[PDF] Practice of statistical tests of conformity

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Practice of statistical tests of conformity

Keita, Moussa

April 2016

Online athttps://mpra.ub.uni-muenchen.de/70699/

MPRA Paper No. 70699, posted 13 Apr 2016 13:20 UTC 1 *lermont Ferrand 1 ; Ecole Nationale Supérieure de Statistique et -C.I

Contact info: Email : keitam09@ymail.com

Codes JEL: C1

Mots clés: statistique, test, probabilités.

Pratique des tests statistiques de

conformité ____ Par

Moussa Keita, PhD*

Avril 2016

(Version 1) 2

AVANT-PROPOS

Ce fascicule du premier document intitulé "Introduction à la méthode statistique et probabiliste » et vise à apporter quelques précisions et des détails sur la conduite des tests paramétriques. Il se focalise, à cet effet sur le cas particulier des tests de conformité. Un accent particulier est mis sur le calcul des statistiques des tests, leurs lois de distributions ainsi que les règles de décision quant à la conclusion du test. Nous menons également une ample discussion sur les notions sur la notion de p-valeur ou "p-value" qui sont des outils nécessaires pour la test. 3

Table des matières

AVANT-PROPOS ................................................................................................. 2

Table des matières ............................................................................................. 3

1. INTRODUCTION ......................................................................... 5

1.1. Généralités sur les tests ............................................................................. 5

1. ................................................................ 5

..................................................................................................... 6

............................................................ 6 ............................................................................... 8

2. TESTS DE CONFORMITE SUR LA MOYENNE ..................... 9

2.1. Présentation ................................................................................................. 9

2.2. Test bilatéral sur la moyenne ................................................................. 11

2.2.1. Cas où la variance est connue ................................................................... 11

2.2.2. Cas où la variance ....................................................... 14

2.3. Test unilatéral (à droite) ......................................................................... 16

2.3.1. Cas où la variance est connue .................................................................. 16

2.3.2. Cas où la variance : ..................................................... 17

2.4. Test unilatéral (à gauche) ....................................................................... 19

2.4.1. Cas où la variance est connue .................................................................. 19

2.4.2. Cas où la variance n ....................................................... 20

2.5. Notion de " valeur p » ............................................................................... 22

, le seuil critique , la

statistique du test et la p-value .............................................................. 22

.............................. 23

2.6.2. Graphique de décision d............. 24

2.7. Détermination du seuil critique

............................................................................................................................ 25

2.7.1.

........................................................................................................................................ 26

......................................................... 26 .......................................... 26 ....................................... 27 .. 27 ..................................................... 28 4 .................................... 29 oi de Student) .................................. 30

2.8. Détermination de la p-value p connaissant la statistique de test Z

.............................................................................................................................. 31

2.8.1. Détermination de la p-value dans un test bilatéral ................................... 31

2.8.2. Détermination de la p-value dans un test unilatéral à droite ................. 32

2.8.3. Détermination de la p-value dans un test unilatéral à gauche ............... 33

3. TESTS DE CONFORMITE SUR LA PROPORTION ............ 33

4. TESTS DE CONFORMITE SUR LA VARIANCE .................. 35

BIBLIOGRAPHIE .......................................................................... 37 ANNEXE .......................................................................................... 37 Aide à la lecture des tables statistiques usuelles ...................................... 37

Utilisation de la table de la loi normale centrée réduite .................................... 37

Lecture des fractiles connaissant les probabilités ...................................................................... 38

Lecture des probabilités connaissant les fractiles ...................................................................... 38

Lecture de la table de la loi normale de la fractile ...................... 39

Utilisation de la table de Student ............................................................................ 40

Lecture des fractiles connaissant les probabilités ...................................................................... 40

Lecture des probabilités connaissant les fractiles ......................................................................... 41

Utilisation de la table de khi-deux .......................................................................... 42

Lecture des fractiles connaissant les probabilités ...................................................................... 42

Lecture des probabilités connaissant les fractiles ......................................................................... 44

5

1. Introduction 1.1. Généralités sur les tests La plupart des problèmes statistiques sont des problèmes de décision ou de choix. Dans le choix (ou la décision) consiste à déterminer,

parmi deux éventualités, celle qui peut être considérée comme " vraie ». suivent des lois de probabilité. Comme dans tout problème de décision, dans un test statistique, il faut avoir des règles de décision. La méthode de construction de ces règles décision constitue n dans un test statistique fait entrer en jeux plusieurs notions statistiques que sont notamment, tests ou encore la valeur p. En statistique, pour examiner une hypothèse nulle contre une alternative, on dispose généralement de deux types de tests : paramétriques ou non paramétriques. connaît les lois de probabilités des variables analysées, on utilise des tests paramétriques. ne connaît pas les lois de probabilités des variables de test, on utilise plutôt des tests non-paramétriques. Dans ce document, nous nous intéressons uniquement aux tests paramétriques en se focalisant sur les tests de conformité qui sont des tests dans lesquels on cherche à comparer à une valeur théorique donnée.

1.2. statistique

Pour pouvoir décider entre plusieurs éventualités statistiques, on met en avant une hypothèse particulière appelée l formulant une hypothèse alternative qui notée H1. Très straduit la situation contraire de H0. Mais cela n pas nécessairement le cas ; i

Par exem

6 Dans le premier cas, on parle de test bilatéral et dans les deux autres cas de test unilatéral (à gauche ou à droite). 1.3.

Dans la prise de décision

part, o première espèce, noté . n peut décider que H0 est vraie alors t le risque de deuxième espèce, noté .

Le risque

risque . est le risque de rejeter à tort H0. Il est courant de fixer = 0,05 (5%) ou = 0,01 (1%). Dans certains domaines coéconomie, on peut fixer le

Le risque H0.

Par conséquent, pour lui, 1-

tre.

Le tableau suivant résume la situation :

Décision H0 Vraie (H1 Fausse) H0 Fausse (H1 Vraie)

Accepter H0

Décision correcte

Erreur de 2ème espèce

Rejeter H0

Erreur de 1ère espèce

1-

Décision correcte

Remarque :

1. Les procédures de tests fixent une limite supérieure au risque de première

espèce. On prend souvent la valeur 5% (significatif) ou 1% (très significatif). Cette valeur (aussi appelée seuil ) représente le niveau de signification du test.

2. On souhaite minimiser à la fois les risques et mais, pour un échantillon

donné, une diminution du risque conduit à une augmentation du risque . 3. L 4. U 1.4. 7 variable de décision est vraie. rs de la variable de décision qui sont cette hypothèse. Mais, si H0 était vraie, ce serait un rejet à tort. Or justement

Par conséquent, le seuil

prendre deux formes différentes :

Si on fait un test unilatéral, elle est entièrement à une extrémité de la

distribution de probabilité ; Si on fait un test bilatéral, elle est en deux morceaux de surface

à chaque

extrémité de la distribution. Les graphique ci-dessous sont les illustrations dans le cas où la variable de décision suit une loi normale centrée réduite N(0; 1).

Remarque :

8

à gauche, p05, la

limite de la région de rejet est le quantile u tel que : Par exemple, pour une distribution normale, on trouve u = -1,64. limite de la région de rejet est le quantile u tel que : Pour une distribution normale, on trouve u = +1, 64. atéral, les limites de la région de rejet sont les quantiles - u et u tels que : et On trouve, pour une distribution normale, u = 1,96. servées de la variable de décision pour lesquelles La règle de décision des tests consiste à regarder si la valeur de la variable de

1.5. Démarche gé

1. Choix du risque

2. Choix des hypothèses H0 et H1

3. Détermination de la variable de décision i.e la variable sur laquelle porte le

test (moyenne, proportion, variance, etc..)

4. Détermination de la région critique i.e la région de rejet de H0 : Choisir RC telle que

5. Calcul éventuel de la puissance du test :

6. i.e. la statistique du test.

7. Conclusion du test : rejet ou acceptation de H0 par comparaison de la valeur expérimentale à la valeur théorique de la statistique de test.

9

2. Tests de conformité sur la moyenne 2.1. Présentation Exemple introductif enseigne commerciale est rt-

effectués par 20 consommateurs. Les résultats observés sont les suivants :

44.49 43.66 48.32 48.95 49.30 53.05 44.52 51.50 46.94 50.28

47.73 53.38 43.72 49.95 45.78 48.56 38.14 46.82 50.78 49.38

Les résultats fournis par cet échantillon sont-ils conformes aux valeurs globales ? -elle égale, supérieure

ou inférieure à la moyenne générale ? La réponse à chacune de ces questions

bilatéral, unilatéral (à gauche) ou unilatéral (à droite). On suppose que les achats suivent une loi normale N(50,5).

La réalis

statistique dite " statistique du test part la variance du paramètre étudié et en appliquant la loi des grandes (ou le théorème central limite). soit connue ou pas a une implication importante dans la conduite du test. En modifier la loi de distribution de la statistique de test. Pour le montrer, considérons par exemple une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne m et de variance : alors : . Ainsi lorsque la variance est connue, en appliquant le théorème central limite, on a Lorsque est connue, la statistique de test définie par est distribuée selon une loi normale (0, 1). 10

Cependant lorsque la variance

variance estimée telle que : . Cherchons en à intégrer cette valeur dans la construction de la statistique de test.

On sait que:

En élevant au carré et en prenant la somme on a : Ainsi, on peut écrire cette expression telle que : Cette expression montre que le rapport entre la variance estimée et la vraie variance est distribuée selon une loi de khi-deux à n-1 degré de liberté (normée par son degré de liberté). Maintenant faisons le rapport entre Z et la racine carrée de cette loi de khi-deux.

On a :

Mais on sait que

loi de khi-deux divisée par son degré de liberté est distribuée selon une loi de

Student. On peut alors écrire :

Cette propriété montre que la connaissance de la variance a donc une implication 11 En reprenant ci-dessus, le montant moyen des achats par client dans est -type Mais la moyenne calculée sur un échantillon de 20 consommateur est =

47,7625.

Nous allons utiliser ces informations pour types de tests de

conformité : le test bilatéral, le test unilatéral à gauche et le test unilatéral à

droite.

2.2. Test bilatéral sur la moyenne

Soit une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne m et de variance : Ici est la moyenne théorique dont (moyenne empirique constitue une et est la valeur théorique avec laquelle on teste la conformité.

2.2.1. Cas où la variance est connue

Lorsque est connue, avec le théorème central limite, on peut poser : En fixant le seuil de première espèce , la table de la loi normale centrée réduite le fractile correspondant à . (noté ). Ensuite, on ci-dessous 12 Puis ue la distribution de la loi normale est et son opposée . Cette rouges où chaque zone correspond à la moitié du risque. Ainsi, étant donné cette répartition, on peut écrire que :

Mais sachant que

on a :

Où est la statistique du test calculée

et de la loi normale centrée réduite ( qui doit être lue dans la table de loi normale centrée réduite).

Aussi, comme

, on peut aussi écrire que : Cette expression équivaut mathématique à celle-ci : test : soit qui exprime le seuil de confiance. re cas, on compare la valeur calculée à la valeur de lue dans la table de la loi normale.

Règle de décision :

Lorsque

, on ne peut pas rejeter H0. 13 La région critique de ce test (encore appelée région de rejet de H0) se définit telle que : Ou sachant que finit comme suit. Ou une autre règle de décision par rapport au test. En effet après avoir calculée la moyenne contre si appartient de RC, on rejette H0.

Application :

La variance est connu ( , et , et n=20.

Ainsi

On sait que dans la table de la loi normale

pour . On peut obtenir cette valeur avec Excel en utilisant la fonction suivante : 14 =LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE.N(0,975) Ainsi, comme , on rejette H0 au seuil de 5%.

2.2.2. Cas où la variance

Lorsque la variance la variance estimée telle que: . Dès lors, en suivant les étapes décrites à la section 2.1, on obtient la statistique de test qui se présente comme suit :

Cette statistique suit une loi Student

En fixant le seuil de première espèce

Student le fractile correspondant à

. (noté ). Ensuite, on positionne cette e illustrée ci-dessous (notons que la courbe de la loi de Student est très proche de celle de la loi normale. Mais elle est légèrement plus étirée que la loi normale) sy et son opposé . Cette rouges. Ainsi, on peut écrire que : 15

Mais sachant que

on a :

Où est la statistique du test calculée et

le quanti de la loi de Student.

Par ailleurs sachant que

, cela signifie que : expressions pour prendre la décision du test : soit valeur calculée à la valeur de lue dans la table de la loi de Student.

Règle de décision :

Lorsque

, on ne peut pas rejeter H0. La région critique de ce test (encore appelée région de rejet de H0) se définit telle que : Ou sachant que comme suit. 16 Ou

2.3. Test unilatéral (à droite)

Pour conduire ce test, deux cas se présentent : cas où la variance est connue et

2.3.1. Cas où la variance est connue

Lorsque la variance est connue la statistique du test sous suit une loi normale. peuvent être illustrées comme suit : on définit la région critique telle que : 17 Où est la statistique du test calculée et de la loi normale centrée réduite.

Règle de décision :

Lorsque , on ne

peut pas rejeter H0. NB comparer à mais simplement de comparer à La région critique de ce test (région de rejet de H0) se définit alors comme suit : Ou sachant que comme suit. Ou

2.3.2. Cas où la variance :

Lorsque connue, appliquant le théorème central-limite, on obtient une loi de Student : peuvent être illustrées comme suit : 18 Ainsi connaissant l on définit la région critique du test telle que : Où est la statistique du test calculée et de la loi de la loi de Student.

Règle de décision :

Lorsque , on ne peut pas

rejeter H0.

NB à mais simplement de

comparer à if). La région critique du test se définit comme suit : Ou sachant que 19 Ou

2.4. Test unilatéral (à gauche)

La forme générale

présente comme suit : Tout comme pour le test bilatéral ou le test unilatéral à droite, on peut distinguer deux cas selon que la variance soit connue ou pas.

2.4.1. Cas où la variance est connue

Lorsque la variance est connue la statistique du test sous suit une loi normale on définit la région critique telle que : Où est la statistique du test calculée et de la loi normale centrée réduite. illustrées sur le graphique ci- dessous. 20 Règle de décision : Lorsque , on ne peut pas rejeter H0. NB : On peut remarquer ici que contrairement au test unilatéral à droite dans lequel on compare à , dans le test unilatéral à gauche, on compare à ( c'est-à- obtenue par lecture dans la table de loi normale). La région critique du test se définit alors comme suit : Ou

Sachant que

H0 comme suit.

Ou

2.4.2. Cas où la variance

Lorsque

et connaissant le on définit la région critique du test telle que : 21
Où est la statistique du test calculée et de la loi de la loi de Student. La région critique de ce test est illustrée sur le graphique ci- dessous.

Règle de décision :

Lorsque , on ne peut

pas rejeter H0. La région critique du test se définit comme suit : Ou sachant que comme suit. Ou 22

2.5. Notion de " valeur p »

La valeur p (ou p- associée à la statistique calcu suit une loi normale, la p-value de Z est la probabilité lue dans la table de la loi normale correspondant à cette valeur Z. La p-value fournit une règle décision dans le test. En effet, lorsque la p-value est inférieure au seuil , on rejette H0. Mais lorsque la p-value est supérieure au seuil on ne peut pas rejeter H0.

2.6. Relation entre , le seuil

critique , la statistique du test et la p-value , le seuil critique , la statistique du test et la p-value sont les principaux indicateurs permettant de conclure un test statistique. Les deux premiers indicateurs sont des valeurs théoriques alors que les deux derniers sont des valeurs calculées lors de la construction du test. Toutefois, il existe une relation de translation entre les deux couples de valeurs.

En effet, " la p-value

seuil critique » le seuil critique est de même nature que la correspondance entre la p-value et la statistique calculée. Ces correspondances ont une interprétation directe en vue de atéral, on rejette systématiquement èse H0 lorsque la valeur absolue de la statistique calculée est supérieure au seuil critique lue dans la table statistique. Par contre on ne rejette pas nulle H0 lorsque la valeur absolue de la statistique calculée est inférieure au seuil critique lue dans la table. Cette prise de décision peut aussi être basée p-value. En hypothèse nulle lorsque la p-value est inférieure au seuil p-value est probabilités est résumée dans le tableau suivant :

Soit le risque le seuil théorique corre

(seuil bilatéral ou unilatéral). Et soit la statistique de test calculée et la p- value correspondant à cette statistique. On peut construire les correspondances suivantes : 23

Rejet de H0

Non rejet de H0

Cette conclusion peut être généralisée selon

2.6.1. Graphique de décision dans le c

Considérons un test bilatéral où la statistique de test suit une loi normale centrée réduite (on pourra utiliser la démarche pour les autres lois comme la loi de

Student par analogie).

statistique de test et la p-value p sur le même graphique. la statistique c'est-à-dire que . Cette situation implique alors que la p-value soit . La p-value correspond

à la surface totale hachurée en bleue

surface totale hachurée en rouge qui balaie également toute la zone en bleue.

Pour rappel

Etant donné que la loi normale est symétrique, on a : 24
Cas présente comme suit : c'est-à-dire que . Cette situation implique alors que la p- value . Ainsi, contrairement au cas a p-value (zone en bleue) qui balaie toute la zone en rouge (zone corresp.

2.6.2.

droite graphique de décision se résume comme suit : 25
Le rejet de nulle signifie que la statistique de test c'est-à- dire que . Ce implique alors que la p-value (zone en bleu) soit (zone en rouge qui balaie aussi la zone bleue). , le graphique se présente telle que la zone hachurée en bleue (p-value) balaie toute la zone hachurée en On peut représenter les graphiques de décision dans le cas du test unilatéral à gauche en faisant une analogie avec le cas du test unilatéral à droite en comparant et

2.7. Détermination du seuil critique connaissant le

La conduite de tout test statistique nécessite permettant de déterminer la valeur critique qui sert de repère dans la conclusion détermination de cette valeur critique. mathématique pour calculer la -ci doit être lue directement à partir des tables statistiques lorsque la loi de distribution de la variable de test est connue. Par exemple dans un test de conformité sur la moyenne, lorsque la statistique de test , on obtient la valeur critique du test en recherchant dans la table de loi normale (0, 1) le fractile corresponda unilatéral. 26
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