[PDF] Corrigé du baccalauréat Polynésie 9 juin 2016 STI2D–STL

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Durée : 4 heures

?Corrigé du baccalauréat Polynésie 9 juin 2016?

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EXERCICE13 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses

proposées est exacte. Aucune justification n"est demandée.Une bonne réponse rapporte1point. Une mauvaise réponse,

plusieurs réponses ou l"absence de réponse à une question nerapportent ni n"enlèvent de point. Pour répondre, vous reco-

pierezsur votre copiele numérode la question et la seule réponse choisie. Dans cet exercice,i désigne le nombre complexe de module 1 et d"argumentπ 2.

1.L"écriture exponentielle du nombre complexez=-3i

1+iest :

a. z=3?2

2e-i5π4b.z=-3?2

2ei5π4c.z=3?2

2ei5π4d.z=3?2

2eiπ4

2.Soitflafonction définiepour toutréeltpositif par :f(t)=8e-0,12t+11. Lavaleur moyenne

defarrondie à 10-1sur l"intervalle [0; 24] est : a.

15,2b.13,6c.16,7d.11,2

3.On donne dans un repère orthonormé les points : A(0; 2); B(1; 3); C(-2 ; 1) et D(-1 ; 0). Le

produit scalaire--→AB·--→CD est égal à : a.

EXERCICE26 points

L"énergie photovoltaïque voit son coût baisser de façon importante depuis plusieurs années, ce qui en-

gendre une croissance forte de ce secteur. L"évolution de la puissance solaire photovoltaïqueinstallée dans

le monde entre fin 2004 et fin 2015 est résumée dans le graphiqueci-dessous :

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015020406080100120140160180200220240

annéesGigawatts (GW) Puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde

3,75,1791623

40
70
100
139
180
233

Corrigédu baccalauréat STI2DSciences et technologies de laboratoirespécialité sciences physiques et chimiques de laboratoireA. P. M. E. P.

1.Calculons les pourcentages d"augmentation annuels entre 2013 et 2014 ainsi qu"entre 2014

et 2015. Le tauxtest défini parvaleur finale-valeur initiale valeur initiale. entre 2013 et 2014 :t=180-139

139≈0,29496, entre 2014 et 2015 :t=233-180180≈0,2944.

Le pourcentage d"augmentation annuel entre 2013 et 2014 est, à 0, 1% près, d"environ

29,5% et entre 2014 et 2015 d"environ 29,4%.

2.On se propose d"estimer la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde dans

les 15 ans à venir, si le taux de croissance annuel reste constant et égal à 30%. On notePnla puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde, en GW, à la fin de l"année 2015+n. On a ainsiP0=233. a.À un taux d"augmentation de 30% correspond un coefficient multiplicateur de 1,30. P

1=233×1,30=302,9 puisP2=302,9×1,3=393,8 (les résultats sont arrondis au dixième).

b.Pn+1=Pn×1,3 . c.Chaque terme se déduisant du précédent en le multipliant parun même nombre, la suite (Pn)est une suite géométrique de raisonq=1,3 et de premier termeP0=233. d.Le terme général d"une suite géométrique de raisonqet de premier termeu0est u n=u0qn. P n=233×(1,30)n. est alorsP10.P10=233×(1,3)10≈3212 (arrondià l"unité). f.Le taux d"évolution global est3212-233

233≈12,7854

et 2025 est, arrondi à l"unité,1279%).

3.On veut déterminer l"année durant laquelle la puissance solaire photovoltaïque installée

dans le monde atteindrait 16000GW. Pour atteindre cette puissance, les panneaux pho-

tovoltaïques occuperaient au sol l"équivalent d"un carré de 400km de côté et suffiraient

pour produire toute l"électricité consommée dans le monde (consommation domestique, industrielle et des transports).

a.On considère l"algorithme ci-dessous.Complétons les lignes 3 et 7 afin que cet algorithme réponde à la question posée.

1/ Affecter àNla valeur 0

2/ Affecter àPla valeur 233

3/ Tant queP<16000

4/ Affecter àNla valeurN+1

5/ Affecter àPla valeurP×1,30

6/ Fin Tant que

7/ AfficherN+2015

b.En faisant tourner cet algorithme complété, déterminons l"année durant laquelle la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde dépasserait 16000GW.

N0...11121314151617

P233...4156542870579174119261550420155

L"algorithme affiche alors 2032.

L"année durant laquelle la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde dépasserait 16000GW serait 2032. c.Une autre méthode, directe et non algorithmique, pour répondre à la question précé- dente serait la résolution de l"inéquationP?16000.

233×1,30n?16000 1,30n?16000

233ln1,30n?ln16000233nln1,30?ln16000233

Polynésie correction29 juin 2016

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n?ln16000233 ln1,30orln16000 233
ln1,30≈16,12. d"oùn?17. L"année serait alors 2015+17 c"est-à-dire 2032.

EXERCICE35 points

Deux amis ont monté un atelier associatif pour réparer des vélos. Le but de cette association est que chaque adhérent

puisse venir réparer son vélo dans cet atelier avec l"aide d"unspécialiste. Le matériel et les outils sont fournis.

Lestroisparties de cet exercice peuvent êtretraitéesde manière indépendante

Partie A : les roulementsà billes

Nos deux amis commandent régulièrement des lots de 60 roulements à billes pour les vélos. Ils ont constaté que, lors de

leur dernière livraison, sur le lot des 60 roulements à billes, 3 étaient défectueux. Ils s"inquiètent donc de la fiabilité du

fabricant. Le contrat précise que seulement 4% des pièces sont défectueuses.

1.Calculons la fréquence des pièces défectueuses dans le dernier lot.

Il y a 3 pièces défectueuses sur 60. La fréquence est donc 3

60=0,05.

Par conséquent il y a 5% de pièces défectueuses dans le dernier lot.

On considère que les pièces constituant ce lot forment un échantillon prélevé de façon aléatoire

dans un stock dans lequel 4% des pièces sont défectueuses.

2.Déterminons l"intervalle de fluctuation asymptotique à 95%de la fréquence des roule-

ments à billes non conformes dans un échantillon de 60 roulements. Les valeurs appro- chées seront arrondies à 10 -2. On rappelle que l"intervalle de fluctuation asymptotique à 95% sur un échantillon de taille n, avec p la proportion de pièces défectueuses sur la population, est : p-1,96? p(1-p) n;p+1,96? p(1-p) n? Nous avonsn>30 maisnp=60×0,04=2,4?>5. Les conditions usuelles de précision ne sont pas respectées.

Cependant

0,04-1,96?

0,04×0,96

60;p+1,96?

0,04×0,96

60?
[-0,01 ;0,09].

3.Nos amis n"ont pas raison de s"inquiéter. La fréquence observée 0,05 appartient à l"inter-

valle de fluctuation.

PartieB : lesbilles

Nos amis se demandent s"ils ne devraient pas plutôt commander des billes pour réparer les roulements évoqués dans la

partie A. Ils commandent une grande quantité de billes de 6 mm de diamètre.

Malheureusement, certaines présentent un défaut de diamètre. Ils s"aperçoivent qu"ils ne peuvent utiliser que les billes

mesurant entre 5,9 mm et 6,1 mm.

Sur la note du fabricant est indiqué que la variable aléatoireDqui, à chaque bille, lui associe son diamètre, suit la loi

normale d"espéranceμ=6 mm et d"écart-typeσ=0,05 mm.

Calculons la probabilitéP(5,9?D?6,1).

À la calculatrice, nous obtenons à 10

-2prèsP(5,9?D?6,1)≈0,95.

PartieC : leschaînesde vélo

Un tableau est mis à disposition pour permettre aux utilisateurs de savoir quand ils doivent changer leur chaîne de vélo.

Par exemple, pour une personne utilisant son vélo en ville?vitesse moyenne 16 km.h-1?environ 2 heures par jour, la

durée de vie moyenne de la chaîne est de 625 jours.

Onadmet que ladurée de vie enjour, d"unechaîne devélo pour untel utilisateur est une variablealéatoireXquisuit une

loi exponentielle de paramètreλ. Onrappelle que la probabilitéqueXsoit inférieure ou égale àt(exprimé en jour) vaut :

P(X?t)=1-e-λt.

Polynésie correction39 juin 2016

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1.La variableXsuit une loi exponentielle d"espérance 625, orE(X)=1λ.

Par conséquent,λ=1

625=0,0016.

2.Le graphique en ANNEXE 1 représente la fonction de densité dela loi exponentielle de

paramètre

λ=0,0016?exprimé en jour-1?.

a.Graphiquement, la probabilité queXsoit comprise entre 350 jours et 700 jours est l"aire du domaine délimité par la courbe, l"axe des abscisses et les droites d"équation t=350 ett=700. b.La probabilité queXsoit comprise entre 350 jours et 700 jours est? 700
350
f(t)dtoùf est la fonction densité définie parf(t)=λe-λt.?700 350

0,0016e-0,0016tdt=?

-e-0,0016t? 700

350≈0,2449≈0,245.

La probabilité queXsoit comprise entre 350 jours et 700 jours est, à 10-3près, 0,245.

3.La probabilité queXsoit de moins de 550 jours estP(X?550).

P(X?550)=1-e-0,0016×550≈0,585.

La probabilité queXsoit inférieure à 550 est 0,585 à 10-3près.

4.Déterminons la valeur dexpour queP(X

Pour ce faire, résolvons 1-e-0,0016x=0,8.

1-e-0,0016x=0,8 e-0,0016x=0,2 1=0,2e0,0016xe0,0016x=5

0,0016x=ln5x=ln5

0,0016=625ln5x≈1005,899

Arrondi à l"unité,x=1006.

Ce résultat indique le nombre de jours pour lequel la probabilité de la durée de vie de la chaîne vaut 0,8.

EXERCICE46 points

PartieA : Lecturegraphique

On considère la courbeCassociée à une fonctionfreprésentée enANNEXE 2avec la droite T,

tangente à la courbeCau point d"abscisse 0.

1.Résolvons graphiquement sur l"intervalle [-1 ; 1,5] et avec la précision permise par le des-

sin les deux inéquations suivantes : a.f(x)?1. L"ensemble solution de cette inéquation est l"ensemble des abscisses des points pour lesquels la courbe est située au dessus de la droite d"équationy=1 soit [-1 ;≈-0,8]?[0 ; 1,5]. b.f?(x)?0. L"ensemble solution de cette inéquation est l"ensemble des abscisses des points sur lesquels la fonctionfest croissante soit [≈-0,5 ; 1,5].

2. a.Écrivons l"équation de la tangente T à la courbeCau point de coordonnées (0; 1) en

sachant que cette tangente passe par le point de coordonnées(2; 7).

Le coefficient directeur estm=7-1

2-0=3. Elle passe par le point decoordonnées(0; 1)

d"oùp=1.

L"équation de la tangente T esty=3x+1.

b.Lenombredérivéf?(0)étantlecoefficientdirecteurdelatangenteaupoint d"abscisse

0 à la courbe représentative def, nous avons doncf?(0)=3.

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PartieB : Étude de la fonctionf

Soitfla fonction définie surRpar la relationf(x)=e-2x+5x. On admet pour la suite que la limite defen-∞est+∞.

2.f?(x)=-2e-2x+5.

Étudions son signe surR.-2e-2x+5>0??e-2x<5

2??e2x>25??2x>ln?25?

x>ln2-ln5 2.

Par conséquent six??

-∞;ln2-ln5 2? ,f?(x)<0 et six??ln2-ln52;+∞? f ?(x)>0.

3.Si pour toutx?I,f?(x)<0 alorsfest strictement décroissante surI.

Sur? -∞;ln2-ln5 2? ,f?(x)<0 par conséquentfest strictement décroissante sur cet in- tervalle. Si pour toutx?I,f?(x)>0 alors la fonctionfest strictement croissante surI.

Sur?ln2-ln5

2;+∞?

,f?(x)>0 par conséquentfest strictement croissante sur cet inter- valle. Construisons le tableau de variation defsurR.f?ln2-ln5 2? =52+5(ln2-ln5)2≈0,209 x-∞ln2-ln52+∞ f ?-0+

Variation

def+∞+∞

52+5(ln2-ln5)2)

4. a.Déterminons à partir du tableau des variations le nombre de solutions de l"équation

f(x)=2. Cette équation admet une solution sur chaque intervalle où la fonction est stricte- ment monotone c"est-à-dire une appartenant à? -∞;ln2-ln5 2? et l"autre à l"inter- valle ?ln2-ln5

2;+∞?

car 2??5

2+5(ln2-ln5)2;+∞?

b.Déterminons une valeur arrondie à 10-2près de chaque solution. À l"aide de la table d"une calculatrice, nous trouvons à 10 -2près-0,96 et 0,29.

PartieC. : Calculd"aire

On admet :

•que la courbeCde la partie A est la représentation de la fonctionfdéfinie dans la partie B;

•que la courbeCse situe "au-dessus» de la droite tangente T surR.

L"objectif de cette partie est de déterminer par un calcul l"aireAcomprise entre la courbeC, la droite T et les droites

verticales d"équationsx=0 etx=1,5.

1.l"aireAque l"on veut déterminer, est hachurée sur le dessin, en ANNEXE 2.

2. a.DéterminonsuneprimitiveGdelafonctiongdéfiniesurRpar:pour tout réelx,g(x)=

e -2x+2x-1.

G(x)=-1

2e-2x+x2-x

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b.Pour toutxappartenant à [0 ; 1,5], la courbe représentative defétant au dessus de T, par conséquentf(x)-(3x+1)>0. Orf(x)-(3x+1)=g(x). L"aireArecherchée vaut, en unités d"aire :A=? 1,5 0 g(x)dx. c.A=? 1,5 0 g(x)dx=? -1

2e-2x+x2-x?

1.5 0

G(1,5)=-1

2e-3+94-32=3-2e-34G(0)=-12

A=G(1,5)-G(0)=3-2e-3

4+12=5-2e-34

L"aire du domaine plan délimité par la courbe, la droite T et les droites d"équations x=0 etx=1,5 vaut en unités d"aire5-2e-3

4ou en arrondissant au centième : 1,23.

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ANNEXE 1

à rendreavecla copie

Exercicen

o3

PartieC : leschaînesde vélo

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 8000,00000,00020,00040,00060,00080,00100,00120,00140,00160,00180,0020

ty

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ANNEXE 2

à rendreavecla copie

Exercicen

o4

PartiesA etC

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5-0,5-1,0-1,52,01

23456780 0,50 0,5 1,001

Ty

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