[PDF] Corrigé du baccalauréat Terminale ES/L – Asie - 20 juin 2019

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?Corrigé du baccalauréat Terminale ES/L - Asie - 20 juin 2019?

Exercice14points

Commun à tous les candidats

1.SoitXla variable aléatoire suivant la loi binomialeB(20 ; 0,4).

a.p(X=7)=20×0,47 b.p(X>4)=0,98 arrondie au centièmec.p(X?4)=0,05 arrondie au centième d.p(X?7)=0,25 arrondie au centième À la calculatrice on trouvep(X?4)≈0,05095.

2.L"équation(ex)2=3expossède :

a.une unique solution 3 b.une unique solution ln(3) c.deux solutions 0 et ln(3) d.deux solutions 0 et 3 (ex)2=3ex??ex(ex-3)=0??ex-3=0??ex=3??x=ln(3) car ex>0 pour toutx.

3.Soitfla fonction définie surRparf(x)=x

ex.

Une autre expression def(x) est :

a.f(x)=e-x -xb.f(x)=-xe-xc.f(x)=e-xxd.f(x)=xe-x 1 ex=e-xdoncf(x)=xex=xe-x.

4.SoitXune variable aléatoire suivant une loi

normale dont la densité de probabilité est re- présentée ci-contre. Sur le graphique, la sur- face grisée correspond à une probabilité de 0,95.

200 210 220 230 2401901801701600,01

0,020,03

Une valeur approchée à 0,1 près du nombreαtel quep(X?α)=0,1 est : d.α≈238,4 D"après le graphique, on peut dire queμ=200. Comme on sait quep(μ-2σ?X?μ+2σ)≈0,95 et que la surface grisée correspond à une probabilité dep(170?X?230)=0,95, on peut en déduire queσ≈15. On sait quep(X?α)=0,1 équivaut àp(X?α)=0,9. PourXsuivant la loi normale de paramètresμ=200 etσ=15, on trouve à la calcula- trice que le nombreαtel quep(X?α)=0,9 vaut environ 219,2.

Baccalauréat ES/L - CorrigéA. P. M. E. P.

Exercice26points

Commun à tous les candidats

PartieA

Un club de football est composé d"équipes adultes masculines, adultes féminines et d"équipes d"en-

fants. Chaque week-end, la présidente Claire assiste au match d"une seule des équipes du club et elle

suit : • dans 10% des cas, le match d"une équipe adulte féminine; • dans 40% des cas, le match d"une équipe adulte masculine; • dans les autres cas, le match d"une équipe d"enfants.

Lorsqu"elle assiste au match d"une équipe masculine, la probabilité que celle-ci gagne est 0,6. Lors-

qu"elle assiste au match d"une équipe d"enfants, la probabilité que celle-ci gagne est 0,54. La probabilité que Claire voie l"équipe de son club gagner est 0,58. On choisit un week-end au hasard. On note les événements suivants : •F: "Claire assiste au match d"une équipe féminine»; •M: "Claire assiste au match d"une équipe masculine»; •E: "Claire assiste au match d"une équipe d"enfants»; •G: "l"équipe du club de Claire gagne le match».

1.Voir l"arbre de probabilité enannexe1.

3. a.D"après la formule des probabilités totales :p(G)=p(F∩G)+p(M∩G)+p(E∩G).

On sait quep(G)=0,58 et quep(M∩G)=0,24.

On en déduit quep(F∩G)=p(G)-p(M∩G)-p(E∩G)=0,58-0,24-0,27=0,07. b.p(F∩G)=p(F)×pF(G) doncpF(G)=p(F∩G) p(F)=0,070,1=0,7.

On peut ainsi compléter l"arbre (voirannexe1).

c.La probabilité que l"équipe adulte féminine gagne un match est 0,47. La probabilité que l"équipe féminine gagne un match sachantque Claire a assisté au match estpF(G)=0,7. Donc la présence de Claire semble favoriser la victoire de l"équipe féminine.

4.Claire annonce avoir assisté à la victoire d"une équipe de club. La probabilité qu"elle ait suivi le

match d"une équipe adulte féminine estpG(F)=p(F∩G) p(G)=0,070,58≈0,12.

PartieB

Au guichet, un supporter attend pour acheter son billet. On modélise le temps d"attente en minute

par une variable aléatoireXqui suit la loi normale d"espéranceμ=30 et d"écart-typeσ=10.

1.Le temps d"attente moyen d"un supporter estμsoit 30 minutes.

2.Le supporter ne dispose que de 15 minutes avant le début du match pour acheter son billet.

La probabilité qu"il puisse acheter son billet avant le début du match estp(X?15)≈0,07.

Asie220 juin 2019

Baccalauréat ES/L - CorrigéA. P. M. E. P.

PartieC

Des études statistiques ont montré que la probabilité qu"unenfant se réinscrive d"une année sur

l"autre dans le même club de football est 0,6.

1.L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion d"enfants se réinscri-

vant d"une année sur l"autre pour un échantillon de 7enfantspris auhasard dansle même club de football est : I=??? p-1,96? p?1-p? ?n;p+1,96? p?1-p? ?n???

0,6-1,96?

0,6×0,4?75; 0,6+1,96?

0,6×0,4?75?

?0,49 ; 0,71?

2.52 des 75 enfants du club de Claire veulent se réinscrire en septembre 2018, ce qui fait une

proportion def=52

75≈0,69.

On voit quef?Idonc on ne peut pas dire que la victoire de la France aux championnats du monde en 2018 a eu un effet sur les réinscriptions en septembre 2018 dans ce club.

Exercice35points

Candidatsde ES n"ayantpas suivi la spécialitéet candidatsde L

PartieA

Tous les ans, au mois de septembre, Richard prélève 8,5 tonnes d"algues sur les plages de sa com-

mune. Au 1 erseptembre 2018, il y avait 230 tonnes d"algues sur ces plages. Tous les ans, entre le 1er octobre et le 1 erseptembre suivant, la quantité d"algues sur ces plages augmente de 4%.

Ainsi,u0=230.

1.On admet que, pour toutn?N,un+1=1,04un-8,84.

Le tonnage d"algues au 1

erseptembre 2018 estu1=1,04u0-8,84=1,04×230-8,84=230,36.

2.Soit(vn)la suite définie par, pour toutn?N,vn=un-221. On a doncun=vn+211.

=1,04vn v

0=u0-221=230-221=9

La suite (vn) est donc géométrique de raisonq=1,04 et de premier termev0=9. b.On en déduit que, pour toutn, on a :vn=v0×qn=9×1,04n. c.Commeun=vn+221, on déduit que, pour toutndeN,un=221+9×1,04n.

3.'Pour savoir si la quantité d"algues présentes sur ces plages dépassera un jour 250 tonnes, on

résout l"inéquationun>250 u 9 ??ln(1,04n)>ln?29 9? ??nln(1,04)>ln?299? ??n>ln?29 9? ln(1,04) ln?29 9? ln(1,04)≈29,8 donc c"est au bout de 30 ans que la quantité d"algues dépassera 250 tonnes.

Asie320 juin 2019

Baccalauréat ES/L - CorrigéA. P. M. E. P.

PartieB

Pour développer son entreprise, à partir du 1erseptembre 2019, Richard a besoin de 10% d"algues de

et qu"il en avait consommé 8,5 tonnes en septembre 2018. Danscette nouvelle situation, il disposera

de 230,36 tonnes d"algues au 1 erseptembre 2019 et en utilisera 9,35 tonnes pendant ce mois. Richard

souhaite étudier la quantité d"algues sur les plages concernées pour les 16 prochaines années selon

ce modèle.

Pour cela il rédige l"algorithme ci-contre.

1.La variableAreprésente le tonnage d"algues disponibles

l"année 2018+n, etBreprésente le tonnage d"algues consommées la même année.

2.Voirannexe2.

3.En 2034, il y aura moins d"algues disponibles que ce queveut utiliser Richard car 29,75<39,06.

A←230

B←8,5

PourKallant de 1 à 16

A←(A-B)×1,04

B←B×1,1

Fin pour

Exercice35points

Candidatsde ES ayantsuivi la spécialité

Une compagnie aérienne a représenté à l"aide d"un graphe les différentes liaisons assurées par ses avions. Les sommets du graphe sont les initiales des aéroports desservis et les arêtes correspondent aux vols effectués par un avion de cette compagnie entre deux aéroports. Par exemple, l"arête entre A et G signifie qu"un avion ef- fectue le vol entre les aéroports A et G, en partant de A vers G ou en partant de G vers A.

1.Il n"y a pas d"arête entre B et C donc le graphen"est pas complet.Cela signifie qu"il n"y a pasde voldirectentrel"aé-roport B et l"aéroport C.

A B C F G L M P V

2.On noteMla matrice d"adjacence du graphe ci-dessus en classant les sommets par ordre al-

phabétique.

On complète cette matrice en mettant 0 en ligneicolonnejs"il existe une arête entre les aéro-

ports n oiet noj. Voirannexe2.

3.La compagnie souhaite qu"un avion partant del"aéroport F (no4) effectue 3 vols avant d"arriver

à l"aéroport B (n

o2). Il faut donc chercher dans la matriceM3le coefficient qui se trouve à la ligne 4 et la colonne 2; c"est 5 donc il y a 5 trajets répondant à la question. M

3=((((((((((((((((4 9 2 5 8 2 8 4 99 6 2 5 4 2 8 9 72 2 0 6 2 0 6 2 35

56 2 6 6 2 7 3

8 4 2 6 2 2 4 8 3

2 2 0 6 2 0 6 2 3

8 8 6 2 4 6 2 6 3

4 9 2 7 8 2 6 4 8

9 7 3 3 3 3 3 8 4))))))))))))))))

Asie420 juin 2019

Baccalauréat ES/L - CorrigéA. P. M. E. P.

4.L"entreprise souhaite qu"un même avion puisse parcourir successivement une fois et une seule

chaque liaison. a.On détermine le degré de chaque sommet du graphe :

SommetABCFGLMPV

Degré442432443

Ily aexactement deuxsommets dedegrésimpairs, GetV,donc,d"après lethéorème d"Eu- ler, il existe des trajets qui partent de l"un de ces deux aéroports et qui effectuent toutes les liaisons pour arriver à l"autre. b.Le sommet P est de degré 4 donc lors de ce trajet l"avion passera 2 fois par le sommet P : cet avion va donc se poser 2 fois sur l"aéroport P.

PartieB

Sur le graphe ci-contre sont indiqués les diffé- rentstemps devolenheureentredeuxaéroports.

Un client souhaite utiliser une offre promotion-

nelle de cette compagnie pour voyager de l"aéro- port V jusqu"à l"aéroport F.

On détermine le trajet le plus rapide au moyen

de l"algorithme de Dijkstra. A B C F G L M P V 2 4 5 1 2 4 23
4 6 4 6 2 1 4

VABCFGLMPOn garde

1 V2 V4 VA 1

2 V∞∞∞∞∞4 V

3A5 A6 AB 2

∞∞5 A∞6A4 V

4 B6BM 4

∞∞5 A∞4 V

8 M5 MP 4

8 M∞5 A5 M

10 P6PG 5

8 M10 P5 M

11GL 5

8 M10P

9 LC 8

9 LF 9

Le trajet le plus rapide de V vers F dure 9 heures : V2-→B2-→M1-→L4-→F

Asie520 juin 2019

Baccalauréat ES/L - CorrigéA. P. M. E. P.

Exercice45points

Commun à tous les candidats

On a représenté ci-contre la courbeC

représentative d"une fonctionfdéfi- nie et dérivable sur?0,5 ; 12?, la tan- genteT1àCau point A d"abscisse 1 et la tangenteT2àCau point B d"abs- cisse 2. La tangenteT1est parallèle à l"axe des abscisses.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1-21

234
T2 T1 C ++AB

1. a.f?(1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbeCau point A doncf?(1)=0.

b.La courbeCsemble avoir le point B pour point d"inflexion. c.? 8 6 f(x)dxest l"aire de la surface grisée sur le graphique; 4?? 8 6 f(x)dx?5.

2.On admet que la fonctionfest définie sur?0,5 ; 12?par :f(x)=ln(x)+1

x. a.Pour toutx??0,5 ; 12?,f?(x)=1 x-1x2=x-1x2. b.Sur?0,5 ; 12?,f?(x)>0??x-1>0??x>1. f(0,5)≈1,3,f(1)=1 etf(12)≈2,6 On construit le tableau des variations de la fonctionf: x0,5 1 12 f?(x)---0+++

1,3 2,6

f(x) 1

3.À l"aide d"un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants que l"on pourra ad-

mettre.

Calcul formel

1g(x):=(x-1)/x2

g(x)=x-1x2

2Dérivée (g(x))

x2-2x(x-1) x4

3Simplifier(Dérivée(g(x))

-x+2 x3 g(x)=f?(x) doncf??(x)=g?(x)=-x+2x3d"après le logiciel. La fonctionfest concave sur les intervalles sur lesquelsf??est négative. Sur ?0,5 ; 12?,f??(x)<0??-x+2 x3<0?? -x+2<0??x>2 Le plus grand intervalle sur lequel la fonctionfest concave est?2 ; 12?.

Asie620 juin 2019

Baccalauréat ES/L - CorrigéA. P. M. E. P.

4.SoitFla fonction définie sur?0,5 ; 12?parF(x)=(x+1)ln(x)-x.

a.Sur?0,5 ; 12?,F?(x)=1×ln(x)+(x+1)×1 x-1=ln(x)+x+1x-xx=ln(x)+1x=f(x) donc la fonctionFest une primitive de la fonctionfsur?0,5 ; 12?. b.La valeur moyennemdefsur l"intervalle?6 ; 8?est m=1 8-6? 8 6 1

Asie720 juin 2019

Baccalauréat ES/L - CorrigéA. P. M. E. P.

Annexesà rendreavecla copie

Annexe 1

Exercice2

F 0,1 G0,7 G0,3 M0,4 G0,6 G0,4 E 0,5 G0,54 G0,46

Annexe 2

Exercice3

Candidatsde ES n"ayantpas suivi la spécialité ou candidatsde L Valeurs de A et B obtenues à l"aide d"un tableur KAB

2308,5

1230,369,35

2229,8510,29

3228,3511,31

4225,7212,44

5221,8013,69

6216,4415,06

7209,4316,56

8200,5818,22

9189,6620,04

10176,4022,05

11160,5324,25

12141,7326,68

13119,6529,34

1493,9232,28

1564,1135,51

1629,7539,06

Annexe2

Exercice3

Candidatsde ES ayantsuivi la spécialité

M=(((((((((((((((0 1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 1 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 1 0 0

1 1 1 0 0 1 0 0 0

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