[PDF] CORRECTIONS Déclic Maths Fonctions polynômes du second

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CORRECTIONSDéclic Maths

Fonctionspolynômesduseco nddegré.Equations

Correctiondesexercicesbilan page37

•Bilan1

1)Onaf(x)=(m!1)x

2 !2mx+m+2 festunp olynômedu seconddegrésiet seulements ilecoe!cientdutermeen x 2 est nonnul;ici m!1"=0doncD=R\{1}

2)(a)-1estu ne racine#f(!1)=0

#m!1+2m+m+2=0 #4m=!1 #m= !1 4 (b)fadmetuneraci neuniquesi etseulementsisondi scriminantestnul. ici!=b 2 !4ac=0#(!2m) 2 !4(m!1)(m+2)=0 #4m 2 !4(m 2 +m!2)=0 #m=2 (c)fadmetdeuxracin esdistinctes sietseulementsisondiscr iminanteststrictement positif. ici!=b 2 !4ac>0#(!2m) 2 !4(m!1)(m+2)>0 #!4(m!2)>0 #m!2<0 #m<2 (d)fsefactorisepar x!2sietseulemen tsi 2estuneracine. f(2)=0 #4(m!1)!4m+m+2=0 #4m!4!4m+m+2=0 #m=2 (e)Lasomme desracinesvaut S= !b a 2m m!1 =6

2m=6m!6

m= 3 2 (f)Leproduit desracinesvaut P= c a m+2 m!1 =!1 m+2=!m+1 m=! 1 2 •Bilan3

1)Aprèsav oircalculerlediscriminant,ontro uveque-2et

1 2 sontlesracine sde f, doncf(x)=2(x+2) x! 1 2 =(x+2)(2x!1). Aprèsav oircalculerlediscriminant,ontro uveque4et 1 2 sontlesracinesdeg, doncg(x)=2(x!4) x! 1 2 =(x!4)(2x!1). 2) 1 f(x) 1 g(x) 1 (x+2)(2x!1) 1 (x!4)(2x!1)

1(x!4)+x(x+2)

(x+2)(x!4)(2x!1) x 2 +3x!4 (x+2)(x!4)(2x!1) (x+4)(x!1) (x+2)(x!4)(2x!1)

Doncl'équation

1 f(x) 1 g(x) =0admetdeuxsolu tions-4et1. •Bilan5

1)Enno tantpleprixinitia ldemandé auxélèves,o na:

x$p=168pourlaprem ièrev ersionet (x!2)(p+0,40)=168

Onad oncp=

168
x etp= 168
x!2 !0,4

2)Ils'agitde résoudr eunsy stèmededeuxéquationsàdeux inconnuesq uiseramèneà

uneéquatio nduseconddegré.Ona alors :0,4x 2 !0,8x!336=0 Ontr ouve!=538,24etlesdeux solutionssont -28et30. Seulelasolution positive n'esten visageable.Ilyadonc30élèvesdans laclasse. •Bilan6

1)a)Onpose AM=xdoncAN=6!x.

L'airedutriang levau tici

AM$AN 2

Onch ercheàrésoudre

x(6!x) 2 =10soit!x 2 +6x!20=0 dontlediscriminant estnégatif.Il n'ya doncpasun teltriangled'aire 10cm 2 b)Onch ercheàrésoudre x(6!x) 2 =3soit!x 2 +6x!6=0dontlediscriminant vaut12.Les deuxsolut ionssont 3! 3et3+

3(lesrôles deAMetAN

s'échangent)

2)a)x&[0;6]

b)D'aprèslethéorèmedePyt hagor e,onaf(x)=x 2 +(6!x) 2 =2x 2 !12x+36

3)a)Onrésou tf(x)=16soit2x

2 !12x+20=0dontlediscriminantest négatif.

Donciln'yapa sdetel triangle AMNa vecMN=4cm.

b)Onrésou tf(x)=25soit2x 2 !12x+11=0dontlediscriminantv aut5 6.Il yadoncdeuxsolutionsAM= 6! 14 2 etAN= 6+ 14 2 etladeuxième en

échangeantlesrôlesdeAMetAN.

4)a)f(x)=2x

2 !12x+36=2(x 2 !6x)+36=2(x!3) 2 !18+36 =2(x!3) 2 +18 b)f(x)!f(3)=f(x)!18=2( x!3) 2 quiest toujours positifounul.

Doncf(x)!f(3)

c)Onad oncMN 2 !18commeun longueurestp ositiveMN!3 2. Onad ansce casAM=AN=3etletriangle estisocèle rectangleenA. •Bilan8

1)Lescoo rdonnéesd'unpointdelacourb ereprésenta tived'unefonctionfsontdela

forme(x;f(x));iciA(a; 1 a

2)Lepo intIestlemilieudusegmen t[AB].

x I x A +x B 2 doncx B =2x I !x A 7 2 !a y I y A +y B 2 doncy B =2y I !y A 7 3 1 a

Onab ienB

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