Fractions rationnelles
Exo7. Fractions rationnelles. Corrections de Léa Blanc-Centi. 1 Fractions rationnelles une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible.
Fractions rationnelles
Exo7. Fractions rationnelles. Corrections de Léa Blanc-Centi. 1 Fractions rationnelles une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible.
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rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Dans ce chapitre désignera l'un des corps ou . 1. Définitions. 1.1. Définitions.
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I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Exercice 1. Décomposer en éléments simples dans C(X) les fractions rationnelles suivantes.
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Intégration des fractions rationnelles · Fiche d'exercices · Calculs d'intégrales. Motivation. Nous allons introduire l'intégrale à l'aide d'un exemple.
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termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Dans ce chapitre désignera l'un des corps .
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On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Dans ce chapitre K désignera l'un des corps Q
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5 Polynômes. Exo7. 1 Définitions. 2 Arithmétique des polynômes. 3 Racine d'un polynôme factorisation. 4 Fractions rationnelles.
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exo7. Fractions rationnelles. Exercice 1. 1. Décomposer X3-3X2+X-4. X-1 en éléments simples sur R. 2. Décomposer 2X3+X2-X+1. X2-3X+2.
QCM DE MATHÉMATIQUES - LILLE - PARTIE 1
Sur le site Exo7 vous pouvez récupérer les fichiers sources. 1. Page 2. Table des matières. I Algèbre 3.12 Fractions rationnelles
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Exo7 Fractions rationnelles Corrections de Léa Blanc-Centi 1 Fractions rationnelles Exercice 1 Existe-t-il une fraction rationnelle F telle que F(X) 2 =(X2 +1)3? Indication H Correction H Vidéo [006964] Exercice 2 Soit F = P Q une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible On suppose qu’il existe une fraction rationnelle G
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Fractions rationnelles Fiche d’exercices ? Polynômes Fiche d’exercices ? Fractions rationnelles Motivation Les polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches Vous savez déjà résoudre les équations de degré 2 : aX2+bX +c = 0 Savez-vous que la résolution des équations de degré 3 aX3+bX2+cX
Fractions rationnelles - univ-rennes1fr
20 CHAPITRE 3 FRACTIONS RATIONNELLES D´e?nition 3 2 Le corps des fractions rationnelles en X a` coe?cients dans le corps K est le corps de fractions de K[X] On le note K(X) On peut choisir un repr´esentant privil´egi´epour une fraction rationnelle : Une fraction rationnelle est dite sous forme r´eduite quand elle est ´ecrite comme A B
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Intégration des fractions rationnelles Fiche d’exercices ? Calculs d’intégrales Motivation Nous allons introduire l’intégrale à l’aide d’un exemple Considérons la fonction exponentielle f (x) = ex On souhaite calculer l’aire Aen-dessous du graphe de f et entre les droites d’équation (x = 0) (x = 1) et l’axe (Ox) A y
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Fractions rationnelles Exo7 Exercice 1 Décomposer X33X2+X 1 2X3+X2 X+12 DécomposerX23X+2 3 2X3+X2 X+1DécomposerX22X+1 4 Décomposer X4+2X2+1X21 5 Décomposer X24en éléments simples sur 6 Décomposer X5+X4+1X3 Xen éléments simples sur 7 Décomposer X5+X4+1X(X1)4 en éléments simples sur 8 Décomposer X5+X4+1(Xen éléments simples sur1)3(X+1)2 9
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The teaching of fractions in the U S is spread roughly over grades 2{7 In the early grades grades 2{4 more or less students’ learning is mainly on acquiring the vocabulary of fractions and using it for descriptive purposes It is only in grades 5 and up that serious learning of the mathematics of fractions takes place
Quel est le corps de fractions rationnelles ?
- Le corps de fractions de Z est bien suˆr Q, le corps des nombres rationnels. 19 20 CHAPITRE 3. FRACTIONS RATIONNELLES D´e?nition 3.2 Le corps des fractions rationnelles en X a` coe?cients dans le corps K est le corps de fractions de K[X].
Quelle est la partie entière d'une fraction rationnelle?
- est une fraction rationnelle irréductible de degré 0, ayant trois pôles simples. Sa partie entière est égale à 1 (quotient de deux polynômes unitaires de degré 3). . donc .
Comment écrire une fraction rationnelle ?
- où N ( numérateur ) et D ( dénominateur ) deux polynômes premiers entre eux i.e N et D n'ont pas de racine commun : il n'existe pas de a 2 R tel que N(a) = 0 et D(a) = 0. C'est toujours possible d'écrire toute fraction rationnelle de cette forme ( penser aux nombres rationnelles ). Les racines de D sont appelles les pôles de F.
Qu'est-ce que la décomposition d'une fraction rationnelle ?
- L'outil fondamental, qui est purement algébrique, est la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples, qui permet d'écrire toute fraction rationnelle comme somme de fractions rationnelles simples de la forme : On va expliquer longuement comment on aboutit à une telle décomposition.
Fractions rationnelles
Corrections de Léa Blanc-Centi.
1 Fractions rationnelles
Exercice 1Existe-t-il une fraction rationnelleFtelle queF(X)2= (X2+1)3?
SoitF=PQ
une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible. On suppose qu"il existe une fraction rationnelleGtelle queGP(X)Q(X)
=X 1.Si G=anXn++a1X+a0b
nXn++b1X+b0, montrer quePdivise(a0b0X)et queQdivise(anbnX). 2.En déduire que F=PQ
est de la formeF(X) =aX+bcX+d. 3. Pour Y=aX+bcX+d, exprimerXen fonction deY. En déduire l"expression deG. Soitn2NetP(X) =c(Xa1)(Xan)(où lesaisont des nombres complexes et oùc6=0). 1. Exprimer à l"aide de Pet de ses dérivées les sommes suivantes: nå k=11Xaknå k=11(Xak)2å16k;`6n
k6=`1(Xak)(Xa`) 2.Montrer que si zest racine deP0mais pas deP, alors il existel1;:::;lndes réels positifs ou nuls tels
queånk=1lk=1 etz=ånk=1lkak. Si toutes les racines dePsont réelles, que peut-on en déduire sur les
racines deP0?Exercice 4Décomposer les fractions suivantes en éléments simples surR, par identification des coefficients.
1.F=XX
241
2.G=X33X2+X4X1
3.H=2X3+X2X+1X
22X+14.K=X+1X
4+1Décomposer les fractions suivantes en éléments simples surR, en raisonnant par substitution pour obtenir les
coefficients.1.F=X5+X4+1X
3X2.G=X3+X+1(X1)3(X+1)
3.H=X(X2+1)(X2+4)
4.K=2X4+X3+3X26X+12X3X2
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples surR. 1. À l"aide de di visionseuclidiennes successi ves:F=4X62X5+11X4X3+11X2+2X+3X(X2+1)3
2. À l"aide d"une di visionselon les puissances croissantes :G=4X410X3+8X24X+1X
3(X1)2
3.Idem pour :
H=X4+2X2+1X
5X3 4. A l"aide du changement d"indéterminée X=Y+1 :K=X5+X4+1X(X1)4
1. Décomposer les fractions sui vantesen éléments simples sur C. (32i)X5+3iX2+iX+2X+iX
2+i2X(X+i)2
2. Décomposer les fractions sui vantesen éléments simples sur R, puis surC. X5+X+1X
41X23(X2+1)(X2+4)X
2+1X 4+13 Applications
Exercice 8On poseQ0= (X1)(X2)2,Q1=X(X2)2etQ2=X(X1). À l"aide de la décomposition en éléments
simples de1X(X1)(X2)2, trouver des polynômesA0;A1;A2tels queA0Q0+A1Q1+A2Q2=1. Que peut-on en
déduire surQ1,Q2etQ3?SoitTn(x) =cosnarccos(x)pourx2[1;1].
1. (a)Montrer que pour tout q2[0;p],Tn(cosq) =cos(nq).
(b)Calculer T0etT1.
(c) Montrer la relation de récurrence Tn+2(x) =2xTn+1(x)Tn(x), pour toutn>0. (d) En déduire que Tnune fonction polynomiale de degrén. 2. Soit P(X) =l(Xa1)(Xan)un polynôme, où lesaksont deux à deux distincts etl6=0. Montrer que1P(X)=nå
k=11P0(ak)Xak
3.Décomposer
1T nen éléments simples.Indication pourl"exer cice1 NÉcrireF=PQ
sous forme irréductible.Indication pourl"exer cice2 NÉcrireG=ABsous forme irréductible (on pourra choisir par exemplen=max(degA;degB)).Indication pourl"exer cice3 NConsidérerP0=Pet sa dérivée, et enfinP00=P.Indication pourl"exer cice4 NPourGetH, commencer par faire une division euclidienne pour trouver la partie polynomiale.Indication pourl"exer cice5 NLes fractionsF;Kont une partie polynomiale, elles s"écrivent
F=X2+X+1+X2+X+1X
3X K=X+1+4X26X+12X3X2Indication pourl"exer cice6 NPourF, commencer par écrireF=aX +F1oùF1=N(X2+1)3puis diviserNparX2+1. PourK, commencer par obtenirK=1+1X+K1, puis faire le changement d"indéterminée dansK1.Indication pourl"exer cice9 NPour 1. exprimer cos
(n+2)qet cos(nq)en fonction de cos(n+1)q. Pour 3. chercher les racines deTn: w k=cos(2k+1)p2n pourk=0;:::;n1.4Correction del"exer cice1 NÉcrivonsF(X)=P(X)Q(X)avecPetQdeuxpolynômespremiersentreeux, avecQunitaire. LaconditionF(X)2=
(X2+1)3devientP2= (X2+1)3Q2. AinsiQ2diviseP2. D"oùQ2=1, puisqueP2etQ2sont premiers entre eux. DoncQ=1 (ou1). AinsiF=Pest un polynôme etP2= (X2+1)3.En particulierP2est de degré 6, doncPdoit être de degré 3. ÉcrivonsP=aX3+bX2+cX+d, on développe
l"identitéP2= (X2+1)3: X6+3X4+3X2+1=
aOn identifie les coefficients : pour le coefficient deX6, on aa=1, puis pour le coefficient deX5, on ab=0
; pour le coefficient de 1, on ad=1, puis pour le coefficient deX, on ac=0. Mais alors le coefficient deX3
doit vérifier 2ad+2bc=0, ce qui est faux.Ainsi aucun polynôme ne vérifie l"équationP2= (X2+1)3, et par le raisonnement du début, aucune fraction
non plus.Correction del"exer cice2 N1.Posons G=AB etF=PQ (avecA;B;P;Qdes polynômes). On réécrit l"identitéG(F(X))=Xsous la forme A(F(X)) =XB(F(X)). Posonsn=max(degA;degB). Alorsn>1 car sinon,AetBseraient constants et G(PQ ) =Xaussi. On a doncA=ånk=0akXketB=ånk=0bkXk, où(an;bn)6= (0;0), et l"identité devient nå k=0a kPQ k =Xnå k=0b kPQ kEn multipliant parQn, cela donne
nå k=0a kPkQnk=nå k=0b kXPkQnk: Donc (a0b0X)Qn+ (+(akbkX)PkQnk+) + (anbnX)Pn=0où les termes dans la parenthèse centrale sont tous divisibles parPet parQ. CommeQdivise aussi le
premier terme, alorsQdivise(anbnX)Pn. D"après le lemme de Gauss, puisquePetQsont premiersentre eux, alorsQdivise(anbnX). De même,Pdivise tous les termes de la parenthèse centrale et le
dernier, doncPdivise aussi(a0b0X)Qn, doncPdivise(a0b0X). 2.Supposons de plus qu"on a écrit G=AB
sous forme irréductible, c"est-à-dire avec pgcd(A;B) =1. Vu queanetbnne sont pas tous les deux nuls, alorsanbnXn"est pas le polynôme nul. CommeQdivise a nbnXalors nécessairementQest de degré au plus 1 ; on écritQ(X) =cX+d. Par ailleurs,a0b0X n"est pas non plus le polynôme nul, car sinon on auraita0=b0=0 et doncAetBseraient tous les deux sans terme constant, donc divisibles parX(ce qui est impossible puisqu"ils sont premiers entre eux).DoncPest aussi de degré au plus 1 et on écritP(X) =aX+b. Conclusion :F(X) =aX+bcX+d. Notez quea
etbne sont pas tous les deux nuls en même temps (de même pourbetd). 3. Si Y=aX+bcX+davec(a;b)6= (0;0), alorsX=dYbcYa. Autrement dit si on notef(X) =aX+bcX+d, alors sa bijection réciproque estf1(Y) =dYbcYa. Nous avons prouvé queGaX+bcX+d=X. Cette identité s"écritGf(X)=X. Appliquée enX=f1(Y)elle devientGf(f1(Y))=f1(Y), c"est-à-direG(Y) =f1(Y). AinsiG(Y) =dYbcYa.Correction del"exer cice3 N5
1.(a) Puisque P(X) =c(Xa1)(Xan):
P0(X) =c(Xa2)(Xan)+c(Xa1)(Xa3)(Xan)
++c(Xa1)(Xak1)(Xak+1)(Xan) ++c(Xa1)(Xan1) La dérivée est donc la somme des termes de la forme : c(Xa1)(Xan)Xak=P(X)Xak. Ainsi P0(X) =P(X)Xa1++P(X)Xak++P(X)Xan:
Donc :
P0P =nå k=11Xak (b)Puisque
ånk=11(Xak)2est la dérivée deånk=11Xak, on obtient par dérivation deP0P P02PP00P
2=nå
k=11(Xak)2 (c) On a remarqué que la déri véede P0est la somme de facteursc(Xa1)(Xan)avec un des facteurs en moins, donc de la forme c(Xa1)(Xan)Xak=PXak. De mêmeP00est la somme de facteurs c(Xa1)(Xan)avecdeuxfacteursenmoins, c"est-à-diredelaformec(Xa1)(Xan)(Xak)(Xa`)=P(Xak)(Xa`): P00=å
16k;`6n
k6=`P(Xak)(Xa`)doncP00P16k;`6n
k6=`1(Xak)(Xa`) 2.On applique l"identité
P0(X)P(X)=ånk=11Xakenzavec les hypothèsesP(z)6=0 etP0(z) =0. On en déduit nå k=11zak=0. L"expression conjuguée est aussi nulle : nå k=11zak=nå k=1zakjzakj2=0Posonsmk=1jzakj2. Alors
nå k=1m k(zak) =0 donc nå k=1m k! z=nå k=1m kakPosonslk=mk=(ånk=1mk), alors :
Les lksont des réels positifs.
ånk=1lk=1
Et z=ånk=1lkak.
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