s"il semble raisonnable de penser que c"est le cas des deux. (c) Suites lin´eaires r´ecurrentes Ici, on supposeKalg´ebriquement clos. On se donnea0,...,an-1dansKet on consid`ere l"espace vectoriel E=? (uk)k?N:?k?N, uk+n=n-1? k=0a kun+k?

L"application de restriction aux premiers termesE→Kn, (uk)k?N?→(uk)k=0,...,n-1est lin´eaire

et, par r´ecurrence, c"est une bijection. On appellera base standard deEl"image r´eciproque de la base standard deKn. En particulier : dim(E) =n. On veut exhiber une base deE. Pour cela, on ´ecrit et on factorise le polynˆome

P(X) =Xn-n-1?

k=0a kXk=r? i=1(X-λi)mi,

o`uλ1,...,λrsont les racines (suppos´ees distinctes) dePetm1,...,mrsont leurs multiplicit´es.

Il est facile de voir que pouri= 1,...,retm= 0,...,mi-1, la suite (kmλki)k?Nappartient `aE. Qui plus est, ces suites sont lin´eairement ind´ependantes. Par exemple, siPa des racines

simples, la matrice dont les colonnes sont les colonnes de coordonn´ees de (λki)k?Ndans la base

standard deEest une matrice de Vandermonde. En g´en´eral, les suites (kmλki)k?N(i= 1,...,retm= 0,...,mi-1) forment une base deE. (d) R´ecurrence sur la dimension

L"existence d"une dimension permet de d´emontrer certaines propri´et´es par r´ecurrence. Par

exemple : •Des endomorphismes diagonalisables qui commutent sont simultan´ement diagonalisables (quel que soit le nombre d"endomorphismes).

•Une matrice sym´etrique r´eelle est diagonalisable et a une base orthonorm´ee de vecteurs

propres (pour le produit scalaire canonique surRn).

II Rang

1 ◦Trois notions de rang ? (a) Rang d"une famille de vecteurs C"est par d´efinition la dimension de l"espace vectoriel qu"elle engendre, i.e. la dimension de l"espace des combinaisons lin´eaires de cette famille. ExempleSoitB= (e1,...,en)une base,F= (f1,...,fp)une famille. On dit queFest

´echelonn´ee par rapport `aBs"il existe des entiersi1<···< iptels que l"on puisse ´ecrire

f k=αk+? ?engendr´e par une famille (e1,...,en), alors Im?est engendr´e par la famille (?(e1),...,?(en)).

Donc le rang de?est le rang de la famille (?(e1),...,?(en)). Inversement, le rang de la familleF= (f1,...,fn) est le rang de l"application "combinaisons lin´eaires"c

F:Kn-→E

(xi)i=1,...,n?-→?n i=1xifi. (c) Rang d"une matrice (1) Soitm,n?N?etA= (aij)i=1,...,m, j=1,...,nune matricem×n`a coefficients dansK. Les colonnes deAsont les matricesCj= (aij)i=1,...,m(j= 1,...,n), de taillem×1, qu"on identifie `a des vecteurs deKm. Par d´efinition, le rang deAest la dimension du sous-espace deKm engendr´e par les colonnes deA.

Lienavec les notions pr´ec´edentes de rang : il est classique d"associer `aAl"application lin´eaire

A:Kn-→Km

X?-→AX.

C"est naturel, dans la mesure o`uAest la matrice de?Adans les bases canoniques/standards. Or, on constate que siX= (xj)j=1,...,n?Kn, alorsAXest la combinaison lin´eaire?n j=1xjCj. Par cons´equent, le rang deAest aussi le rang de l"application lin´eaire?A. PropositionEtant donn´e une matriceA?Matm,n(K)et deux matricesP?Matn,n(K), Q?Matm,m(K)inversibles, les rangs deAetQ-1APsont ´egaux.

Id´ee de la preuve : interpr´eterAetQ-1APcomme la matrice de la mˆeme application lin´eaire

dans deux bases diff´erentes,PetQ´etant les matrices de passage. 2 ◦Th´eor`eme du rang (a) Version abstraite Th´eor`emeUne application lin´eaire induit une bijection d"un suppl´ementaire du noyau sur l"image. En dimension finie, si?:E→Fest lin´eaire, il vient : dimE= dimKer?+ rg?. Il est ´equivalent de dire que?induit un isomorphisme deE/Ker?sur Im?. (b) Version matricielle : algorithme de Gauss Th´eor`emeEtant donn´ee une matriceAde formatm×n`a coefficients dansK, il existe deux matricesPetQinversibles, de formats respectifsn×netm×mtelles que Q -1AP=?Ir0 0 0?

o`urest le rang deA,Irest l"identit´e de formatr×r, les z´eros d´esignent des matrices nulles

du bon format. Premi`ere preuve (abstraite) : interpr´eterAcomme la matrice d"une application lin´eaire?A: K n→Km, choisir des bases adapt´ees `aAet utiliser la formule de changement de base.

Deuxi`eme preuve (constructive) : op´erations ´el´ementaires sur les lignes et les colonnes, selon

l"algorithme de Gauss. 5 (c) Classification des applications lin´eaires/matrices `a ´equivalence pr`es Version matricielle: Etant donn´e un format (m,n)?N?×N?, le rang classifie les matrices `a

´equivalence pr`es : deux matrices sont ´equivalentes si et seulement si elles ont le mˆeme rang.

Version abstraite: Etant donn´e?:E→Fet??:E?→F?, il existe des isomorphismes e:E→E?etθf:F→F?tels que f◦?=??◦θe:E ?-→F ↓θe↓θf E ???-→F? si et seulement si (dimE,dimF,rg?) = (dimE?,dimF?,rg??). (d) Rang d"une matrice (2) LemmeLe rang d"une matrice et le rang de sa transpos´ee sont ´egaux. Autrement dit, le rang d"une matrice deMatm,n(K)est le rang du sous-espace deMat1,n(K)? K nengendr´e par les lignes deA.

Id´ee de la preuve : on applique la version matricielle du th´eor`eme du rang, ce qui ne change

pas le rang ; sur une matrice aussi simple, calculer le rang est imm´ediat. 3 ◦Algorithme de Gauss et calcul du rang On s"int´eresse au rang d"une matrice (tous les autres cas s"y ram`enent). On peut utiliser l"algorithme de Gauss, via la preuve constructive du th´eor`eme du rang (version matricielle). 4 ◦Quelques in´egalit´es On suppose que tous les produits/toutes les compositions ´ecrites ont un sens :

Cela r´esulte de :

dimKer?ψ+ dimKerψθ= dimKerψ+ dim(Ker?∩Imψ) + dimKerθ+ dim(Kerψ∩Imθ),

dimKerψ+ dimKer?ψθ= dimKerψ+ dimKerθ+ dim(Kerψ∩Imθ) + dim(Ker?∩Imψθ),

et de la remarque que Imψθ?Imψ.

ψet de d´epart de?.

5 ◦Rang d"une matrice et de ses sous-matrices PropositionLe rang d"une matrice est la taille de sa plus grande sous-matrice inversible. {j1,...,jt} ? {1,...,n}, on a une matrice extraiteAIJ= (aij)i?I,j?J. On note ΠI= (δi,jδi?I)i,j=1,...,m?Matm,m(K) (resp. ΠJ?Matn,n(K)) la matrice de la projection deKm sur Vect(ei:i?I) parall`element `a Vect(ei?:i?/?I) (idem avecJ). On note Π?I(resp. Π??J) la matrice card(I)×m(resp.n×card(J) obtenue en retirant les lignes nulles de ΠI(resp. les colonnes nulles de Πquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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