[PDF] Baccalauréat ES candidats ayant repassé lépreuve 28 juin 2017

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Durée : 3 heures

?Baccalauréat ES candidatsayant repassé l"épreuve?

28 juin 2017

Exercice 1 Commun à tousles candidats 4 points

1.SiXestunevariablealéatoirequisuit laloinormaled"espéranceμ=3etd"écarttypeσ=1

alorsP(X?2,5)a pour valeur approchée arrondie au centième : a.0,16b.0,26c.0,31 d.0,54

On obtient le résultat à la calculatrice.

2.SoitYune variable aléatoire qui suit la loi normale d"espérance 0et d"écart-typeσ.

SiP(-5?Y?5)≈0,95 alors, parmi les réponses suivantes, la meilleure valeur approchée deσest : a.5b.2,5 c.1,3d.0,95 donc 2σ≈5 et doncσ≈2,5.

3.Un institut de sondage réalise une enquête afin de mesurer le degré de satisfaction du

de 500 clients révèle que l"on dénombre 438 clients satisfaits. Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant d"estimer la proportion de clients satisfaits est : a.[0,079 ; 0,169]b.[0,455 ; 0,545]c.[0,831 ; 0,921] d.[0,874 ; 0,878] f=438

500=0,876 etn=500;?

f-1?n;f+1?n? [0,831 ; 0,921]

4.Cet institut souhaite réduire l"amplitude de l"intervallede confiance. Combien de per-

sonnes au minimum faut-il interroger pour que cet intervalle de confiance ait une am- plitude d"au plus 0,05? a.1600 b.40c.2000d.400

L"amplitude de l"intervalle de confiance est

2 ?n; on doit donc avoir : 2 ?n?0,05??20,05??n??40??n??n?1600

Baccalauréat TESA. P. M. E. P.

Exercice 2Candidats de la série ES ayantsuivi l"enseignementde spécialité5 points

En 2016, un institut de sondage mène une enquête régionale sur la manière dont les particuliers

paient leur assurance. Les assurés se répartissent en deux catégories distinctes : •la catégorie A, composée des assurés qui paient en agence; •la catégorie B, composée des assurés qui paient en ligne.

En 2016, 92% des assurés paient en agence. On admet que, d"uneannée à l"autre, 4% des assurés

de la catégorie A passent à la catégorie B et que 1 % des assurésde la catégorie B passent à la

catégorieA. Onsuppose que le nombre d"assurés est constantet que chaque année un assuré fait

partie d"une seule catégorie. Pour tout entier natureln, on considère l"année (2016+n) et on note :

•anla probabilité qu"un assuré, pris au hasard, soit de catégorie A cette année-là,

•bnla probabilité qu"un assuré, pris au hasard, soit de catégorie B cette année-là,

•Pnla matrice ligne?anbn?. AinsiP0=?0,92 0,08?.

1.On représente la situation à l"aide d"un graphe probabiliste :

AB 0,04 0,01

0,960,99

On noteraAl"état "l"assuré est de catégorie A» etBl"état "l"assuré est de catégorie B».

2.On admet que la matrice de transitionMassociée à cette situation estM=?0,96 0,040,01 0,99?

a.P1=P0×M=?0,92 0,08?×?0,92×0,96+0,08×0,01 0,92×0,04+0,08×0,99? ?0,884 0,116? b.Donc la probabilité qu"un assuré soit de catégorie A en 2017 vaut environ 0,89.

3.SoitP=?a b?la matrice ligne donnant l"état stable du graphe.

a.D"après le texte,a+b=1.

De plus la matricePvérifie :

P×M=P???a b?×?0,96 0,040,01 0,99?

=?a b????0,96a+0,01b=a

0,04a+0,99b=b

?? -0,04a+0,01b=0 Les nombresaetbvérifient donc le système :?-0,04a+0,01b=0 a+b=1. b. ?-0,04a+0,01b=0 a+b=1???b=4a a+b=1???b=4a a+4a=1???b=0,8 a=0,2

4. a.Pn+1=Pn×M???an+1bn+1?=?anbn?×?0,96 0,040,01 0,99?

?an+1=0,96an+0,01bn b n+1=0,04an+0,99bn On en déduit quean+1=0,96an+0,01bn; or, pour toutn,an+bn=1. Doncan+1=0,96an+0,01(1-bn)=0,95an+0,01, pour toutn. On admet que, pour tout entier natureln,an=0,2+0,72×0,95net que la suite(an)est décroissante. b.Onsouhaite déterminer auboutdecombien d"années moins d"unassuré sur deuxsera de catégorie A. On complète l"algorithme pour qu"il donne lerésultat attendu :

Métropole(copies volées)228 juin 2017

Baccalauréat TESA. P. M. E. P.

Variables :Aest un nombre réel

Nest un entier naturel

InitialisationAffecter àAla valeur 0,92

Affecter àNla valeur 0

TraitementTant queA?0,5

Affecter àNla valeurN+1

Affecter àAla valeur0,95A+

0,01

Fin Tant que

SortieAfficherN

c.On veut savoir si la proportion d"assurés de catégorie A va devenir inférieure à 0,5.

On résout donc l"inéquationan<0,5 :

a n<0,5??0,2+0,72×0,95n<0,5??0,95n<0,3

0,72??ln(0,95n) ??nln(0,95)ln?0,3 0,72? ln(0,95) ln?0,3 0,72? ln(0,95)≈17,07 donc pourn?18, la proportion d"assurés de catégorie A sera infé- rieure à 0,5.

Exercice 3 Commun à tousles candidats 5 points

L"angine chez l"être humain est provoquée soit par une bactérie (angine bactérienne), soit par un

virus (angine virale). On admet qu"un malade ne peut pas êtreà la fois porteur du virus et de la

bactérie. L"angine est bactérienne dans 20 % des cas.

Pour déterminer si une angine est bactérienne, on dispose d"un test. Le résultat du test peut être

positif ou négatif. Le test est conçu pour être positif lorsque l"angine est bactérienne, mais il pré-

sente des risques d"erreur : •si l"angine est bactérienne, le test est négatif dans 30 % descas; •si l"angine est virale, le test est positif dans 10 % des cas. On choisit au hasard un malade atteint d"angine. On note : •Bl"évènement : "l"angine du malade est bactérienne»; •Tl"évènement : "le test effectué sur le malade est positif». Onrappelle quesiEetFsont deuxévènements,p(E)désignelaprobabilitédeEetpF(E)désigne la probabilité deEsachant queFest réalisé. On note

El"évènement contraire deE.

1.On représente la situation par un arbre de probabilité :

B 0,2

T1-0,3=0,7

T0,3 B

1-0,2=0,8T0,1

T1-0,1=0,9

2. a.L"angine du malade est bactérienne et que le test est positifcorrespond àB∩T:

p(B∩T)=0,2×0,7=0,14 b.D"après la formule des probabilités totales : p(T)=p(B∩T)+p(

B∩T)=0,14+0,8×0,1=0,22

Métropole(copies volées)328 juin 2017

Baccalauréat TESA. P. M. E. P.

-11

2345678

1 2 3 4-1-2-30xy

Cf A B C DT 1T 2T3 c.Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. La probabilité pour que son angine soit bactérienne est :pT(B)=p(B∩T) p(T)=0,140,22=711≈0,64.

3.On choisit au hasard cinq malades atteints d"une angine. On noteXla variable aléatoire

qui donne, parmi les cinq malades choisis, le nombre de malades dont le test est positif. a.Pour un malade, il n"y a que deux possibilités : il a un test positif avec une probabilité dep=0,22, ou il a un test négatif avec une probabilité de 1-p=0,78. On est dans le cas d"une répétition de 5 expériences identiques et indépendantes. La variablealéatoireXqui donne le nombrede malades dont le test est positif suit une loi binomiale de paramètresn=5 etp=0,22. b.La probabilité qu"au moins l"un des cinq malades ait un test positif est : p(X?1)=1-p(X=0)=1-? 5 0?

×0,220×0,785≈0,71.

c.L"espérance mathématique deXestE(X)=np=5×0,22=1,1.

Exercice 4 Commun à tousles candidats 6 points

PARTIE A

Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentativeCfd"une fonctionfdéfinie et dé-

rivable sur l"intervalle [-2 ; 4] ainsi que plusieurs tangentes àCf: •T1est la tangente au point A de coordonnées?-1 ; e2?, •T2est la tangente au point B de coordonnées (0 ; 2e), •T3est la tangente au point C de coordonnées (1 ; 3). On sait que la tangenteT1est parallèle à l"axe des abscisses et que la tangenteT3passe par le pointDde coordonnées (2 ; 1).

Métropole(copies volées)428 juin 2017

Baccalauréat TESA. P. M. E. P.

1.On sait que la tangenteT1est parallèle à l"axe des abscisses et A?T1doncf?(xA)=0 et

doncf?(-1)=0. Le point de la courbe d"abscisse 1 est le point C qui appartient à la tangenteT2doncf?(1) est le coefficient directeur deT2. La droiteT2passe par C et D donc a pour coefficient directeur yD-yC xD-xC=1-32-1=-2. On déduit :f?(1)=-2.

2.On admet que B est un point d"inflexion de la courbeCf.

Cela veut dire qu"au point B, la courbe traverse sa tangente.

3.Déterminer une équation de la tangente à la courbeCfau pointC.

PARTIE B

La fonctionfde la partie A est définie, pour tout réelxde[-2;4], par :f(x)=(x+2)e-x+1.

2.Pour tout réelx, e-x+1>0 doncf?(x) est du signe de-(x+1) qui s"annule et change de

signe pourx=-1. f(-2)=0;f(-1)=e2etf(4)=6e-3≈0,3 On établit le tableau de variations de la fonctionfsur[-2 ; 4]: x-2-14 -(x+1)+++0--- f?(x)+++0--- e2 f(x) 06e-3

PARTIE C

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

1factoriser(dériver?-(x+1)?exp(-x+1)?

x?exp(-x+1)

2intégrer?(x+2)?exp(-x+1)?

-(x+3)?exp(-x+1)

1.La fonctionfest convexe sur les intervalles sur lesquels sa dérivée est croissante, c"est-à-

dire sur lesquels sa dérivée seconde est positive. D"après le logiciel de calcul formel,f??(x)=xe-x+1qui est positive pourx>0.

La fonctionfest donc convexe sur]0 ; 4].

2. a.D"après le logiciel de calcul formel, la fonctionfa pour primitive la fonctionFdéfinie

parF(x)=-(x+3)e-x+1. Donc? 1 -2f(x)dx=F(1)-F(-2)=?-4e0?-?-1e3?=-4+e3. b.La valeur moyenne de la fonctionfsur l"intervalle[-2 ; 1]est donc 1

1-(-2)?

1 -2f(x)dx=-4+e33≈5,362.

Métropole(copies volées)528 juin 2017

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