[PDF] CORRECTION SESSION 2021 SUJET 0 - Cours Galilée

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Cours Galilée Spécialité mathématiques BAC 2020

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

CORRECTION SESSION 2021 SUJET 0

Exercice 1:

Indiquons les bonnes réponses:

1. b. est la bonne réponse.

On a: ?n?N,un= 1-?1 4? n ;vn= 1 +?14? n . Comme0<1

4<1on alimn→+∞?

14? n = 0donc : lim n→+∞un= 1etlimn→+∞vn= 1.

D"où d"après le théorème des gendarmes, la suite(wn)est une suite convergente qui converge

vers 1.

2. c. est la bonne réponse.

La fonctionfest une fonction continue et dérivable surRcomme composé de deux fonctions continues et dérivables surR.

Ainsi, pour toutx?R,

f ?(x) =x?ex2+x? e x2?? =ex2+x×2xex2 =ex2+ 2x2ex2 = (1 + 2x2)ex2

3. c. est la bonne réponse.

On a :

lim x→+∞x 2+ 1

2x2-2x+ 1= limx→+∞x

22x2
= lim x→+∞1 2 1 2 Cours Galilée Spécialité mathématiques BAC Page 2 of 15

4. c. est la bonne réponse.

hétant continue sur l"intervalle[-1,1]alorshest continue sur l"intervalle[0,1]de plush(0) = 2 eth(1) = 0. Ainsi, il existe au moins un nombre réeladans l"intervalle[0,1]tel queh(a) = 1.

5. c. est la bonne réponse.

La fonctiongest dérivable sur[-4,4]et sa fonction dérivéeg?est strictement croissante sur l"intervalle[1,2]doncgest convexe sur cet intervalle. x x

2+ 2x+ 1

-∞-1+∞ 0+

Exercice 2:

1. (a) Coordonnées des pointsIetJ.

Dans le repère(A,-→AB,--→AD,-→AE)on a: AI=1

2-→AB+ 0--→

AD+-→AEet-→AJ= 2-→AB+ 0--→

AD+-→AEdoncI?1

2,0,1?

etJ(2,0,1). (b) Déduisons les coordonnées des vecteurs

DJ,-→BIet--→BG.

DJ( (x J-xD y J-yD z J-zD)

De ce qui précède on a:J(2,0,1)et dans le repère(A,-→AB,--→AD,-→AE),D(0,1,0)alors:

DJ( (2-0 0-1 1-0)

D"où

DJ( (2 -1 1) BI( (x I-xB y I-yB z I-zB)

De ce qui précède on a:I?1

2,0,1?

et dans le repère(A,-→AB,--→AD,-→AE),B(1,0,0) alors: BI( (12-1 0-0 1-0)

D"où

BI( (-1201) Cont. Cours Galilée Spécialité mathématiques BAC Page 3 of 15 •--→BGDans le repère(A,-→AB,--→AD,-→AE),B(1,0,0)etG(1,1,1)donc--→BG( (011) (c) Montrons que

DJest un vecteur normal au plan(BGI).

Les vecteurs-→BIet-→BJsont deux vecteurs non colinéaires du plan(BGI). Calculons les produits scalaires:-→DJ·-→BIet-→DJ·--→BG.

DJ·-→BI.

On a: DJ( (2 -1 1) )et-→BI( (1 2-1 0-0 1-0)

DJ·-→BI= 2×?

-1 2? -1×0 + 1×1 =-1 + 1 = 0.

D"où les vecteurs

DJet-→BIsont orthogonaux.

•-→DJ·--→BG.

On a: DJ( (2 -1 1) )et--→BG( (011) DJ·--→BG= 2×0-1×1 + 1×1 =-1 + 1 = 0. D"où les vecteurs-→DJet--→BGsont orthogonaux.

Le vecteur

DJest un vecteur orthogonal à la fois aux vecteurs-→BIet--→BGqui sont deux vecteurs non colinéaires du plan(BGI)d"où-→DJest un vecteur normal au plan(BGI). (d) Montrons qu"une équation cartésienne du plan(BGI)est :2x-y+z-2 = 0. Soitax+by+cz+d= 0une équation cartésienne du plan(BGI)où a, b c et d sont des réels.

Le vecteur-→DJ(

(2 -1 1) )est un vecteur normal du plan(BGI)alors l"équation du plan (BGI)est de la forme2x-y+z+d= 0. Le pointB(1,0,0)est un point du plan(BGI)donc :2xB-yB+zB+d= 0.

Ainsi,d=-2xB+yB-zB=-2×1 + 0-0 =-2.

Par conséquent, le plan(BGI)a pour équation cartésienne:2x-y+z-2 = 0.

2.dest la droite passant parFet orthogonal au plan(BGI).

(a) Déterminons une représentation paramétrique de la droited. La droitedest orthogonale au plan(BGI)alors le vecteur-→DJest un vecteur directeur de la droited. dpasse par le pointF(1,0,1)et de vecteur directeur-→DJ( (2 -1 1)

SoitM(x,y,z)un point de l"espace.

M?d?--→FMet-→DJsont colinéaires? ?t?R,tel que--→FM=t-→DJ. Cont. Cours Galilée Spécialité mathématiques BAC Page 4 of 15 FM( (x-1 y-0 z-1) )donc

FM=t-→DJ?(

(x-1 y z-1) )=t( (2 -1 1) )??????x-1 = 2t y=-t z-1 =t??????x= 2t+ 1 y=-t z=t+ 1 D"où la représentation paramétrique de la droited. (b) Montrons queL?23,16,56? est le point d"intersection de la droitedet du plan(BGI). SoitM0(x0,y0,z0)le point d"intersection de la droitedet du plan(BGI).

0= 2t+ 1

y 0=-t z

0=t+ 1

2x0-y0+z0-2 = 0

?x

0= 2t+ 1

y 0=-t z

0=t+ 1

2x0-y0+z0-2 = 0?2(2t+ 1)-(-t) + (t+ 1)-2 = 0

?4t+ 2 +t+t+ 1-2 = 0 ?6t=-1 ?t=-1 6

Pourt=-1

6on a:

x

0= 2×?1

6? =-13+ 1 =23 y 0=1

6etz=-16+ 1 =56

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