[PDF] Correction du devoir Mar 4 2021 Exercice 1.

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Chapitre4 : PGCD. Th´eor`eme deB´ezout etGauss18f´evrier2021

Correction du devoir

Du jeudi 4 mars 2021

Exercice1

Algorithme pour le calcul du pgcd(3 points)

1) Montrons par double inégalité que pgcd(a,b)=pgcd(a-b,b).

SoitD=pgcd(a,b) etd=pgcd(a-b,b).

Ddiviseaetbdonc divise toute combinaison linéaire deaet debdonc divisea-b.

Ddivise (a-b) etbdoncD?d.

ddivise (a-b) etbdonc divise toute combinaison linéaire deaet dea-bdonc divise (a-b)+b=a. D'oùddiviseaetbdoncd?D.

CommeD?detd?DalorsD=d.

2) Par soustractions successives, on obtient en prenant|a-b|:

30816514322121992277552233112211

1651432212199227755223311221111

pgcd(308,165)=11. Le processus s'arrête quanda=b.

3) On obtient la fonction pgcd(a,b) en Python

suivante : defpgcd (a , b) : whilea!=b : c=abs(a-b) a=b b=c returna

Exercice2

Restes dans l'algorithme d'Euclide(2 points)

Écrivons les divisions successives avec les quotients et lepgcd donnés : ?a=2b+r0 b=4r0+r1 r

0=1r1+r2

r

1=3r2+r3

r 2=2r3 r 3=15 r

2=2×15=30

r

1=3×30+15=105

r

0=105+30=135

b=4×135+105=645 a=2×645+135=1 425 Les valeurs deaetbsont respectivement : 1 425 et 645. paul milan1terminale maths experte correction devoir de math´ematiques

Exercice3

Nombres premiers entre eux(3 points)

1) Soita=11n+3 etb=7n+2

On a :-7a+11b=-7(11n+3)+11(7n+2)=-77n-21+77n+22=1. Il existe donc (u,v)=(-7,11) tel queau+bv=1, d'après le théorème de Bézout, aetbsont premiers entre eux.

135=11×12+3 et 86=7×12+2,

135 et 86 sont de la formeaetbdonc 135 et 86 sont premiers entre eux.

2) Soita=2n+1?2n=a-1 etb=n(n+1). On a alors :

Il existe donc (u,v)=(a,-4) tel queau+bv=1, d'après le théorème de Bézout,a etbsont premiers entre eux et donc la fractiona best irréductible.

Exercice4

Rationalité(3 points)

1) Soit

p qest une racine defalors :

2×p3

q3+5×p2q2+5×pq+3=0×q3 ?2p3+5p2q+5pq2+3q3=0 (E). (E)?p(2p2+5pq+5q2)=-3q3. Doncpdivise 3q3, or pgcd(p,q)=1, d'après le théorème de Gauss,pdivise 3. (E)?2p3=q(-5p2-5pq-3q2). Doncqdivise 2p3, or pgcd(p,q)=1, d'après le théorème de Gauss,qdivise 2.

2) On a alors commep?Z, doncp? {-3,-1,1,3}etq?N?, doncq? {1,2}.

On teste les 8 racines possibles :-3,-3

2,-1,-12, 1,12, 3 et32.

Seule la solution-3

2convient.

Exercice5

Équation diophantienne(3,5 points)

1) a) (-2,-3) est solution de l'équation (E) : 7(-2)-5(-3)=-14+15=1

b) Soit (x,y) une solution de de (E). On a alors : ?7x-5y=1

7(-2)-5(-3)=1?On soustrait terme à terme7(x+2)-5(y+3)=0?7(x+2)=5(y+3) (E')

5 divise 7(x+2), or pgcd(5,7)=1, d'après le théorème de Gauss, 5 divise (x+2)

doncx+2=5k,k?Z. En remplaçant dans (E'), on trouvey+3=7k.

Les solutions sont donc de la forme :

?x=-2+5k

7y=-3+7k,k?Z.

On vérifie facilement que ces solutions sont solutions de (E). paul milan2terminale maths expertes correction devoir de math´ematiques x+y?25? -5+12k?25?k?30

12?k?2

Deux valeurs dekconviennent :

rougesvertsblancs k=13418 k=28116

Exercice6

Sabliers(3 points)

1) Soit S

1le sablier de 11 mn et S2celui de 5 mn.

On appellexle nombre de fois où S1s'est écoulé etyoù S2s'est écoulé. On doit avoir 11x-5y=2 dont une solution est (2,4).

Lise lance S

1et S2en même temps. Lorsqu'un sablier est fini elle le retourne. Lorsque

Lise a retourné 1 fois S

1et 3 fois S2et que S2vient de s'écouler, Lisa donne le top. Il

reste alors 2 mn pour que S

1soit écoulé.

2) Lisa peut mesurer toute durée entière en minute car 11 et 5 sont premiers entre eux.

11x-5y=1 a comme solution (1,2) donc pour une duréed, l'équation 11x-5y=d

admet comme solution (d,2d).

Exercice7

PGCD et suite(2,5 points)

1)un+1=4un+1?1×un+1-4un=1.

Ilexistedonc (a,b)=(1,-4) telqueaun+1+bun=1, d'aprèslethéorèmedeBézout, u n+1etunsont premiers entre eux.

2) a)?n?N,vn+1=un+1+1

3=4un+1+13=4un+43=4?

u n+13? =4vn. La suite (vn) est géométrique de raisonq=4 et de premier termev0=1 3 b)vn=1

3×4ndoncun=vn-13=13(4n-1).

3) pgcd(un+1,un)=1×3?3pgcd(un+1,un)=3?pgcd(3un+1,3un)=3?

pgcd(4 n+1-1,4n-1)=3. paul milan3terminale maths expertesquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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