[PDF] Pondichéry 17 avril 2015 - APMEP

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?Corrigé dubaccalauréat S Pondichéry?

17 avril 2015

EXERCICE14 points

Commun à tous les candidats

PartieA

123

1 2 3 4-1-2

O C a

1.On sait que e-2x>0 quel que soit le réelx, donc 1+e-2x>1>0. Le dénomi-

nateur étant non nul, la fonctionfest dérivable surRet sur cet intervalle la fonction étant de la forme 3 u(x), avecu(x)=1+e-2x, doncu?(x)=-2e-2xon a : f ?(x)=-3u?(x) supérieurs àzéro.lafonctionfestdoncstrictement croissantesurR(comme le laisse supposer le graphique).

2.On a limx→+∞-2x=-∞et en posantX=-2x, limX→-∞eX=0, d"où

lim X→-∞1+eX=1 et enfin par quotient de limites limx→+∞f(x)=3 : ceci montre que la droite (Δ) d"équationy=3 est asymptote àCau voisinage de plus l"infini.

3.Sur l"intervalle [0 ;+∞[, la fonctionfest continue car dérivable, strictement

croissante def(0)=3

1+1=1,5 à 3 : il existe donc un réel uniqueα?[0 ;+∞[

tel quef(α)=2,999.

La calculatrice donne :

f(4)≈2,99899 etf(5)≈2,9999, donc 4<α<5; f(4,0)≈2,99899 etf(4,1)≈2,9992, donc 4,0<α<4,1; f(4,00)≈2,99899 etf(4,01)≈2,99901, donc 4,00<α<4,01 (encadrement à 10 -2près).

PartieB

1.On a vu dans la partie A que 0 h(x)>0 surR.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.La fonctionHest dérivable surRet sur cet intervalle :

H ?(x)= -3

3?e-2x+1?

1+e-2x-31+e-2x=3-f(x)=h(x).

DoncHest une primitive dehsurR.

3. a.On a vu que surRdonc en particulier sur l"intervalle [0 ;a] (aveca>),

la fonctionhest positive, donc l"intégrale? a 0 h(x)dxest égale en unités d"aireà la mesure de la surface limitée par la représentation graphique de h, l"axe des abscisses, et les droites d"équationx=0 etx=a. Mais commeh(x)=3-f(x), cette surface est la surface limitée par la droiteΔ, la courbeCet les droites d"équationx=0 etx=a(voir l"aire hachurée ci-dessus. b.D"après la questionB. 2., on a :?a 0 h(x)dx=[H(x)]a0=H(a)-H(0)=-3

2ln?1+e-2×a?+32ln?1+e-2×0?=

3

2ln2-32ln?1+e-2×a?=32ln?21+e-2a?

c.D"après la question précédente, on sait que l"aire deDa, surface limitée par la droiteΔ, la courbeCet les droites d"équationx=0 etx=aest

égale à

3

2ln?21+e-2a?

Or lim

x→+∞e-2x=0, donc limx→+∞1+e-2x=1 et limx→+∞? 2

1+e-2x?

=2, donc finalement par composition, l"aire deDest égale à limx→+∞3

2ln?21+e-2x?

3

2ln2≈1,04 (u. a.)

EXERCICE25 points

Commun à tous les candidats

PartieA

1.On a pour tout natureln,vn+1=un+1-b

1-a=aun+b-b1-a=

au n+b(1-a)-b

1-a=aun-ab1-a=a?

u n-b1-a? =avn. L"égalitévn+1=avn, vraie pour tout naturelnmontre que la suite(vn)est géométrique de raisona.

2.On sait quevn=v0×an; donc sia?]-1 ; 1[, alors limn→+∞an=0, donc

lim

1-a=0 soit limn→+∞un=b1-a.

PartieB

1.Après la taille la plante mesure 80×?

1-1 4? =80×34=60 (cm). Au bout de

1 an elle a poussé de 30 cm; elle mesurera donc en mars 2016 avant la taille

60+30=90 cm.

2. a.D"une année sur l"autre, tailler le quart revient à multiplier par3

4=0,75

et la pousse annuelle est de 30 cm, donc : h n+1=0,75hn+30.

Pondichéry217 avril 2015

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.Mars 2015 correspondant àn=0, on a :h0=80;h1=90, h

2=0,75×90+30=67,5+30=97,5 : la suite semble être croissante.

Initialisation: on sait déjà queh0 Hérédité: supposons que quel que soitp?N,hp20≈119,873 cm).

On utilise le résultat de la partie A avec la suite (hn)et les coefficients a=0,75 et b = 30.

Comme-1<0,75<1,lasuite(hn)convergeversb

1-a=301-0,75=300,25=

120.

EXERCICE36 points

Commun à tous les candidats

LespartiesA et B peuventêtretraitéesindépendamment PartieA Étude de la durée de vie d"un appareilélectroménager

1. a.Par symétrieP(104?X)=0,16 et doncP(64?X?104)=1-2×0,16=

1-0,32=0,68.

b.On vient donc de trouver queP(μ-20?X?μ+20)=0,68 : doncσ≈20.

2. a.LavariableZestcentréeetréduite:ellesuitdoncuneloinormalecentrée

réduite. b.On part deP(X?64)=0,16, d"oùP(X?64)=P(X-84?-20)=

P?X-84

σ?-20σ?

=P?

Z?-20σ?

FinalementP?

Z?-20 =0,16 c.Le résultat précédent entraîne que-20

σ≈ -0,9945??σ≈200,9945soit

σ≈20,111 à 10-3près.

3.Dans cette question, on considère queσ=20,1.

a.Il faut trouver :P(24?X?60)≈0,115 (calculatrice) b.On aP(X>120)=0,5-P(84?X?120)≈0,037.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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