[PDF] Cours de Mathématiques de Première STMG (programme 2019)

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Cours de Mathématiques de Première STMG(programme 2019)

Michel IMBERT

Année scolaire 2019-2020

Lycée Bertran de Born -Périgueux

Livre de la classe

Lycée Bertran de Born22 sur 78

Table des matières1 Automatismes7

IProportions et pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8

I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 8

I.2 Calculer un pourcentage d"une quantité . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8 I.3 Proportion d"une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 9

II Évolutions et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 9

II.1 Principe, calcul d"une valeur d"arrivée ou de départ . . . .. . . . . . . . . . . . . . 9 II.2 Calculer un taux d"évolution, l"exprimer en pourcentage. . . . . . . . . . . . . . . 11

II.3 Taux d"évolution équivalent à plusieurs évolutions successives . . . . . . . . . . . . 12

II.4 Taux d"évolution réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 12

II.5 Indice de base 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13

III Calcul numérique et algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 14

III.1 Effectuer des opérations et des comparaisons entre fractions simples . . . . . . . . 14 III.2 Effectuer des opérations sur les puissances . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 14

III.3 Effectuer des conversions d"unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 15

III.4 Équation, inéquation du premier degré; équation dutypex2=a. . . . . . . . . . 15

III.5 Signe d"une expression du premier degré, factorisée du second degré . . . . . . . . 16

III.6 Développer, factoriser, réduire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 17

IV Fonctions et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 18

IV.1 Déterminer graphiquement des images et des antécédents. . . . . . . . . . . . . . 18 IV.2 Résoudre graphiquement une équation, une inéquation dutype f(x)=k, f(x)>k, ... . 19 IV.2.1 f(x)=k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 IV.2.2 f(x)>k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 IV.2.3 f(x)?g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IV.3 Déterminer le signe d"une fonction ou son tableau de variations . . . . . . . . . . . 20 IV.3.1 Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20

IV.4 Signe d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 20

IV.5 Tracer une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 21 IV.5.1 donnée par son équation réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 22 IV.5.2 donnée par un point et son coefficient directeur . . . . . . .. . . . . . . . 23 IV.6 Lire graphiquement l"équation réduite d"une droite . . .. . . . . . . . . . . . . . . 24

V Représentations graphiques et données chiffrées . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 25

V.1 Diagramme circulaire : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 25 V.2 Diagramme en boîte : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 25 V.3 Histogramme : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 25 V.4 Diagramme en barres : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 26 V.5 Courbe des effectifs cumulés croissants : un exemple . . . .. . . . . . . . . . . . . . 26

2 Suites27

I Mode de génération d"une suite numérique . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 28

I.1 Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 28

I.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 28

I.3 Suite définie par une formule explicite . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 29

I.4 Suite définie par une relation de récurrence . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 29

II Représentation graphique des termes d"une suite(un). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

III Sens de variation d"une suite(un). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 31

3

III.2 Étudier le sens de variation d"une suite . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 31

3 Fonctions33

I Modélisation et fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 34

I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 34

I.2 Résolution graphique d"équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 34

II Taux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 34

II.1 Traiter Activité 2 page 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 34

II.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 34

II.3 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 35

II.4 Sens de variation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 35 II.5 Taux de variation et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 36

4 Fonctions polynômes de degré 2, de degré 337

I Les fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 38

II Fonctions polynômes de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 38

II.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 38

II.1.1 Retour sur la classe de seconde et prolongement . . . . . . .. . . . . . . . 38 II.1.2 Un autre exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 II.2 Fonction polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 39 II.3 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 39

II.4 Des cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 40

II.4.1x?→ax2oùaest un réel non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 II.4.2x?→ax2+b, b nombre réel quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

II.5 Forme factorisée d"une fonction polynôme de degré 2 . . . . .. . . . . . . . . . . . 41

II.6 Signe d"une fonction polynôme du second degré . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 42 II.7 Factorisation d"une fonction polynôme connaissant une racine . . . . . . . . . . . . 42

III Fonction polynôme de degré 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 43

III.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43

III.2 Forme factorisée d"une fonction polynôme de degré 3 . . . . .. . . . . . . . . . . . 44

5 Tableaux croisés et probabilités conditionnelles47

I Acquis de seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 48

I.1 Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 48

I.2 Calcul de probabilité en situation d"équiprobabilité . .. . . . . . . . . . . . . . . . 48

II Fréquences conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 49

II.1 Revoir la notion de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 49

II.2 Fréquence conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 49

III Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 49

III.1 Traiter l"activité 4 page 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 49

III.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 49

6 Dérivation51

I Nombre dérivé d"une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 52

I.1 Activité " tendre vers » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 52

I.2 Activité avec retour sur le taux de variation . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 52

I.3 Une définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 53

I.4 Tangente à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 53 I.4.1 Traiter la situation 2 de la page 102 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 53 I.4.2 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53

II Fonction dérivable sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 54

II.1 Idée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

II.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 54

II.3 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 54

II.4 Dérivées et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 55

III Variations d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 55

III.1 Signe dérivée et sens de variation d"une fonction . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 56

III.2 Tableau de variations, extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 56

Lycée Bertran de Born44 sur 78

7 Suites arithmétiques et géométriques59

I Retour sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 60

II Suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 60

II.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 60

II.2 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 61

III Suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 61

III.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 61

III.2 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 62

8 Variables aléatoires65

I Notion de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 66

I.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 66

I.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 66

I.3 Loi de probabilité d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 67

I.4 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 68

II Loi de Bernoulli et simulation d"échantillons . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 68

II.1 Épreuve de Brenoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 68

II.2 Loi d"une variable aléatoire associée à une loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 68

III Simulation, échantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 69

9 Algorithmique71

I Types de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 72

II Affectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 72

III Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 73

IV Instructions conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 73

V Boucles bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 74

VI Boucles non bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 75

VII Un nouvel objet : la liste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 76

VII.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 76

VII.2 Les opérations de base sur les listes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 76

VII.3 Générer une liste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 76

VII.3.1 Par ajouts successifs avec une boucle Pour . . . . . . . . . .. . . . . . . . 76 VII.3.2 Construction d"une liste par compréhension . . . . . . . .. . . . . . . . . 77

VII.4 Itérer sur des éléments d"une liste . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 78

Lycée Bertran de Born55 sur 78

Lycée Bertran de Born66 sur 78

Chapitre 1AutomatismesSommaire

I Proportions et pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 8

I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 8

I.2 Calculer un pourcentage d"une quantité . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8 I.3 Proportion d"une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 9

II Évolutions et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 9

II.1 Principe, calcul d"une valeur d"arrivée ou de départ . .. . . . . . . . . . . . . . . 9 II.2 Calculer un taux d"évolution, l"exprimer en pourcentage . . . . . . . . . . . . . . 11

II.3 Taux d"évolution équivalent à plusieurs évolutions successives . . . . . . . . . . . 12

II.4 Taux d"évolution réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 12

II.5 Indice de base 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 13

III Calcul numérique et algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 14

III.1 Effectuer des opérations et des comparaisons entre fractions simples . . . . . . . 14 III.2 Effectuer des opérations sur les puissances . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 14 III.3 Effectuer des conversions d"unité . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 15 III.4 Équation, inéquation du premier degré; équation du typex2=a. . . . . . . . . 15 III.5 Signe d"une expression du premier degré, factorisée du second degré . . . . . . . 16

III.6 Développer, factoriser, réduire . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 17

IV Fonctions et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 18 IV.1 Déterminer graphiquement des images et des antécédents . . . . . . . . . . . . . 18 IV.2 Résoudre graphiquement une équation, une inéquation du type f(x)=k, f(x)>k, ... 19 IV.3 Déterminer le signe d"une fonction ou son tableau de variations . . . . . . . . . . 20 IV.4 Signe d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 20 IV.5 Tracer une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 21 IV.6 Lire graphiquement l"équation réduite d"une droite . .. . . . . . . . . . . . . . . 24 V Représentations graphiques et données chiffrées . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25 V.1 Diagramme circulaire : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 25 V.2 Diagramme en boîte : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 25 V.3 Histogramme : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 25 V.4 Diagramme en barres : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 26 V.5 Courbe des effectifs cumulés croissants : un exemple . . . .. . . . . . . . . . . . . 26 7

I Proportions et pourcentages

I.1 Définition

EXERCICE 1Quels sont les nombres égaux partis tous ceux qui suivent : 0,251

45020025%0.0250.1251007503000

Une proportion est un rapport entre deux quantités. Elle s"exprime de plusieurs manières : sous forme décimale, fractionnaire ou sous la forme d"un pourcentage. par exemple : 80% =.........=.........

Exemple 1

EXERCICE 2Une urne contient 7 jetons rouges, 9 jetons bleus et 5 jetons noirs. Donner le pourcen-

tage arrondi à 0,1% du nombre de jetons rouges dans l"urne. Donner la proportion sous forme fraction-

naire et sous forme décimale.

A 1Compléter le tableau suivant :

Proportion écrite sous forme :

fractionnaire décimale de pourcentage 3 5 12 250
7% 0,195

I.2 Calculer un pourcentage d"une quantité

Exemple 238% de 40 =

A 2•calculer 20% de 190.........

•calculer 25% de 150.........

•calculer 75% de 250.........

•calculer 10% de 123.........

•calculer 29% de 300.........

•calculer 90% de 600.........

Lycée Bertran de Born88 sur 78

EXERCICE 3Avec un contexte : Dans un lycée de 1250 élèves, il y a 26% des élèves qui ont les yeux

bleux. Calculer le nombre d"élèves aux yeux bleux. EXERCICE 4Un smartphone, qui vaut initialement 653e, est remisé à-10%. Quel est le montant de la remise?

I.3 Proportion d"une proportion

Sip1est la proportion de A dans B,

etp2est la proportion de B dans E, alors la proportion de A dans E estp=p1×p2. ((dessin)

Exemple 3

A 3Différentes situations de proportion de proportion •Parmi les 40% de Français qui partent en vacances, 90% partent en France. Quel est le popurcentage de Français qui partent en vacances en France? •Sur un site de VOD, 23% des films proposés sont des comédies dont

26% sont françaises. Quelle est la proportion de comédies françaises

que ce site? •Sur un parc automobile, 73% des voitures sont des diesel, dont 36% ont plus de 2 ans. Quelle est la proprtion de voitures diesel de plus de 2 ans sur ce parc automobile?

II Évolutions et variations

II.1 Principe, calcul d"une valeur d"arrivée ou de départ

Ils"agitderevenir surdes"augmentations»etdes"diminutions»enpourcentagequalifiéesd"évolutions.

Durant toute l"année, on utilisera les notation de : •Vdpour valeur de départ avant évolution; •Vapour valeur d"arrivée après évolution; •on qualifiera detauxun pourcentage écrit sous forme décimale.

Lycée Bertran de Born99 sur 78

Schématisation d"une évolution

Vd Vd Vd proportion deVd Va Va augmentation de p% diminution de p%

1. Comment calcule-t-on la proprotion deVdajoutée ou retranchée?

2. Dans le cas d"une augmentation, écrire la relation permettant d"exprimerVa.

3. En déduire la relation permettant d"exprimerVadans le cas d"une diminution.

Remarque 1Une simple multiplication permet de déterminerVaen multipliantVdpar un coefficient relativement simple à trouver. Ce coefficient sera notécm. Pour une évolution,quelle qu"elle soit, on utiliseraVa=cm×Vd où

•augmentation :cm= 1 +p% = 1 +t

•diminution :cm= 1-p% = 1-t

Exemple 4

cm= 1,13?cm= 0,8?cm= 1,056? cm= 0,94?cm= 2?cm= 1,5?cm= 0,5?

Lycée Bertran de Born1010 sur 78

A 4Pour s"entraîner sur les évolutions

•Un objet coûte 28e. Il baisse de 10%. Quel est son nouveau prix? •Un objet coûte 45e. Il augmente de 20%. Quel est son nouveau prix? •Un objet coûte 1230e. Il baisse de 30%. Quel est son nouveau prix? •Un objet coûte 29,99e. Il baisse de 33%. Quel est son nouveau prix? •Un objet coûte 89,99e. Il augmente de 23%. Quel est son nouveau prix? •Après une augmentation de 20%, un objet coûte 26,40e. Quel est son ancien prix? •Après une augmentation de 6%, un objet coûte 59,36e. Quel est son ancien prix? •Après une diminution de 10%, un objet coûte 80,10e. Quel est son ancien prix? II.2 Calculer un taux d"évolution, l"exprimer en pourcentage Le taux d"évolutiontsous forme décimalequi permet de passer deVdàVaest donné par la formule t=Va-Vd Vd pour obtenir le pourcentage, il suffit de multiplier par 100.

Exemple 5

Vd= 56?Va= 65???

Vd= 84?Va= 210???

Vd= 70?Va= 56???

Vd= 35?Va= 78?

A 5Pour s"entraîner sur les taux d"évolution •Le nombre d"élèves dans un lycée est passé de 1480 à 1332. Quelest le pourcentage de baisse du nombre d"élèves? •La moyenne de mathématiques de Zoé est passée de 15,5 à 17,3. De quel pourcentage sa moyenne a-t-elle augmentée à 0,1% près? •Un homme qui a perdu 20 kg pèse maintenant 75 kg. Quel pourcentage de baisse son poids a-t-il subi? •Une maison avait une superficie de 120 m2. Les propriétaires font une extension de 32 m

2. Quelle est l"évolution de la superficie de la maison?

•Dans une station service, le prix du gasoil à été multiplié par 1,08 alors que le prix du SP95 a été multiplié par 0,96. Quels sont en pourcentage les taux d"évolution des deux prix?

Lycée Bertran de Born1111 sur 78

II.3 Taux d"évolution équivalent à plusieurs évolutions successives

Dans cette partie, on considère plusieurs évolutions successives (augmentation ou diminution), di-

sonsnpour fixer les choses. On notecm1,cm2,...,cmnles coefficients multiplicateurs des évolutions succes- sives. On appellecoefficient multiplicateur global, notécg, le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution. En d"autres termes, c g=cm1×cm2×...×cmn puis, Letaux d"évolution globaltg, sous forme décimale, est donné par la relation déjà rencontrée t g=cg-1

Exemple 6

A 6Pour s"entraîner sur les évolutions successives •Après avoir augmenté le prix d"un article de 30%, le vendeur décide de le baisser de 30%. Quelle évolution aura subi le prix de cet article? •Un prix augmente de 20% puis baisse de 35%. Quelle est l"évolution globale de ce prix? •Le prix du timbre a augmenté de 5% par an depuis 10 ans. Quel estle taux d"évolution subi par le prix du timbre sur ces dix années? •Un élève souhaite diminuer le temps passé sur son smartphonede 2% par semaine. De combien aura-t-il diminué au bout d"un an?

•Un compte est rémunéré à 1,25% la première année, puis à 1% ladeuxième année, puis de 0,75% la troisième année. Si le client ne

touche pas à l"argent qu"il y a sur ce compte, quelle sera l"augmentation subie par le capital sur ces trois ans?

II.4 Taux d"évolution réciproque

Une quantité passe d"une valeur de départVdà une valeur d"arrivéeVaaprès une

évolution de p% (hausse ou baisse).

deVaàVd.

Lycée Bertran de Born1212 sur 78

On notecmrle coefficient multiplicateur lié au taux d"évolution réciproquetr. De, V a=cm×Vd et, V d=cmr×Va il vient naturellement, c m×cmr= 1?cmr= 1/cm

Exemple 7

A 7Pour s"entraîner sur les taux réciproque

•Un prix baisse de 50%. Quel est le taux réciproque associé? •Un prix augmente de 40%. Quelle baisse faut-il appliquer au nouveau prix pour retrouver l"ancien? •Un gouvernement augmente les impôts sur le revenu de 10% deuxannées consécutives. Face au mécontentement de ses concitoyens, il décide la troisième année d"appliquer une baisse qui compense complètement les deux hausses précédentes. De quel pourcentage doit être cette baisse?

II.5 Indice de base 100

Disposant d"une série de données,l"indice de base 100est la valeur 100 donnée

à l"une d"entre elles.

Les indices correspondant aux autres données étant calculés proportionnellement.

Donnéesd1d2d3...dn

Indice 100

A 8Pour s"entraîner sur les indices

•Calculer les indices manquants

Prix (ene) 240 270 320 180

Indice 100

•À partir du tableau suivant

Année 2014 2015 2016 2017

Indice 100 94 110 115

donner l"évolution en pourcentage entre les années 2014 et 2015, 2014 et 2017 puis entre 2016 et 2017

Lycée Bertran de Born1313 sur 78

III Calcul numérique et algébriqueIII.1 Effectuer des opérations et des comparaisons entre fractions simples

a,b,c,detkpeuvent être remplacés par n"importe quel nombre réel (sauf 0 pourb,detk) a

b=a×kb×k=a÷kb÷k•ab×cd=a×cb×d•ad+cd=a+cd•ad-cd=a-cdObligation d"y avoir même dénominateur pour additionner ou soustraire deux

fractions •Si deux fractions ont le même dénominateur, elles sont rangées dans l"ordre de leur numérateur.

A 9Pour s"entraîner sur les fractions

•Calculer et simplifier1

3×25+23×25

•Calculer et simplifier3

20+1

•Calculer et simplifier3×?14?

2

×34

•Calculer et simplifier3×6

7-47

•Comparer7

2et103

•Comparer12

7et53

•Comparer17

10et413250•Calculer1

3+15

•Calculer1 +3

4

•Calculer2 + 3×2

7

•Comparer0,25et1

5

•Comparer2

7et38

•Comparer1et11

12 III.2 Effectuer des opérations sur les puissances a,betkpeuvent être remplacés par n"importe quel nombre réel non égal à 0. m,nsont des entiers relatifs. Par convention, on décide quea0= 1.

•an=a×a×...×a

nfacteurseta-n=1 an•(a×b)n=an×bnet?ab? n=anbn

•am×an=am+netam

an=am-n(an)m=am×m

•90= 0

•107= 10×7

•105= 10 + 10 + 10 + 10 + 10

•54= 20

Lycée Bertran de Born1414 sur 78

A 10Pour s"entraîner sur les puissances

•Écrire sous la formean, oùaest un nombre relatif etnun entie relatif, les expres- sions suivantes :

A= 5×5-3B= 7×72C= (23)5D=27

23E= (-5)3×(-5)3F=163×2-532

•Un nombre est écrit sous forme scientifique s"il est écrit sous la formea×10noù aest un réel sous forme décimale compris entre 1 et 10(1?a <10) etnun entier relatif. Écrire 234,56 et 0,000456 en écriture scientifique. •On considère un nombre en notation scientifiquea×10n. •si1?a <5alorsl"ordre de grandeurdea×10nest10n. •si5?a <10alorsl"ordre de grandeurdea×10nest10n+1. Donner les ordres de grandeur des nombres du point précédent. •Écrire en notation scientifique : Dix-sept centaine de milliers; vingt-deux milliards et un millième.

III.3 Effectuer des conversions d"unité

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